人教A版（2019）必修 第二册第六章 平面向量及其应用《天天增分》—6.4平面向量的应用B（Word版，含解析）

天天增分——6.4平面向量的应用B
一、单选题
1．在△ABC中，，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形但一定不是直角三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形但一定不是等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
2．是所在平面内一点，，为中点，则的值为
A． B． C． D．
3．在中，是角的对边，已知，则以下判断错误的是（ ）
A．的外接圆面积是；
B．；
C．可能等于14；
D．作关于的对称点，则的最大值是.
4．已知菱形ABCD边长为2，∠B＝，点P满足＝λ，λ∈R，若·＝－3，则λ的值为(　　)
A． B．－ C． D．－
5．在ΔABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，b=c，且满足.若点O是ΔABC外一点，∠AOB=θ()，OA=2，OB=4，则平面四边形OACB面积的最大值（ ）
A． B． C． D．
6．已知平面向量满足，则以下说法正确的有个.
①；
②对于平面内任一向量，有且只有一对实数，使；
③若，且，则的范围为；
④设，且在处取得最小值，当时，则；
A．1 B．2 C．3 D．4
7．在中，的平分线交于点，则的面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
8．在中，角的对边分别为，已知，且，点满足，，则的面积为
A． B． C． D．
9．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）．A． B． C． D．
10．设是所在平面内的一点,若且.则点是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
11．在平面直角坐标系中，已知向量点满足.曲线，区域.若为两段分离的曲线，则
A． B． C． D．
12．已知非零平面向量，，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
13．在中，记角所对的边分别是，面积为，则的最大值为___________.
14．已知的边，且，则的面积的最大值为___________.
15．已知单位向量，，满足，记，则对任意λ∈R，的最小值是________________．
16．已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为________.
三、解答题
17．为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200m，圆心角为的扇形地上建造市民广场，规划设计如图：内接梯形区域为运动休闲区，其中A，B分别在半径，上，C，D在圆弧上，
；上，；区域为文化展区，长为，其余空地为绿化区域，且长不得超过200m.
(1)试确定A，B的位置，使的周长最大？
(2)当的周长最长时，设，试将运动休闲区的面积S表示为的函数，并求出S的最大值.
18．已知中，.
（Ⅰ）若，求的面积；
（II）若，求的长.
试卷第页，共页
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参考答案：
1．C
【解析】
原式可化为，然后利用正弦定理、余弦定理进行边角互化，得出，，的关系.
【详解】
解：由得：，且，
∴，且，
∴，
∴，
化简整理得：，即，
∴或，又，
∴△ABC是直角三角形但一定不是等腰三角形.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角形形状的判定，难度稍大.解答时，利用正、余弦定理进行边角互化是难点.
2．A
【解析】
【详解】
试题分析：结合题意，画出图形，利用图形，延长MD至E，使DE=MD，得到平行四边形MAEC，求出与的关系，即可得出正确的结论．
如图所示，∵D是AC之中点，延长MD至E，使得DE=MD，∴四边形MAEC为平行四边形，
，故选A．
考点：平面向量基本定理的应用
3．D
【解析】
【分析】
对A：利用正弦定理可求得的外接圆半径，即可求解的外接圆面积；对B：利用余弦定理角化边，即可求解；对C：利用正弦定理边化角，再结合两角和差的正弦公式，即可求解；对D：利用三角形面积公式和余弦定理，及均值不等式，即可求解．
【详解】
解：对A：，，
由正弦定理可得，即的外接圆半径，
的外接圆面积是，故选项正确；
对B：由余弦定理可得，故选项正确；
对C：由正弦定理可得，，
，故选项正确；
对D：设关于的对称点我，到的距离为，
，即，
又由余弦定理可得，当且仅当时等号成立，
所以，即，
所以的最大值是，故选项错误．
故选：D．
4．A
【解析】
【分析】
根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．
【详解】
法一：由题意可得·＝2×2cos＝2，
·＝(＋)·(－)
＝(＋)·[(－)－]
＝(＋)·[(λ－1)·－]
＝(1－λ) 2－·＋(1－λ)··－2
＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4
＝－6λ＝－3，
∴λ＝，故选A.
法二：建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(2,0)，C(1，)，D(－1，)．
令P(x,0)，由·＝(－3，)·(x－1，－)＝－3x＋3－3＝－3x＝－3得x＝1.
∵＝λ，∴λ＝.故选A.
【点睛】
1.已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解．
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝a1b1＋a2b2.
2.通过建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标形式计算.
5．D
【解析】
【分析】
根据题意可得ΔABC为等边三角形，利用三角形的面积公式和余弦定理可以求出平面四边形OACB的面积，，再根据三角函数求最值的方法即可求出．
【详解】
因为，可得，所以又，所以ΔABC为等边三角形．在中，
，
．
，
所以，
因为，所以当时，平面四边形OACB面积的最大，最大值为．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查三角函数恒等变换、三角形面积公式、余弦定理以及三角函数的最值求法应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于难题．
6．C
【解析】
根据题意，利用向量知识，对每个选项进行逐一判断即可.
【详解】
对①，当且仅当都是同一个方向时，取得最大值6，故①正确；
对②，若与共线时，不存在实数，使成立，故②错误；
对③，设，
则
又因为，令，
故可得点是直线上的一点，
又因为，故可得；
则问题可以转化为单位圆上一点到直线上的一点之间的距离,
故画图如下：
数形结合可知，距离的最小值为到直线的距离减去半径，
则，且（当且仅当单位圆上点为时）
故，即，
故③正确；
对④，因为，，
故
设
故
故在处取得最小值，故只需，
解得，故.
故④正确.
综上所述：①③④正确.
故选：C.
【点睛】
本题综合考查向量知识，涉及平面向量基本定理，向量模长的计算，用解析的方法处理向量问题，属综合性困难题.
7．C
【解析】
【分析】
设，，则，结合正弦定理表示得，由余弦定理可得与的关系式，联立前式由同角三角函数和二次函数性质化简即可求解
【详解】
如图，设设，，则由正弦定理可得①，②，又，所以，①②式联立可得，则，则，
对，由余弦定理可得，
则
，
当时，有最大值，，所以，
故选：C
【点睛】
本题考查由三角形的边角关系求解面积最值，正弦定理、余弦定理解三角形，属于难题，
本题中的角平分线性质可当结论进行识记：为的角平分线，则
8．D
【解析】
【分析】
运用正弦定理和余弦定理将角统一成边，再利用向量的数量积运算和三角形的面积公式结合求解.
【详解】
由，
可得，即.又，所以．
因为，所以点为的重心，
所以，所以，
两边平方得．
因为，所以，
于是，所以，
的面积为.
因为的面积是面积的倍.故的面积为．
【点睛】
本题关键在于运用向量的平方可以转化到向量的夹角的关系，再与三角形的面积公式相结合求解，属于难度题.
9．D
【解析】
【分析】
根据余弦定理和的面积公式，结合题意求出、的值，再用表示，求出的取值范围，即可求出的取值范围．
【详解】
解：中，由余弦定理得，，
且的面积为，
由，
得，
化简得；
又，，
所以，
化简得，
解得或（不合题意，舍去）；
因为
所以，
所以，
由，且，，解得，
所以，所以，
所以；
设，其中，
所以，
又，所以时，取得最大值为，
时，，时，，且，
所以，即的取值范围是．
故选：．
10．A
【解析】
【分析】
【详解】
由，得，
即，
所以，
设D为AB的中点，则，故；
因为，
所以，
所以，
设BC的中点为E，同上可知，
所以P为AB与BC的垂直平分线的交点．
所以P是的外心．选A．
【点睛】
三角形“四心”的向量表示
①在中，若或，则点是的外心；
②在中，若，则点是的重心；
③在中，若，则直线过的重心；
④在中，若，则点是的垂心；
⑤在中，若，则直线通过的内心．
11．A
【解析】
【详解】
试题分析：设，则 ，，区域 表示的是平面上的点到点的距离从到之间，如下图中的阴影部分圆环，要使 为两段分离的曲线，则，故选A.
考点：1.平面向量的应用；2.线性规划.
12．A
【解析】
【分析】
解法一利用绝对值三角不等式得到，然后求的最小值即可；解法二 设，，，易得，则的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，连接，然后又，，三点共线且在，中间时，取得最小值求解.
【详解】
解法一 由题可得，，
所以要求的最小值，需求的最小值.
因为，与的夹角为，
所以的最小值为，
所以，
即的最小值为，
解法二 如图，
设，，，则，.
由，知，点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，
连接，结合图形可知，当，，三点共线且在，中间时，取得最小值.
由正弦定理得：，
所以，
故的最小值为.
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题关键是根据与的夹角为，由的最小值为而得解.
13．
【解析】
【分析】
根据面积公式及基本不等式可得，利用辅助角公式可求的最大值，从而可得的最大值.
【详解】
，
令，则，
故，故，
又，故，当且仅当满足时等号成立，
此时，故的最大值为.
故答案为：
【点睛】
方法总结：对于形如的函数的值域，可以用导数或辅助角公式来处理，后者实际上是把函数的值域问题归结三角方程的有解问题.
14．
【解析】
【分析】
首先根据三角恒等变形和正弦定理变形得到，再利用三角形面积公式得，再转化为三角函数的性质，求函数的最大值
【详解】
由题意，设中角，，所对应的边长度分别为，，，则有，
由可得，整理得，
∴，
∵，∴，∴，
由正弦定理可得，
∴，则有.
故的面积
.
∵，∴，当时，的面积取得最大值.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：本题考查三角函数和解三角形相结合的综合应用，本题的关键是利用三角恒等变形和正弦定理得到，为后面转化为关于的三角函数求最值奠定基础.
15．
【解析】
【分析】
通过建立平面直角坐标系，表示出A，B，E，P的坐标，C在单位圆上运动，表示出所需向量，做出点P关于直线AE的对称点，根据直线AE的倾斜角及对称点的中点在直线上的问题联立方程组，解得对称点的坐标，从而代入求出所需．
【详解】
设建立如图所示的直角坐标系,
则，，在单位圆上运动
取，
直线的方程为：，
已知，设
则，作轴于点，则
又
因此
作点关于直线的对称点，设
则，解得
连接，则
于是
当（），对应，且为与单位圆交点时取得最小值为
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平面向量的综合应用，属于中难题，熟知平面向量线性计算，坐标表示等是解题的关键．
16．
【解析】
【分析】
令，，，中点为，中点为，由已知画出图形，求出点轨迹，求出的最小值，除以2得答案．
【详解】
解：令，，，中点为，中点为，为的中点，
由，，，得，
则，即，所以，所以，即，，所以，因为，所以，即，所以，
所以点的轨迹为以为直径的圆，
，
当且仅当、、共线且在线段之间时取等号．
的最小值为．
故答案为：．
17．（1）、都为50m；（2）；；最大值为.
【解析】
【分析】
对于（1），设，，m，，在△OAB中，利用余弦定理可得，整理得，结合基本不等式即可得出结论；
对于（2），当△AOB的周长最大时，梯形ACBD为等腰梯形，过O作OF⊥CD交CD于F，交AB于E，则E、F分别为AB，CD的中点，利用已知可表示出相关线段；然后利用梯形的面积公式可知， ，，令，，，结合导数，确定函数的单调性，即可求出S的最大值．
【详解】
解：（1）设，，m，，
在中，，
即.
所以.
所以，当且仅当时，取得最大值，
此时周长取得最大值.
答：当、都为50m时，的周长最大.
（2）当的周长最大时，梯形为等腰梯形.
如上图所示，过O作交于F，交于E，则E、F分别为、的中点，
所以.由，得.
在中，，.
又在中，，故.
所以
，.
令，，
，.
又及在上均为单调递减函数，
故在上为单调递减函数.
因，故在上恒成立，
于是，在上为单调递增函数.
所以当时，有最大值，此时S有最大值为.
答：当时，梯形面积有最大值，且最大值为.
【点睛】
本题主要考查了余弦定理、基本不等式以及导数的应用，在（2）中得到后，利用导数得到求出，结合函数在公共区间上，减函数+减函数等于减函数，从而确定在上为单调递减函数.属于难题.
18．（I）；（II）.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）由余弦定理得到，进而得到三角形ABC是直角三角形，根据公式求得面积；（2）设，则，,由余弦公式得到， .
解析：
（Ⅰ）由题意知， ，解得，
∴，∴.
（Ⅱ）设，则，.
在中， ，
解得或（舍去），∴.
在中， .
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