北师大版2022年春季七年级数学下册课后巩固训练：2.3 平行线的性质（含解析）

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北师大版2022年春季七年级数学下册课后巩固训练
2.3 平行线的性质
一、选择题
1．如图，已知∠1＝50°，要使a∥b，那么∠2等于（　　）
A．40° B．130° C．50° D．120°
2．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝100°，∠2＝60°．要使木条a与b平行，木条a顺时针旋转的度数至少是（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
3．如图，一束平行光线中，插入一张对边平行的纸版，如果光线与纸版右下方所成的∠1是110°，那么光线与纸版左上方所成的∠2的度数是（　　）
A．110° B．100° C．90° D．70°
4．如图，l1∥l2，l3∥l4，与∠α互补的是（ ）
A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
5．如图，AB∥CD，AE∥CF，∠C＝131°，则∠A＝（ ）
A．39° B．41° C．49° D．51°
6．如图，有A，B，C三个地点，且∠ABC＝90°，B地在A地的北偏东43°方向，那么C地在B地的（　　）方向．
A．南偏东47° B．南偏西43° C．北偏东43° D．北偏西47°
7．如图，一条公路经过两次转弯后又回到原来的方向，如果第一次的拐角为150°，则第二次的拐角为（　　）
A．40° B．50° C．140° D．150°
8．生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线等反射以后沿着与直线平行的方向射出，若，，则的度数为（ ）°
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，AB∥CD，∠EGB＝50°，则∠CHG的大小为 _____．
10．如图，直线、被直线、所截，如果，，那么度数为_______．
11．∠1与∠2的两边分别平行，且∠2的度数比∠1的度数的3倍少40°，那么∠2的度数为 ___．
12．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝34°，则∠2＝_____°．
13．如图，把一条两边边沿互相平行的纸带折叠，若，则_______．
14．如图，AB∥CD，M在AB上，N在CD上，求∠1+∠2+∠3+∠4＝_______．
三、解答题
15．已知：如图，直线a，b被直线c所截，．求证：．
16．完成下面的证明如图．
已知：AD∥EF，∠1＝∠2，求证：AD平分∠BAC．
证明：∵AD∥EF （ 　 　），
∴∠2＝　 　（ 　 　），
∠1＝　 　（ 　 　）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠BAD＝∠CAD（ 　 　）．
即AD平分∠BAC．
17．如图，，P为，之间的一点，已知，，求∠1的度数．
18．如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．
（1）试说明：AD∥EF；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数．
19．如图，在ABC中，DEAC，DFAB．
（1）判断∠A与∠EDF之间的大小关系，并说明理由．
（2）求∠A+∠B+∠C的度数．
20．（1）探究：如图1，ABCDEF，试说明．
（2）应用：如图2，ABCD，点在、之间，与交于点，与交于点．若，，则的大小是多少？
（3）拓展：如图3，直线在直线、之间，且ABCDEF，点、分别在直线、上，点是直线上的一个动点，且不在直线上，连接、．若，则　　度（请直接写出答案）．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
先假设a∥b，由平行线的性质即可得出∠2的值．
【详解】
解：假设a∥b，
∴∠1=∠2，
∵∠1=50°，
∴∠2=50°．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是平行线的判定定理，即同位角相等，两直线平行．
2．B
【解析】
【分析】
由平行线的性质可求解旋转后的∠1的对顶角为120°，将其与∠1的原角度相比较即可求解．
【详解】
解：如图，当时，∠2+∠3＝180°
∵∠2＝60°
∴∠3＝120°
∵∠1＝∠3
∴∠1＝120°
∵现在木条a与木条c的夹角∠1＝100°
∴木条a顺时针旋转的度数至少是120°﹣100°＝20°
故选：B．
【点睛】
本题考查了对顶角，平行线的性质．解题的关键在于确定角度之间的数量关系．
3．A
【解析】
【分析】
根据AB∥CD，BC∥AD，分别得到∠1+∠ADC＝180°，∠2+∠ADC＝180°，因此∠1＝∠2，即可求解．
【详解】
解：如图：
∵AB∥CD，
∴∠1+∠ADC＝180°，
∵BC∥AD，
∴∠2+∠ADC＝180°，
∴∠1＝∠2．
∵∠1＝110°，
∴∠2＝110°．
故选：A．
【点睛】
本题考查平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补．
4．D
【解析】
【分析】
如图，先证明再证明 可得 再利用邻补角的定义可得答案.
【详解】
解：如图，
所以与∠α互补的是
故选D
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，邻补角的定义，掌握“两直线平行，同位角相等”是解本题的关键.
5．C
【解析】
【分析】
由题意直接根据平行线的性质进行分析计算即可得出答案．
【详解】
解：如图，
∵AB∥CD，∠C＝131°，
∴∠1 =180°-∠C=49°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AE∥CF，
∴∠A=∠C=49°（两直线平行，同位角相等）．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质即两直线平行，同旁内角互补和两直线平行，同位角相等以及两直线平行，内错角相等是解答此题的关键．
6．D
【解析】
【分析】
根据方向角的概念，和平行线的性质求解．
【详解】
解：如图：
∵AF∥DE，
∴∠ABE＝∠FAB＝43°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠CBD＝180°﹣90°﹣43°＝47°，
∴C地在B地的北偏西47°的方向上．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了方位角，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
7．D
【解析】
【分析】
由于拐弯前、后的两条路平行，可考虑用平行线的性质解答．
【详解】
解：∵拐弯前、后的两条路平行，
∴∠B=∠C=150°（两直线平行，内错角相等）．
故选：D．
【点睛】
本题考查平行线的性质，解答此题的关键是将实际问题转化为几何问题，利用平行线的性质求解．
8．C
【解析】
【分析】
根据平行线的性质可得，进而根据即可求解
【详解】
解：
故选C
【点睛】
本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
9．130°
【解析】
【分析】
根据平行线的性质可得∠EHD＝∠EGB＝50°，再利用邻补角的性质可求解．
【详解】
解：∵AB∥CD，∠EGB＝50°，
∴∠EHD＝∠EGB＝50°，
∴∠CHG＝180°﹣∠EHD＝130°．
故答案为：130°．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，邻补角，属于基础题．
10．##75度
【解析】
【分析】
求出，根据平行线的判定得出直线直线，根据平行线的性质得出即可．
【详解】
解：，
，
，
直线直线，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质，能求出直线直线是解此题的关键．
11．20°或125°##125°或20°
【解析】
【分析】
根据∠1，∠2的两边分别平行，所以∠1，∠2相等或互补列出方程求解则得到答案．
【详解】
解：∵∠1与∠2的两边分别平行，
∴∠1，∠2相等或互补，
①当∠1=∠2时，
∵∠2=3∠1-40°，
∴∠2=3∠2-40°，
解得∠2=20°；
②当∠1+∠2=180°时，
∵∠2=3∠1-40°，
∴∠1+3∠1-40°=180°，
解得∠1=55°，
∴∠2=180°-∠1=125°；
故答案为：20°或125°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质的运用，关键是注意：同一平面内两边分别平行的两角相等或互补．
12．56
【解析】
【分析】
先根据余角的定义求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵∠1＝34°，
∴∠3＝90°﹣34°＝56°．
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2＝∠3＝56°．
故答案为：56．
【点睛】
本题考查平行线的性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13．62°##62度
【解析】
【分析】
如图，根据平行线的性质可得，根据折叠的性质可得，再利用平角等于180°，据此求解即可．
【详解】
解：∵纸片两边平行，
∴
由折叠的性质可知，，
∴，
∴=62°．
故答案为：62°．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，折叠的性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点．
14．540°
【解析】
【分析】
首先过点E、F作EG、FH平行于AB，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得答案．
【详解】
如图，过点E、F作EG、FH平行于AB，
∵AB∥CD，
∵AB∥EG∥FH∥CD，
∴∠1+∠MEG＝180°，∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFN+∠4＝180°，
∴∠1+∠MEF+∠EFN+∠4＝540°，
故答案为：540°．
【点睛】
此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．
15．见解析
【解析】
【分析】
根据对顶角相等得到，再根据平行线的性质即可求解．
【详解】
解：由对顶角相等可得：
∵
∴（两直线平行同旁内角互补）
∴
【点睛】
此题考查了对顶角的性质和平行线的性质，掌握相关基本性质是解题的关键．
16．已知；∠CAD，两直线平行，同位角相等；∠BAD，两直线平行，内错角相等；等量代换．
【解析】
【分析】
根据平行线的性质进行推理即可解答．
【详解】
解：∵AD∥EF（已知），
∴∠2＝∠CAD（两直线平行，同位角相等），
∠1＝∠BAD（两直线平行，内错角相等），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠CAD＝∠BAD(等量代换），
即AD平分∠BAC（角平分线的定义）．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行、内错角相等，两直线平行、同位角相等成为解答本题的关键．
17．30°
【解析】
【分析】
首先过点P作射线，根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案．
【详解】
过点P作射线，如图①．
∵，，
∴．
∴．
∵，∴．
又∵．
∴．
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
18．（1）见解析；（2）∠B＝38°．
【解析】
【分析】
（1）由AB∥DG，得到∠BAD＝∠1，再由∠1+∠2＝180°，得到∠BAD+∠2＝180°，由此即可证明；
（2）先求出∠1＝38°，由DG是∠ADC的平分线，得到∠CDG＝∠1＝38°，再由AB∥DG，即可得到∠B＝∠CDG＝38°．
【详解】
（1）∵AB∥DG，
∴∠BAD＝∠1，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠BAD+∠2＝180°.
∵AD∥EF .
（2）∵∠1+∠2＝180°且∠2＝142°，
∴∠1＝38°，
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠CDG＝∠1＝38°，
∵AB∥DG，
∴∠B＝∠CDG＝38°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
19．（1）两角相等，见解析；（2）180°
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质得到∠A=∠BED，∠EDF=∠BED，即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠C=∠EDB，∠B=∠FDC，利用平角的定义即可求解；
【详解】
（1）两角相等，理由如下：
∵DE∥AC，
∴∠A=∠BED(两直线平行，同位角相等).
∵DF∥AB，
∴∠EDF=∠BED(两直线平行，内错角相等)，
∴∠A=∠EDF(等量代换).
（2）∵DE∥AC，
∴∠C=∠EDB(两直线平行，同位角相等).
∵DF∥AB，
∴∠B=∠FDC(两直线平行，同位角相等).
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°(等量代换).
【点睛】
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
20．（1）见解析；（2）60°；（3）70或290
【解析】
【分析】
（1）由可得，，，则；
（2）利用（1）中的结论可知，，则可得的度数为，由对顶角相等可得；
（3）结合（1）中的结论可得，注意需要讨论是钝角或是锐角时两种情况．
【详解】
解：（1）如图1，，
，，
，
．
（2）由（1）中探究可知，，
，且，
，
；
（3）如图，当为钝角时，
由（1）中结论可知，，
；
当为锐角时，如图，
由（1）中结论可知，，
即，
综上，或．
故答案为：70或290．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质与判定，难度适中，观察图形，推出角之间的和差关系是解题关键．
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