人教A版（2019）必修 第二册第七章 复数《天天增分》—7.1复数的概念（Word版，含解析）

天天增分——7.1复数的概念
一、单选题
1．设i为虚数单位，，“复数不是纯虚数“是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知向量，，，则当取最小值时，实数（ ）
A． B． C． D．
3．已知i为虚数单位，复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．已知复数（为虚数单位），若，则实数a的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
5．若复数的模为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知复数满足，其中是虚数单位，则复数在复平面中对应的点到原点的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．若复数满足，其中i为虚数单位，则对应的点(x，y)满足方程（ ）
A． B．
C． D．
8．在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”.类似地，我们在复数集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”.定义如下：对于任意两个复数，，当且仅当“”或“且”时，.按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：
①若，则；
②若，，则；
③若，则对于任意，；
④对于复数，若，则.
其中所有真命题的个数为（ ）
A． B． C． D．
9．设A,B为锐角三角形的两个内角,则复数(i为虚数单位)对应的点位于复平面的
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．若复数，满足，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
11．能使得复数位于第三象限的是（ ）
A．为纯虚数 B．模长为3
C．与互为共轭复数 D．
12．已知，是虚数单位，是的共轭复数，则下列说法与“为纯虚数”不等价的是
A． B．或，且
C．且 D．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
13．已知复数集合，其中为虚数单位，若复数，则对应的点在复平面内所形成图形的面积为________
14．化简________.点集，则的最小值_____和最大值________.
15．已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，若向量，则向量的取值范围为_________
16．复数，那么的最大值是__________
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参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
先化简z，求出a，再判断即可.
【详解】
，
z不是纯虚数，则，所以，即，
所以是的充分而不必要条件.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查根据复数的类型求参数，考查充分条件和必要条件的判断，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.
2．C
【解析】
【分析】
由知在直线上，因此要使最小，则有，由直角三角形的射影定理计算出即得．
【详解】
由知在直线上，当时，最小，
如图，，又，
∴，，这时，．
故选：C．
【点睛】
本题考查平面向量数乘的意义，掌握平面向量数乘的概念是解题关键．
3．B
【解析】
根据三角函数的诱导公式，求得复数，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】
由
即复数，
所以复数对应的点为位于第二象限.
故选：B
4．D
【解析】
【分析】
利用复数模的定义建立不等式即可求得实数a的值．
【详解】
由题意，，
可得，整理得，所以，所以，
故选：D．
5．B
【解析】
【分析】
首先根据复数的模长求得(，)，然后数形结合即可求解.
【详解】
因为复数(，)的模为，
所以(，).
又表示半圆(，)上的动点与定点连线的斜率，
如图，过点作半圆的切线，切点为，
在直角中，，，，，
所以.
故选：.
6．B
【解析】
利用复数的除法运算化简z, 复数在复平面中对应的点到原点的距离为利用模长公式即得解.
【详解】
由题意知复数在复平面中对应的点到原点的距离为
故选：B
【点睛】
本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题.
7．B
【解析】
【分析】
设，代入中，再利用模的运算，即可得答案.
【详解】
设，代入得：.
故选：B
8．B
【解析】
取特殊值可判断①、④的正误；利用“序”的定义可判断②、③的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于复数，，显然满足，但，，不满足，故①为假命题；
设，，，
由，得“”或“且”，
由，得“”或“且”，
所以， “”或“且”，即，故②为真命题；
设，，，
由可得“”或“且”，
显然有“”或“且”，从而，
故③为真命题；
对于复数，，显然满足，
令，则，，
显然不满足，故④为假命题.
故选：B.
【点睛】
本题考查复数的基本概念，理解复数集上的定义“序”及其应用是关键，也是难点，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.
9．B
【解析】
首先根据锐角三角形的性质得到，进而判断出，结合判断出对应点所在象限.
【详解】
因为A,B为锐角三角形的两个内角,所以,即,所以,所以,又,所以点在第二象限.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，考查复数对应点所在象限，属于基础题.
10．A
【解析】
【分析】
由题意分别求出复数，对应点的轨迹，再由点到直线的距离公式列式求解．
【详解】
复数对应的点为，所以点是直线上一点，
复数对应的点为.
因为表示点到定点的距离为，
所以点在以为圆心，半径为的圆上，
表示圆上一点到直线上一点的距离，其最小值为.
故选：A.
11．A
【解析】
【分析】
分析四个选项中的参数，判断是否能满足复数是第三象限的点.
【详解】
由题意可知，若复数在第三象限，
需满足 ，解得：，
A.是纯虚数，则，满足条件；
B.，解得：，当不满足条件；
C. 与互为共轭复数,则，不满足条件；
D.不能满足复数在第三象限，不满足条件.
故选：A
【点睛】
本题考查复数的运算和几何意义，主要考查基本概念和计算，属于基础题型.
12．D
【解析】
【分析】
根据复数的基本概念逐一判断．
【详解】
A.若z为纯虚数，则（且），那么，故有若，则z为纯虚数，因此与“为纯虚数”等价；B.令，则，由或，得，，又，故，B正确；C. 且与“为纯虚数”等价；D.若，有，与“为纯虚数”不等价，故选D.
【点睛】
本题考查复数基本概念的辨析，属于基础题．
13．
【解析】
【分析】
先由复数的几何意义确定集合所对应的平面区域，再确定集合所对应的平面区域，由复数，可得复数对应的点在复平面内所形成图形即为集合与集合所对应区域的重叠部分，结合图像求出面积即可.
【详解】
因为复数集合，所以集合所对应的平面区域为与所围成的正方形区域；
又，设，且,,，
所以，设对应的点为，
则，所以，又,，所以，
因为复数，对应的点在复平面内所形成图形即为集合与集合所对应区域的重叠部分，如图中阴影部分所示，
由题意及图像易知：阴影部分为正八边形，只需用集合所对应的正方形区域的面积减去四个小三角形的面积即可.
由得，由得，
所以.
故答案为
【点睛】
本题主要考复数的几何意义，以及不等式组所表示平面区域问题，熟记复数的几何意义，灵活掌握不等式组所表示的区域即可，属于常考题型.
14． 1 3
【解析】
根据复数的代数形式的除法、乘方运算法则计算可得，根据复数的几何意义得到的轨迹，即可得到的最值；
【详解】
解：
设，因为
即
根据复数的几何意义可知表示以为圆心，为半径的圆上的点集，
则，，
故答案为：；；.
【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，也考查了复数模的求法与几何意义，是中档题．
15．
【解析】
【分析】
根据已知条件一元二次方程根的特征可知，也是的虚数根，结合已知条件，利用根与系数之间的关系和判别式求出的取值范围，然后再利用向量的模长公式和一元二次函数性质即可求解.
【详解】
不妨设，，
因为是实系数一元二次方程的一个虚数根，
所以也是的一个虚数根，
从而 ①，
又因为无实根，
所以 ②，
由①②可得，，
因为，所以，
由一元二次函数性质易知，
当时，有最小值5；当时，；当时，，
故当时，，即，
故向量的取值范围为：.
故答案为：.
16．
【解析】
【分析】
设，且，求出，再由三角换元可求出最大值．
【详解】
设，且，，
所以，令
则
所以最大值为，
故答案为：．
【点睛】
关键点点睛：本题关键在于利用待定系数法结合三角函数求得最值．
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