人教A版（2019）必修 第二册第七章 复数《天天增分》—7.3复数的三角表示（Word版，含解析）

天天增分——7.3复数的三角表示
一、单选题
1．如图,O是坐标原点,M,N是单位圆上的两点,且分别在第一和第三象限,则||的范围为(　　)
A．[0,)
B．[0,2)
C．[1,)
D．[1,2)
2．的内角的对边分别为，且，若边的中线等于3，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图四边形ABCD为平行四边形，，若，则的值为
A． B． C． D．1
4．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图"中，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量、满足，若，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．3
6．复数的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
7．在中，，若O为内部的一点，且满足，则
A． B． C． D．
8．在△ABC中，若A=60°，BC=4，AC=4，则角B的大小为（ ）
A．30° B．45°
C．135° D．45°或135°
9．设z1＝1－2i，z2＝1＋i，z3＝－1＋3i则argz1＋argz2＋argz3＝（ ）
A． B．
C． D．
10．若非零向量满足，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
11．已知向量，，，则当取最小值时，实数（ ）
A． B． C． D．
12．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=an+a(n∈N*，a为常数)，若平面内的三个不共线的非零向量满足，A，B，C三点共线且该直线不过O点，则S2010等于（ ）
A．1005 B．1006 C．2010 D．2012
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
13．，则__________.
14．设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为______．
15．复数的辐角主值为________.
16．已知复数（i为虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，则_____.
试卷第页，共页
试卷第页，共页
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
设的夹角为θ，θ∈，则cosθ∈[﹣1，0），||2=+2=2+2cosθ即可．
【详解】
设的夹角为θ,θ∈,则cos θ∈[-1,0),||2=+2=2+2cos θ∈[0,2),故||的范围为[0,).
答案A
【点睛】
本题考查了向量模的取值范围的求解，转化为三角函数求最值，属于基础题．解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底．
2．C
【解析】
由正弦定理及三角函数恒等变换化简已知条件可得，由，求得，可求得，取的中点，延长至点，使得是中点，连接，则四边形是平行四边形，在三角形中，由余弦定理可求得，之后利用面积公式求得结果.
【详解】
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以．
取的中点，延长至点，使得是中点，
连接，则四边形是平行四边形，
在三角形中，，
，，，
由余弦定理得，解得，
所以三角形的面积为，
故选：C.
【点睛】
该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有应用正弦定理和余弦定理解三角形，三角形的面积公式，属于简单题目.
3．D
【解析】
【分析】
选取为基底将向量进行分解，然后与条件对照后得到的值．
【详解】
选取为基底，
则，
又，
将以上两式比较系数可得．
故选D．
【点睛】
应用平面向量基本定理应注意的问题
（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，合理地选择基底会给解题带来方便；
（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算；
（3）一个向量按照同一组基底进行分解后，所得结果具有唯一性．
4．D
【解析】
【分析】
利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可；
【详解】
由题意,
，
故选：D
5．C
【解析】
【分析】
利用已知条件求出向量、的夹角，建立直角坐标系把所求问题转化为解析几何问题.
【详解】
设、所成角为，
由，，
则，因为
所以，
记，,
以所在的直线为轴，以过点垂直于的直线为轴，
建立平面直角坐标系，
则，，
所以，，
，
所以，
表示点与点两点间的距离，
由
，
所以，
表示点与点两点间的距离，
的最小值转化为
到两点的距离和最小，
在直线上，
关于直线的对称点为，
的最小值为.
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题考查了向量模的坐标运算以及模转化为两点之间距离的转化思想，解题的关键是将向量的模转化为点到、两点间的距离，考查了运算求解能力.
6．C
【解析】
【分析】
根据余弦的二倍角公式以及诱导公式将复数的代数系数转化为三角形式即可求解.
【详解】
，
故选：C.
7．C
【解析】
【详解】
因为，所以 是的重心；所以 又故选C
8．B
【解析】
【分析】
根据正弦定理，结合特殊角的三角函数值、以及大边对大角进行求解即可.
【详解】
由正弦定理，得，
则sin B=
因为BC>AC，
所以A>B，而A=60°，
所以B=45°.
故选：B
9．C
【解析】
【分析】
根据复数辐角主值的范围，结合复数的性质，先求z1·z2·z3，从而求得其辐角主值，进而求得结果.
【详解】
∵z1·z2·z3＝(1－2i)(1＋i)(－1＋3i)
＝(3－i)(－1＋3i)＝10i，
∴argz1＋argz2＋argz3＝＋2kπ，k∈Z.
∵argz1∈，argz2∈，argz3∈，
∴argz1＋argz2＋argz3∈.
∴argz1＋argz2＋argz3＝.
【点睛】
该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有多个复数辐角主值和的求解，属于简单题目.
10．C
【解析】
【分析】
先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．
【详解】
，，
又 ，
又向量夹角范围为，所以与的夹角为，
故选：C.
【点睛】
方法点睛：本题考查利用平面向量数量积计算向量夹角与垂直问题，求向量夹角，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为，考查学生的转化与化归、数学计算能力，属于基础题.．
11．C
【解析】
【分析】
由知在直线上，因此要使最小，则有，由直角三角形的射影定理计算出即得．
【详解】
由知在直线上，当时，最小，
如图，，又，
∴，，这时，．
故选：C．
【点睛】
本题考查平面向量数乘的意义，掌握平面向量数乘的概念是解题关键．
12．A
【解析】
根据an+1=an+a，可判断数列{an}为等差数列，而根据，及三点A，B，C共线即可得出a1+a2010=1，从而根据等差数列的前n项和公式即可求出S2010的值.
【详解】
由an+1=an+a，得，an+1﹣an=a；
∴{an}为等差数列；
由，
所以A，B，C三点共线；
∴a1005+a1006=a1+a2010=1，
∴S2010.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查等差数列的定义，其前n项和公式以及共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.
13．400
【解析】
【分析】
将分子、分母化为复数的三角形式，根据复数乘除的几何含义，求的三角形式，即可求.
【详解】
，
若，则，
∴.
故答案为：.
14．
【解析】
【分析】
利用复数模的平方等于复数的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值．
【详解】
，解得：，
，
设，
，
当时，，∴的最小值是．
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：解题关键是合理转化，应用函数求最值．本题的特点是注重基础，本题考查了利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查转化与化归思想，考查数学运算、数学建模等学科素养．
15．
【解析】
先化简再根据辐角主值的定义求解即可.
【详解】
因为,所以
所以,所以复数z的辐角主值为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了复数的基本运算与辐角主值的辨析,属于基础题.
16．1
【解析】
的共轭复数是实系数一元二次方程的一个根，利用一元二次方程的根与系数的关系求、.
【详解】
解:因为是实系数一元二次方程的一个根，
所以是实系数一元二次方程的一个根，
所以，，
因此.
故答案为：1.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题.
试卷第页，共页
试卷第页，共页