人教A版（2019）必修 第二册第七章 复数《天天增分》—单元综合检测卷（Word版，含解析）

天天增分——第七章复数综合检测卷
一、单选题
1．若同一平面内向量两两所成的角相等，且，则等于( )
A．2 B．5 C．2或5 D．或
2．在中，，若O为内部的一点，且满足，则
A． B． C． D．
3．在中，若，，，则等于（ ）
A． B．或 C． D．或
4．已知向量，，，则当取最小值时，实数（ ）
A． B． C． D．
5．已知在中，，，点沿运动，则的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．3
6．已知为虚数单位，若复数，在复平面内对应的点分别为，，则复数（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=an+a(n∈N*，a为常数)，若平面内的三个不共线的非零向量满足，A，B，C三点共线且该直线不过O点，则S2010等于（ ）
A．1005 B．1006 C．2010 D．2012
8．已知复数，是z的共轭复数，则=
A． B． C．1 D．2
9．是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若，则∠B的大小是（ ）
A． B． C． D．
11．已知复数 满足的复数的对应点的轨迹是（　　）
A．1个圆 B．线段 C．2个点 D．2个圆
12．若非零向量满足，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
13．已知向量，，，，若，则的最小值______.
14．在四边形中,,且,则四边形的面积为________．
15．若是方程的一个根，则______.
16．已知向量，，向量在向量上的投影等于1，则的最小值为______.
三、解答题
17．已知向量，，记函数.
（1）求函数在上的取值范围；
（2）若为偶函数，求的最小值.
18．已知ABC中三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，且，.
（1）若，求的值；
（2）当取得最大值时，求A的值.
试卷第页，共页
试卷第页，共页
参考答案：
1．C
【解析】
【详解】
因为同一平面内向量两两所成的角相等，所以当三个向量所成的角都是120°时，，即；当三个向量所成的角都是0°时，.故或5.选C.
【点睛】
平面向量数量积的类型及求法
(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.
(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.
2．C
【解析】
【详解】
因为，所以 是的重心；所以 又故选C
3．D
【解析】
【分析】
由正弦定理，求得，再由，且，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，在中，由正弦定理可得，
即，
又由，且，
所以或，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
4．C
【解析】
【分析】
由知在直线上，因此要使最小，则有，由直角三角形的射影定理计算出即得．
【详解】
由知在直线上，当时，最小，
如图，，又，
∴，，这时，．
故选：C．
【点睛】
本题考查平面向量数乘的意义，掌握平面向量数乘的概念是解题关键．
5．A
【解析】
当点在上运动时，设，得到，根据向量的数量积，化简得到，求得取得最小值；当点在上运动时，设，得到，化简得到，求得最小值.
【详解】
在中，，，可得，
当点在上运动时，设，则，所以，
又因为，所以，所以，
所以，
当时，取得最小值.
当点在上运动时，设，则，
所以，
又因为，所以，所以，
所以，
当时，取得最小值，
综上可得，的最小值是.
故选：A.
【点睛】
解决向量在平面几何中的应用问题的两种方法：
（1）坐标法，把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得到解决；
（2）基向量法，选取一组合适的基底，将未知向量用基底表示出来，然后根据向量的运算法则 运算律和性质求解.
6．A
【解析】
【分析】
根据题意，，故，计算得到答案.
【详解】
根据题意，，故.
故选：A.
【点睛】
本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.
7．A
【解析】
根据an+1=an+a，可判断数列{an}为等差数列，而根据，及三点A，B，C共线即可得出a1+a2010=1，从而根据等差数列的前n项和公式即可求出S2010的值.
【详解】
由an+1=an+a，得，an+1﹣an=a；
∴{an}为等差数列；
由，
所以A，B，C三点共线；
∴a1005+a1006=a1+a2010=1，
∴S2010.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查等差数列的定义，其前n项和公式以及共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.
8．A
【解析】
【分析】
利用复数除法化简，再求出共轭复数，进而可得结果.
【详解】
，
，，
故答案为：A.
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
9．B
【解析】
【详解】
试题分析：设，，∴，，
，∴.
【考点】向量数量积
【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．
10．D
【解析】
根据正弦定理，可得，令，，，再结合公式，列出关于的方程，解出后，进而可得到的大小.
【详解】
解：∵，
∴，
即，
令，，，显然，
∵，
∴，解得，
∴，B＝．
故选：D.
【点睛】
本题考查正弦定理边角互化的应用，考查两角和的正切，用k表示，，是本题关键
11．A
【解析】
【详解】
因为,所以, (负舍)
因此复数的对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的圆,选A.
12．C
【解析】
【分析】
先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．
【详解】
，，
又 ，
又向量夹角范围为，所以与的夹角为，
故选：C.
【点睛】
方法点睛：本题考查利用平面向量数量积计算向量夹角与垂直问题，求向量夹角，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为，考查学生的转化与化归、数学计算能力，属于基础题.．
13．
【解析】
【分析】
首先根据向量平行的坐标表示得到，再根据“1”的变形，利用基本不等式求最值.
【详解】
，，
，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是利用“1”的妙用，变形，展开后，即可利用基本不等式求最值.
14．
【解析】
【详解】
试题分析：因为=，所以四边形ABCD为平行四边形，又因为，所以平行四边形ABCD为菱形，且，因此
考点：向量加法平行四边形法则
15．38；
【解析】
【分析】
假设另外一个根为，根据是实数，结合韦达定理，可得结果.
【详解】
假设另外一个根为，
是方程的一个根，
则
①
由，可知是的共轭复数，
所以 ②
把②代入①可知
所以
故答案为：38
【点睛】
本题重在考查是实数，掌握复数共轭复数的形式，属基础题
16．
【解析】
利用向量不等式可求解.
【详解】
由向量在向量上的投影等于1，可知（向量、夹角）
又，，所以
当与反向，时，等号成立.
故答案为:
【点睛】
此题考查利用向量不等式求最值，同时考查向量的投影概念，属于中档题.
17．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先根据向量数量积坐标表示化简、再根据二倍角正弦公式与余弦公式、辅助角公式化简函数为，最后根据余弦函数性质求值域；
（2）先根据为偶函数求得，再求的最小值.
【详解】
解：（1）
则∵，
∴的取值范围为.
（2）因为为偶函数，
所以
因此当时.
【点睛】
本题考查向量数量积、二倍角正弦公式与余弦公式、辅助角公式、余弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.
18．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理求出，再利用两角和差的正弦公式求，求得；
（2）将化简，并用正弦定理将用解的三角函数式表示，再分析其求最值时的值.
【详解】
（1）在中，由正弦定理得，
∴，∵，∴，
∴.
（2）
当且仅当，即时取到最大值.
【点睛】
本题考查了两角和差的正弦公式，正弦定理，平面向量数量积的定义，三角函数的最值，这是一道考查了多个基本知识的综合题，属于中档题.
试卷第页，共页
试卷第页，共页