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1.2直角三角形的性质和判定(Ⅱ)第1课时教案
主备人： 审核人： 本章课时序号：3
课 题 勾股定理 课型 新授课
教学目标 1. 通过探究，能推导出直角三角形的性质—勾股定理； 2. 已知直角三角形的任意两边，能利用勾股定理求第三边； 3. 提高看图用图，解答几何问题的能力； 4. 了解勾股定理的产生，激发学习数学的欲望.
教学重点 1. 探索直角三角形的三边关系—勾股定理； 2. 掌握勾股定理，能初步利用勾股定理求直角三角形的边。
教学难点 1. 勾股定理的推导； 2. 用勾股定理求直角三角形的边。
教 学 活 动
一、复习铺垫 师问生答，ppt展示 1、 直角三角形的两个锐角有什么关系？斜边上的中线有什么性质？ 生：直角三角形的两个锐角互余。 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。. 2、 直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有什么关系？ 生：在直角三角中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；反过来，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 二、教学新知 （一）初步感知 问题1：如图，在方格纸上(设小方格边长为单位1)画一个顶点都在格点上的直角三角形，使其两直角边a，b分别为3，4，量出这个直角三角形斜边的长度. 学生度量后并回答： 我量得斜边c=5. （二）发现结论，引出问题 问题2：如下图，在方格纸上， 以Rt△ABC 的三边为边长分别向外作正方形，得到三个大小不同的正方形，那么这三个正方形的面积S ，S ，S 之间有什么关系呢？ 1、 探究S 的算法 由图知，S 等于红色区域内大正方形的面积，减去4 个小三角形的面积. 即 S =7 -4××4×3=25=5 2、 探究S ，S ，S 之间的关系 又∵ S +S =3 +4 =5 ， ∴ S +S =S . 3、 发现结论，引出问题 在图中，S + S =S ， 即BC +AC =AB ，那么是否对所有的直角三角形，都有两直角边的平方和等于斜边的平方呢？ （二）探究勾股定理 问题3：如图，任作一个Rt△ABC，∠C=90°，若BC=a，AC=b，AB=c，那么 a +b =c 是否成立呢？ 1、 操作： 步骤1 如图(a)，先剪出4个如图所示的直角三角形， 由于每个直角三角形的两直角边长为a，b(其中b>a)，于是它们全等(SAS)，从而它们的斜边长相等. 设斜边长为c. 步骤2 再剪出1个边长为c的正方形，如图(b). 步骤3 把步骤1和步骤2中拼成下面右边的图形，如图(c). 图(a) 图(b) 图(c) 2、 证明三边关系 (1)证明拼成的图形是正方形 ∵ △DHK≌△IEH， ∴ ∠2=∠4. 又∵ ∠1+∠2=90°， ∴ ∠1+∠4=90°. 又∵ ∠KHI=90°， ∴ ∠1+∠KHI+∠4=180°，即D，H，E在一条直线上. 同理，E，I，F在一条直线上，F ，J，G 在一条直线上，G ，K，D 在一条直线上. 因此拼成的图形是正方形DEFG，它的边长为(a + b)，它的面积为(a + b) . (2)推导出三边关系式 又正方形DEFG的面积为c +4 ab. ∴ (a+b) =c +4 ab. 即 a +2ab+b =c +2ab. ∴ a +b =c. 3、 得出结论 直角三角两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方. a +b =c 4、 说明勾股定理的来由. 其实我国早在三千多年前就已经知道直角三角形的上述性质，由于古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦，如右图，因此这一性质被称为勾股定理. 5、 揭示勾股定理的意义 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.在直角三角形中，若已知直角三角形任意两条边长， 我们可以根据勾股定理，求出第三边的长. 三、讲解例题 例1 如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=13cm，BC=10cm， AD⊥BC于点D. 你能算出BC边上的高AD的长吗？ 分析：先利用等腰三角形的性质求出BC；再在Rt△ADC中，利用勾股定理即可求出AD. 解：在△ABC中， ∵ AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC， ∴ BD=BC=5. 在Rt△ADB中， 由勾股定理得， AD +BD =AB ， ∴ AD= 故AD的长为12cm. 四、巩固练习 1、 在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AB=10，AC=( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 2、 已知一个直角三角形的两边长分别为3cm和4cm，则第三边的长是（ ） A. 5cm B. 7cm C. cm D. 5cm或cm 【答案】D 3、 已知等边三角形的边长为a，则高为（ ） A. a B. a C. a D. a 【答案】C 4、 已知直角三角形的两直角边分别为9cm和12cm，则斜边上的高为（ ） A. 3.6cm B. 4.8cm C. 7.2cm D. 10.8cm 【答案】C 五、课堂总结 提问：关于直角三角形三边关系的性质定理是什么？ PPT： 勾股定理 直角三角两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方. a +b =c 六、作业布置 1、 第11页课后练习题 2、 习题1.4第1、4题
板书设计 1.2直角三角形的性质和判定（Ⅱ）第2课时 1、 勾股定理：a +b =c 2、 已知直角三角形的任意两边，利用勾股定理求第三边.
课后反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共28张PPT)
直角三角形的性质和判定(Ⅱ)(勾股定理)
湘教版 八年级下
教学目标
1. 通过探究，能推导出直角三角形的性质—勾股定理；
2. 已知直角三角形的任意两边，利用勾股定理求第三边；
3. 提高看图用图，解答几何问题的能力；
4. 了解勾股定理的产生，激发学习数学的欲望.
新知导入
直角三角形的两个锐角互余。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
1.直角三角形的两个锐角有什么关系？斜边上的中线有什
么性质？
2.直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有什么关系？
在直角三角中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；反过来，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
新知讲解
如图，在方格纸上(设小方格边长为单位1)画一个顶点都在格点上的直角三角形，使其两直角边a，b分别为3，4，量出这个直角三角形斜边的长度.
做一做
我量得斜边c=5.
新知讲解
如下图，在方格纸上， 以Rt△ABC 的三边为边长分别向外作正方形，得到三个大小不同的正方形，那么这三个正方形的面积S1，S2 ，S3 之间有什么关系呢？
议一议
新知讲解
由图知，S 等于红色区域内大正方形的面积，减去4 个小三角形的面积.
即S =7 -4××4×3=25=5
.
又∵ S +S =3 +4 =5 .
∴ S +S =S .
新知讲解
在图中， S + S =S ， 即BC +AC =AB ，那么是否对所有的直角三角形，都有两直角边的平方和等于斜边的平方呢？
新知讲解
如图，任作一个Rt△ABC，∠C=90°，若BC=a，AC=b，AB=c，那么a +b =c 是否成立呢？
探究
A
B
C
a
b
c
我们可以按下面步骤进行研究.
新知讲解
步骤1 如图，先剪出4个如图所示的直角三角形， 由于每个直角三角形的两直角边长为a，b(其中b> a)，于是它们全等(SAS)，从而它们的斜边长相等. 设斜边长为c.
a
b
c
新知讲解
步骤2 再剪出1个边长为c的正方形(下面左边的图形).
步骤3 把步骤1和步骤2中拼成下面右边的图形.
c
a
b
c
b
a
b
a
b
a
c
c
c
D
H
E
F
J
G
I
K
1
2
4
3
新知讲解
∵ △DHK≌△IEH，
∴ ∠2=∠4.
又∵ ∠1+∠2=90°，
∴ ∠1+∠4=90°.
又∵ ∠KHI=90°，
∴ ∠1+∠KHI+∠4=180°，即D，H，E在一条直线上.
新知讲解
同理，E，I，F在一条直线上；
F ，J，G 在一条直线上；
G ，K，D 在一条直线上.
因此拼成的图形是正方形DEFG，它的边长为(a + b)，它的面积为(a + b) .
新知讲解
又正方形DEFG的面积为
.
∴
即
∴
新知讲解
由此得到直角三角形的性质定理：
直角三角两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方.
a +b =c
新知讲解
其实我国早在三千多年前就已经知道直角三角形的上述性质，由于古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦，如右图，因此这一性质被称为勾股定理.
勾
股
弦
新知讲解
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.在直角三角形中，若已知直角三角形任意两条边长， 我们可以根据勾股定理，求出第三边的长.
例题讲解
例1 如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=13cm，BC=10cm，AD⊥BC 于点D. 你能算出BC边上的高AD的长吗？
A
D
B
C
分析 先利用等腰三角形的性质求出BC；再在Rt△ADC中，利用勾股定理即可求出AD.
例题讲解
解：在△ABC中，
∵ AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC，
∴ BD=BC=5
.
由勾股定理得， AD +BD =AB ，
在Rt△ADB中，
∴
A
D
B
C
故AD的长为12cm.
巩固练习
B
1. 在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AB=10，AC=( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 12
A
B
C
巩固练习
D
2. 已知一个直角三角形的两边长分别为3cm和4cm，则第三边的长是（ ）
A. 5cm
B. 7cm
C. cm
D. 5cm或cm
巩固练习
3. 已知等边三角形的边长为a，则高为（ ）
A.
B.
C.
D.
C
巩固练习
4. 已知直角三角形的两直角边分别为9cm和12cm，则斜边上的高为（ ）
A. 3.6cm
B. 4.8cm
C. 7.2cm
D. 10.8cm
C
课堂总结
关于直角三角形三边关系的性质定理是什么？
直角三角两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方.
a +b =c
勾股定理：
作业布置
第11页课后练习题：
在Rt△ABC中，∠C= 90°.
(1) 已知a=25，b=15，求c；
(2) 已知a=5，c=9，求b；
(3) 已知b=5，c=15，求a.
作业布置
习题1.2第1、4题：
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，
(1)若a=8，c=17，那么b= ；
(2)若a=10，b=24，那么c= .
15
26
作业布置
4. (1)等边三角形的边长为，求它的中线长，并求出其面积.
(2)等边三角形的一条角平分线长为，求这个三角形的面积.
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