(共25张PPT)
直角三角形的性质和判定(Ⅱ)（勾股定理的逆定理）
湘教版 八年级下
教学目标
1. 能证明勾股定理的逆定理，理解证明方法；
2. 能用勾股定理的逆定理判定直角三角形；
3. 能综合运用勾股定理和逆定理解决三角形的有关问题；
4. 提高逻辑推理能力，养成有序思考和解答问题的习惯.
新知导入
直角三角两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方.
a +b =c
你能准确地叙述勾股定理吗？
那么，勾股定理的逆命题是否成立呢？
新知讲解
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，且a2+ b2 =c2，那么△ABC是直角三角形吗？
探究
A
B
C
a
b
c
新知讲解
如果我们能构造一个直角三角形，然后证明△ABC与所构造的直角三角形全等， 即可得△ABC是直角三角形.
如图，作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=a，A′C′=b.
新知讲解
A′
B′
C′
a
b
∵ a2+b2 =c2，
∴ A′B′ =c .
∴ A′B′=c.
在Rt△A′B′C′中，根据勾股定理得，
A′B′ =a + b ，
在△ABC和△A′B′C′中，
新知讲解
A′
B′
C′
a
b
∵ BC=B′C′=a，
AC=A′C′=b，
AB=A′B′=c.
∴ △ABC≌△A′B′C′.
∴ ∠C=∠C′=90°.
∴ △ABC是直角三角形.
新知讲解
先构造满足某些条件的图形，然后根据所求证的图形与所构造图形之间的关系，完成证明，这也是常用的问题解决策略.
温馨提示：
新知讲解
由此得到直角三角形的判定定理：
如果三角形的三条边长a，b，c满足关系：
a2+ b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
上述定理被称为勾股定理的逆定理.
例题讲解
例3 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形.
(1) a=6，b=8，c=10；
(2) a=12，b=15，c=20.
分析 根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看：两条较短边长的平方和是否等于最长边的平方.
例题讲解
解 (1)∵ 6 + 8 =100，10 =100，
∴ 6 + 8 =100.
∴这个三角形是直角三角形.
(2)∵ 12 + 15 = 369， 20 =400，
∴ 12 + 15 ≠ 20 .
∴ 这个三角形不是直角三角形.
满足a2+b2=c2的三个正整数称为勾股数.
例题讲解
例4 如图，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17. 求DC的长.
分析 在△ABD中，已知AB=10，BD=6，AD=8，可证△ABD是直角三角形.则△ADC是直角三角形.
A
B
C
D
在Rt△ADC中，已知AD=8，AC=17，即可求出DC的长.
例题讲解
解 在△ABD中，AB=10，BD=6，AD=8，
A
B
C
D
∵ 6 +8 =10 ，
即 AD +BD =AB ，
∴ △ADB为直角三角形.
∴ ∠ADB=90°.
∴ ∠ADC=180°-∠ADB=90°.
例题讲解
在Rt△ADC中，
A
B
C
D
DC =AC -AD ，
∴
.
巩固练习
1.(北京模拟)在下列四组线段中，不能组成直角三角形的是（ ）
A. a=2，b=3，c=4
B. a=6，b=8，c=10
C. a=3，b=4，c=5
D. a=1，b=，c=2
A
巩固练习
2. 下列四组数据中，是勾股数的是（ ）
A. 0.6，0.8，1
B. -5，-12，13
C. 7，24，25
D. 1，，2
C
点拨：勾股数必须满足两个条件：①三个数都是正整数；②两个较小数的平方和等于较大数的平方.
巩固练习
3.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且满足(a+b)(a-b)=c ，下列判断正确的是（ ）
A. △ABC是等腰三角形
B. △ABC是直角三角形，∠A是直角
C. △ABC是直角三角形，∠C是直角
D. △ABC是等腰直角三角形，∠C是直角
B
点拨：把(a+b)(a-b)=c 化简变形，得a =b +c ，知三边满足勾股定理，且a为斜边，而所对的∠A是直角，故选B.
课堂总结
直角三角形的判定定理是什么？这个定理又叫作什么？
如果三角形的三条边长a，b，c满足关系：
a2+ b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
这个定理又称为勾股定理的逆定理.
课堂总结
满足什么条件的三个数是勾股数？
三个数都是正整数，且两个较小数的平方和等于较大数的平方，这样的一组数叫作勾股数.
如何判定一个三角形是直角三角形？
①证明一个角是直角(定义法).
②证明两个角互为余角，即证明两个角的度数之和为90°.
③利用勾股定理的逆定理证明.
作业布置
第16页课后练习第1、2题：
1. 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形.
(1) a=8，b=15，c=17；
(2) a=10，b=24，c=25；
(3) a=4，b=5， c =.
作业布置
2. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，F为CD的中点，E是BC上一点，且EC=BC.
求证：△AEF是直角三角形.
作业布置
证明 在Rt△ADF中， DF=CF=2，AD=4，
∴ AF =DF +AD =2 +4 =20.
在Rt△ECF中，CF=2，CE=1，
∴ EF =CF +CE =2 +1 =5.
在Rt△ABE中，AB=4，BE=3，
∴ AE =BE +AB =3 +4 =25.
作业布置
∴ AF +EF =20+5=25.
∴ AF +EF =AE .
∴ △AEF是直角三角形.
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
1.2直角三角形的性质和判定(Ⅱ)第3课时教案
主备人： 审核人： 本章课时序号：5
课 题 勾股定理的逆定理 课型 新授课
教学目标 1. 能证明勾股定理的逆定理，理解证明方法； 2. 能用勾股定理的逆定理判定直角三角形； 3. 能综合运用勾股定理和逆定理解决三角形的有关问题； 4. 提高逻辑推理能力，养成有序思考和解答问题的习惯.
教学重点 1. 证明勾股定理的逆定理； 2. 用勾股定理的逆定理判定直角三角形； 2. 勾股定理和它是逆定理的综合应用.
教学难点 1. 勾股定理的逆定理的证明； 2. 勾股定理和它是逆定理的综合应用.
教 学 活 动
一、复习与导入 1、 复习：你能准确地叙述勾股定理吗？ PPT：直角三角两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方，a +b =c . 2、 导入：勾股定理的逆命题是否成立呢？ 二、教学新知 1、 出示问题 探究：如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，且a2+ b2 =c2，那么△ABC是直角三角形吗？ 2、 学生讨论，教师启发 生：如果我们能构造一个直角三角形，然后证明△ABC与所构造的直角三角形全等， 即可得△ABC是直角三角形. 3、 命题证明 如图，作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=a，A′C′=b. 在Rt△A′B′C′中，根据勾股定理得， A′B′ =a + b ， ∵ a2+b2 =c2， ∴ A′B′ =c . ∴ A′B′=c. 在△ABC和△A′B′C′中， ∵ BC=B′C′=a， AC=A′C′=b， AB=A′B′=c. ∴ △ABC≌△A′B′C′. ∴ ∠C=∠C′=90°. ∴ △ABC是直角三角形. 4、 方法提示 先构造满足某些条件的图形，然后根据所求证的图形与所构造图形之间的关系，完成证明，这也是常用的问题解决策略. 5、 归纳结论 PPT：由此得到直角三角形的判定定理： 如果三角形的三条边长a，b，c满足关系：a2+ b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. 上述定理被称为勾股定理的逆定理. 三、例题讲解 例3 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形. (1) a=6，b=8，c=10； (2) a=12，b=15，c=20. 分析：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看：两条较短边长的平方和是否等于最长边的平方. 解：(1)∵ 6 + 8 =100，10 =100， ∴ 6 + 8 =100. ∴这个三角形是直角三角形. (2)∵ 12 +15 = 369， 20 =400， ∴ 12 +15 ≠20 . ∴ 这个三角形不是直角三角形. 随机讲解：满足a2+b2=c2的三个正整数称为勾股数.例如，3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25；12、15、20等。但是，满足a2+b2=c2的小数、分数、负数、无理数不是勾股数。 例4 如图，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17. 求DC的长. 分析：在△ABD中，已知AB=10，BD=6，AD=8，可证△ABD是直角三角形.则△ADC是直角三角形. 在Rt△ADC中，已知AD=8，AC=17，即可求出DC的长. 解：在△ABD中，AB=10，BD=6，AD=8， ∵ 6 +8 =10 ， 即 AD +BD =AB ， ∴ △ADB为直角三角形. ∴ ∠ADB=90°. ∴ ∠ADC=180°-∠ADB=90°. 在Rt△ADC中， DC = AC -AD ， ∴ DC==15. 四、巩固练习 1、 (北京模拟)在下列四组线段中，不能组成直角三角形的是（ ） A. a=2，b=3，c=4 B. a=6，b=8，c=10 C. a=3，b=4，c=5 D. a=1，b=，c=2 【答案】A 2、 下列四组数据中，是勾股数的是（ ） A. 0.6，0.8，1 B. -5，-12，13 C. 7，24，25 D. 1，，2 【答案】C 【点拨】勾股数必须满足两个条件：①三个数都是正整数；②两个较小数的平方和等于较大数的平方. 3、 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且满足(a+b)(a-b)=c ，下列判断正确的是（ ） A. △ABC是等腰三角形 B. △ABC是直角三角形，∠A是直角 C. △ABC是直角三角形，∠C是直角 D. △ABC是等腰直角三角形，∠C是直角 【答案】A 【点拨】把(a+b)(a-b)=c 化简变形，得a =b +c ，可知三边满足勾股定理，且a为斜边，而所对的∠A是直角，故选B. 五、课堂总结 师问生答，PPT展示 1、 直角三角形的判定定理是什么？ 生：如果三角形的三条边长a，b，c满足关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.这个定理又称为勾股定理的逆定理. 2、 满足什么条件的三个数是勾股数？ 生：三个数都是正整数，且两个较小数的平方和等于较大数的平方，这样的一组数叫作勾股数. 3、 如何判定一个三角形是直角三角形？ 生：①证明一个角是直角(定义法). ②证明两个角互为余角，即证明两个角的度数之和为90°. ③利用勾股定理的逆定理证明. 六、作业布置 第16页课后练习第1、2题 1、 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形. (1) a=8，b=15，c=17； (2) a=10，b=24，c=25； (3) a=4，b=5， c =√41. 学生当堂解答，集体订正。 2、 如图，在边长为4的正方形ABCD中，F为CD的中点，E是BC上一点，且EC=1/4BC. 求证：△AEF是直角三角形. 证明 在Rt△ADF中， DF=CF=2，AD=4， ∴ AF =DF +AD =2 +4 =20. 在Rt△ECF中，CF=2，CE=1， ∴ EF =CF +CE =2 +1 =5. 在Rt△ABE中，AB=4，BE=3， ∴ AE =BE +AB =3 +4 =25. ∴ AF +EF =20+5=25. ∴ AF +EF =AE . ∴ △AEF是直角三角形.
板书设计 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c满足关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 2、 判定直角三角形的方法：证明一个角是直角；证明两个角互余；用勾股定理的逆定理判定。 已知两边，直接运用；已知边之间的关系，设未知数列方程. 3、 勾股定理和它的逆定理的综合应用。
课后反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
