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1.4 角平分线的性质(1)教案
主备人： 审核人： 本章课时序号：7
课 题 角平分线的性质 课型 新授课
教学目标 1. 通过探究和证明，掌握角平分线的性质定理； 2. 通过合作活动，掌握角平分线性质定理的逆定理； 3. 能利用角平分线的性质定理及逆定理解决简单问题； 4. 增强探究几何结论的能力，培养科学严谨的学习习惯.
教学重点 1. 探究角平分线的性质定理和逆定理； 2. 利用角平分线的性质定理及逆定理解决简单问题.
教学难点 1. 探究角平分线的性质定理和逆定理； 2. 利用角平分线的性质定理及逆定理解决简单问题.
教 学 活 动
一、复习铺垫 1、 回答问题：已知下列条件，如何判定两个直角三角形全等？ (1)两个直角三角形的两直角边对应相等. 生答：SAS (2)两个直角三角形的一边和一锐角对应相等. 生答：ASA或AAS (3)两个直角三角形的斜边和一直角边对应相等. 生答：HL (在学生回答时，教师可画图，引导学生理解和记忆). 2、 根据右图填空： (1) 若OC是∠AOB的平分线，则 ∠1=∠2 ； (2) 若∠1=∠2，则OC是∠AOB的 平分线 。 3、 导入新课：角平分线还有什么性质呢？ 二、教学新知 （一）角平分线的性质定理 1、 出示问题 如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，试问PD与PE相等吗？ 2、 合作交流 生：将∠AOB沿OC对折，我发现PD与PE重合，即PD与PE相等. 师：能证明PD与PE相等吗？ 3、 证明结论 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO=∠PEO=90°， 在△PDO和△PEO中， ∵ ∠PDO=∠PEO， ∠DOP=∠EOP， OP=OP， ∴ △PDO≌△PEO. ∴ PO=PE. 4、 展示结论 由此得到角平分线的性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. （二）角平分线的性质定理的逆定理 1、 出示问题 角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上 吗？ 如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E.若PD=PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗？ 2、 合作交流 如果点P在∠AOB的平分线上，则过点O，P作射线OP，有∠AOP=∠BOP.因此，只需证明△PDO≌△PEO.如图。 3、 证明结论 过点O，P 作射线OC，如图. ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO中， ∵ OP=OP， PD=PE， ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO. ∴ ∠AOC=∠BOC. ∴ OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线上. 4、 展示结论 角平分线的性质定理的逆定理： 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 三、讲解例题，学会方法 例1 如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2. (1)求证：点B在∠ADC的角平分线上； (2)求证：BD是∠ABC的平分线. 分析：(1)由∠1=∠2得BA=BC，根据角平分线性质定理的逆定理即可证明. (2)根据条件可证△BAD≌△BCD，得出∠ABD=∠CBD即可. 证明：(1)在△ABC中， ∵ ∠1=∠2， ∴ BA=BC. 又 BA⊥AD，BC⊥CD， ∴ 点D在∠ADC的角平分线上. (2)在Rt△BAD和Rt△BCD中， ∵ BA=BC，BD=BD. ∴ Rt△BAD≌Rt△BCD. ∴ ∠ABD=∠CBD. ∴ BD是∠ABC的角平分线. 四、巩固练习 1、 如图，OP为∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，下列说法中正 确的有（ ） ①PD=PE；②OD=OE；③∠DPO=∠EPO； ④OC垂直平分线段DE. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 2、 如图，在AB上求一点P，使它到∠MON的两边OM，ON的距离相等，则点P是（ ） A. OM与ON的垂直平分线的交点 B. 线段AB的中点 C. ∠MON的角平分线与AB的交点 D. AB的垂直平分线与∠MON的角 平分线的交点 【答案】C 五、课堂总结，深化理解 回答问题 1、 角平分线的性质定理是什么？ PPT：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 2、 角平分线的性质定理的逆定理是什么？ PPT：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 六、作业布置 第24页课后练习第1、2题： 1、 如图，在直线MN上求作一点P，使点P到∠AOB两边的距离相等。 提示：作∠AOB的平分线OC，与直线相交，则它们的交点就是所求作的点P. 2、 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD=CD. 求证：AB=AC. 思路：先由角平分线的性质得出DE=DF；再证明△BDE≌△CDF，得出∠B=∠C.从而可得出AB=AC.
板书设计 1.4角平分线的性质 1、 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等； 2、 角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
课后反思
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共22张PPT)
1.4 角平分线的性质(1)
湘教版 八年级下
教学目标
1. 通过探究和证明，掌握角平分线的性质定理；
2. 通过合作活动，掌握角平分线性质定理的逆定理；
3. 能利用角平分线的性质定理及逆定理解决简单问题；
4. 增强探究几何结论的能力，培养科学严谨的学习习惯.
新知导入
已知下列条件，如何判定两个直角三角形全等？
(1)两个直角三角形的两直角边对应相等.
(2)两个直角三角形的一边和一锐角对应相等.
(3)两个直角三角形的斜边和一直角边对应相等.
SAS
ASA或AAS
HL
新知导入
根据右图填空：
(1)若OC是∠AOB的平分线，则
；
(2)若∠1=∠2，则OC是∠AOB的
。
角平分线还有什么性质呢？
1
2
A
B
C
O
∠1=∠2
平分线
新知讲解
如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，试问PD与PE相等吗？
探究
新知讲解
将∠AOB沿OC对折，我发现PD与PE重合，即PD与PE相等.
能证明PD与PE相等吗？
新知讲解
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO=∠PEO=90°，
在△PDO和△PEO中，
∵ ∠PDO=∠PEO，
∠DOP=∠EOP，
OP=OP，
∴ △PDO≌△PEO.
∴ PO=PE.
新知讲解
由此得到角平分线的性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
探究
新知讲解
角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上吗？
如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E.若PD=PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗？
新知讲解
分析：如果点P在∠AOB的平分线上，则过点O，P作射线OP，有∠AOP=∠BOP.因此，只需证明△PDO≌△PEO.如图。
证明 过点O，P 作射线OC，如图.
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°.
新知讲解
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
∵ OP=OP，
PD=PE，
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO.
∴ ∠AOC=∠BOC.
∴ OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线上.
新知讲解
由此得到角平分线的性质定理的逆定理：
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
例题讲解
例1 如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.
(1)求证：点B在∠ADC的角平分线上；
(2)求证：BD是∠ABC的平分线.
分析 (1)由∠1=∠2得BA=BC，根据角平分线性质定理的逆定理即可证明.
A
B
C
D
1
2
(2)根据条件可证△BAD≌△BCD，得出∠ABD=∠CBD即可.
例题讲解
证明 (1)在△ABC中，
A
B
C
D
1
2
∵ ∠1=∠2，
又 BA⊥AD，BC⊥CD，
∴ BA=BC.
∴ 点D在∠ADC的角平分线上.
例题讲解
(2)在Rt△BAD和Rt△BCD中，
A
B
C
D
1
2
∵ BA=BC，BD=BD.
∴ ∠ABD=∠CBD.
∴ Rt△BAD≌Rt△BCD.
∴ BD是∠ABC的角平分线.
巩固练习
1. 如图，OP为∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，下列说法中正确的有（ ）
①PD=PE；②OD=OE；③∠DPO=∠EPO；
④OC垂直平分线段DE.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
D
巩固练习
2. 如图，在线段AB上求一点P，使它到∠MON的两边OM，ON的距离相等，则点P是（ ）
A. OM与ON的垂直平分线的交点
B. 线段AB的中点
C. ∠MON的角平分线与AB的交点
D. AB的垂直平分线与∠MON的角
平分线的交点
C
M
O
N
A
B
课堂总结
角平分线的性质定理是什么？
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线的性质定理的逆定理是什么？
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
作业布置
第24页课后练习第1、2题：
1. 如图，在直线MN上求作一点P，使点P到∠AOB两边的
距离相等。
A
O
B
M
N
提示：作∠AOB的平分线OC，与直线相交，则它们的交点就是所求作的点P.
作业布置
2. 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD=CD.
求证：AB=AC.
思路：先由角平分线的性质得出DE=DF；再证明△BDE≌△CDF，得出∠B=∠C.从而可得出AB=AC.
A
B
C
D
E
F
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