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1.4 角平分线的性质(2)教案
主备人： 审核人： 本章课时序号：8
课 题 勾股定理的应用 课型 新授课
教学目标 1. 进一步掌握角平分线的性质定理及其逆定理； 2. 能利用角平分线的性质定理及逆定理解决较复杂问题； 3. 体验转化思想在角平分线中的应用，锻炼思维品质.
教学重点 1. 利用角平分线的性质定理及逆定理解决综合性的几何问题； 2. 学会作与角平分线有关的辅助线，体验转化思想在角平分线中的应用.
教学难点 1. 利用角平分线的性质定理及逆定理解决综合性的几何问题； 2. 学会作与角平分线有关的辅助线，体验转化思想在角平分线中的应用.
教 学 活 动
一、复习铺垫 回答问题： 1、 角平分线的性质定理是什么？ PPT：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 2、 角平分线的性质定理的逆定理是什么？ PPT：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 二、教学新课 （一）问题探讨 1、 出示问题：如图，已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF的中点.需添加一个什么条件，就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？ 2、 思路引导 由角平分线性质定理的逆定理，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.因为EF⊥CD，MN⊥AC，即点M到∠ACD的距离分别是MN，ME.若MN=ME，则点M在∠ACD的平分线上，即CM是∠ACD的平分线。同理可得AM是∠ACD的平分线。 3、 解答示范 解 需添加条件MN=ME(或MN=MF). ∵ EF⊥CD， MN⊥CA， ∴ M在∠ACD 的平分线上，即CM是∠ACD 的平分线。 同理可得AM是∠ACB 的平分线。 4、 讲解用角平分线性质定理的逆定理判定的条件 师：判定角的平分线，在过角的内部的点作这点到角的两边的距离的基础上，还必须满足这两个距离相等。 （二）例题解析 例2 如图，在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F. 试探索BE+PF与PB的大小关系. 分析：因为点P是∠DAC的平分线上的一点，且PE⊥DB，PF⊥AC，所以PE=PF。于是BE+PF=BE+PE，从而把BE+PF与PB的大小关系.转化成△BPE中三边之间的关系。 解：∵ AP是∠DAC的平分线， 又 PE⊥DB，PF⊥AC， ∴ PE=PF. 在△EBP中，BE+PE， ∴ BE+PF＞PB. 方法点拨： 本题是把三条线段的长度关系转化为三角形的三边关系进行探讨。转化思想在几何问题中经常运用。 三、合作探究 问题：如图，你能在△ABC中找到一点P，使其到三边的距离相等吗？ 1、 学生分组讨论 2、 分组推举学生代表讲述作图方法和理由 3、 教师讲解并用ppt展示 因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以只要作△ABC任意两角(例如∠A与∠B)的平分线，其交点P即为所求作的点.点P也∠C的平分线上，如图. 四、巩固练习 如图，已知：△ABC的外角∠BDE和∠CED的平分线DE，EF相交于点F. 求证：点F在∠BAC的平分线上. 思路引导： 要证点F在∠BAC的平分线上，就需证点F到角∠BAC的的两边AB，AC的距离相等，为此需作辅助线FG⊥AB，FH⊥AC。根据已知和求证还需作 FK⊥DE 。 证明：过点F作FG⊥AB，FH⊥AC，FK⊥DE. ∵ DE，EF分别是外角∠BDE和∠CED的平分线， ∴ FG=FK，FH=FK. ∴ FG=FH. ∴ 点F在∠BAC的平分线上. 五、课堂总结 师问生答，PPT展示 1、 角平分线的性质定理是什么？ 生：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 2、 角的内部的点在角平分线上需满足哪两个条件？ 生：(1)过这点作角的两边的垂线段； (2)在(1)的条件下，垂线段(这点到角两边的距离)相等. 3、 运用转化思想解决与角平分线有关的问题有哪些方法？ PPT：(1)作辅助线—点到角的两边的距离(垂线段). (2)把不是三角形的边的线段关系转化为三角形的三边关系. (3)把不在同一条直线上的线段转化为转化为同一条直线上的线段. 六、作业布置 第25页课后练习第1、2题： 1、 如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D， 求证： (1)∠ECD=∠EDC； (2)OC=OD. 证明 (1)∵ E是∠AOB的平分线上一点， EC⊥OA，ED⊥OB， ∴ EC=ED. ∴ ∠ECD=∠EDC. (2)在Rt△OCE和Rt△ODE中， ∵ EC=ED， OE=OE， ∴ Rt△OCE≌Rt△ODE. ∴ OC=OD. 2、 如图，在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上. 求证：AB=AD+BE. 分析 由角平分线的性质定理，AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，则点C到AD，AB，BE的距离相等。于是作CF⊥AB，则CF=CD，CF=CE。 证Rt△ACD≌Rt△ACF，Rt△BCE≌Rt△BCF，可得AF=AD，BF=BE，从AB=AF+BF=AD+BE. 本题的思路是把两条线段转化为同一条直线上的线段. 解 作CF⊥AB于点F. ∵ AC平分∠BAD， CD⊥AD，CF⊥AB， ∴ CD=CF. 在Rt△ACD和Rt△ACF中， ∵ CD=CF， AC=AC， ∴ Rt△ADC≌Rt△AFC. ∴ AD=AF. 同理可证 Rt△BCE≌Rt△BCF， ∴ BE=BF. ∵ AB=AF+BF， ∴ AB=AD+BE.
板书设计 1.4角平分线的性质（2） 角平分线的性质定理和逆定理； 2、 与角平分线有关的辅助线； 3、 转化思想在角平分线中的应用； 4、 解答与角平分线有关的综合性问题。
课后反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共23张PPT)
1.4 角平分线的性质(2)
湘教版 八年级下
教学目标
1. 进一步掌握角平分线的性质定理及其逆定理；
2. 能利用角平分线的性质定理及逆定理解决较复杂问题；
3. 体验转化思想在角平分线中的应用，锻炼思维品质.
新知导入
角平分线的性质定理是什么？
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线的性质定理的逆定理是什么？
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
新知讲解
如图，已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF的中点.需添加一个什么条件，就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？
新知讲解
分析 由角平分线性质定理的逆定理，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.因为EF⊥CD，MN⊥AC，即点M到∠ACD的距离分别是MN，ME.若MN=ME，则点M在∠ACD的平分线上，即CM是∠ACD的平分线。同理可得AM是∠ACD的平分线。
新知讲解
解 需添加条件MN=ME(或MN=MF).
∵ EF⊥CD， MN⊥CA，
∴ M在∠ACD 的平分线上，即CM是∠ACD 的平分线。
同理可得AM是∠ACB 的平分线。
注意 判定角的平分线，在过角的内部的点作这点到角的两边的距离的基础上，还必须满足这两个距离相等。
例题讲解
例2 如图，在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F.
试探索BE+PF与PB的大小关系.
分析 因为点P是∠DAC的平分线上的一点，且PE⊥DB，PF⊥AC，所以PE=PF。于是BE+PF=BE+PE，从而把BE+PF与PB的大小关系.转化成△BPE中三边之间的关系。
例题讲解
解 ∵ AP是∠DAC的平分线，
又 PE⊥DB，PF⊥AC，
在△EBP中，BE+PE，
∴ PE=PF.
∴ BE+PF＞PB.
点拨 本题是把三条线段的长度关系转化为三角形的三边关系进行探讨。转化思想在几何问题中经常运用。
新知讲解
如图， 你能在△ABC中找到一点P，使其到三边的距离相等吗？
A
B
C
例题讲解
A
B
C
A
B
C
P
因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以只要作△ABC任意两角(例如∠A与∠B)的平分线，其交点P即为所求作的点.点P也∠C的平分线上，如图.
巩固练习
如图，已知：△ABC的外角∠BDE和∠CED的平分线DE，EF相交于点F.
求证：点F在∠BAC的平分线上.
A
B
D
E
F
C
思路引导 要证点F在∠BAC的平分线上，就需证点F到角∠BAC的的两边AB，AC的距离相等，为此需作辅助线FG⊥AB，FH⊥AC。根据已知和求证还需作 。
FK⊥DE
巩固练习
证明 过点F作FG⊥AB，FH⊥AC，FK⊥DE.
∵ DE，EF分别是外角∠BDE和∠CED的平分线，
∴ FG=FK，FH=FK.
∴ FG=FH.
∴ 点F在∠BAC的平分线上.
课堂总结
角平分线的性质定理是什么？
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角的内部的点在角平分线上需满足哪两个条件？
(1)过这点作角的两边的垂线段；
(2)在(1)的条件下，垂线段(这点到角两边的距离)相等.
课堂总结
运用转化思想解决与角平分线有关的问题有哪些方法？
1.作辅助线—点到角的两边的距离(垂线段).
2.把不是三角形的边的线段关系转化为三角形的三边关系.
3.把不在同一条直线上的线段转化为转化为同一条直线上的线段.
作业布置
第25页课后练习第1、2题：
1. 如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D，
求证：(1)∠ECD=∠EDC；
(2)OC=OD.
作业布置
证明 (1)∵ E是∠AOB的平分线上一点，
EC⊥OA，ED⊥OB，
∴ EC=ED.
∴ ∠ECD=∠EDC.
作业布置
(2)在Rt△OCE和Rt△ODE中，
∵ EC=ED，
OE=OE，
∴ Rt△OCE≌Rt△ODE.
∴ OC=OD.
作业布置
2. 如图，在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上.
求证：AB=AD+BE.
A
B
C
D
E
作业布置
分析 由角平分线的性质定理，AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，则点C到AD，AB，BE的距离相等。于是作CF⊥AB，则CF=CD，CF=CE。
证Rt△ACD≌Rt△ACF，Rt△BCE≌Rt△BCF，可得AF=AD，BF=BE，从AB=AF+BF=AD+BE.
本题的思路是把两条线段转化为同一条直线上的线段.
作业布置
证明 作CF⊥AB于点F.
∵ AC平分∠BAD，
CD⊥AD，CF⊥AB，
∴ CD=CF.
在Rt△ACD和Rt△ACF中，
∵ CD=CF，
AC=AC，
∴ Rt△ADC≌Rt△AFC.
作业布置
∴ AD=AF.
同理可证 Rt△BCE≌Rt△BCF，
∴ BE=BF.
∵ AB=AF+BF，
∴ AB=AD+BE.
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