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1.1直角三角形的性质和判定(Ⅰ)第1课时教案
主备人： 审核人： 本章课时序号：1
课 题 直角三角形的两锐角关系、斜边上的中线与斜边的关系 课型 新授课
教学目标 1. 理解并掌握直角三角形的性质： ①直角三角形的两个锐角互余； ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 2. 理解并掌握根据角度判定直角三角形的方法. 3. 能运用上述性质和判定方法解答问题； 4. 提高看图用图、进行逻辑推理的能力，激发学习兴趣.
教学重点 1. 掌握直角三角形两锐角关系及直角三角形的判定； 2. 掌握直角三角形斜边上的中线的性质。
教学难点 1. 运用直角三角形两锐角关系及直角三角形的判定方法解答几何问题； 2. 运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答几何问题。
教 学 活 动
一、复习铺垫 师问生答，ppt展示 1、 三角形的三边有什么关系？ 生：三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边. 2、 三角形的内角和定理、外角定理分别是什么？ 三角形的三个内角的和等于180°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3、 等腰三角形性质有哪些？ ①等腰三角形是轴对称图形，它有一条对称轴； ②等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)； ③等腰三角形底边上的中线、高、顶角平分线重合. 4、 等边三角形还有什么性质？ 等边三角形有三条对称轴；等边三角形的三条边都相等，等边三角形的三个内角都等于60°. 5、 等腰三角形的判定方法有哪些？ ①定义判定法(即证三角形的两边相等). ②两个角相等的三角形是等腰三角形(即等角对等边). 6、 等边三角形的判定方法有哪些？ ①三个角都等于60°的三角形是等边三角形. ②有一个是60°的等腰三角形是等边三角形. 导入新课：直角三角形作为一种特殊的三角形，还有什么性质呢？ 二、教学新知 （一）直角三角形两锐角的关系及直角三角形的判定 问题1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？ 1、 学生交流讨论 在Rt△ABC中，因为∠C=90°，由三角形的内角和定理得 ∠A+∠B=90°. 2、 归纳结论并展示 直角三角形的两个锐角互余. 问题2：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ 如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？ 1、 学生交流讨论 在△ABC中，因为∠A+∠B+C=90°，又∠A+∠B=90°， 所以∠C=90°，于是△ABC是直角三角形. 2、 归纳结论并展示 有两个角互余的三角形是直角三角形. （二）直角三角形斜边上的性质 合作探究： 如图，画一个Rt△ABC，作出斜边AB上的中线CD，比较CD与AB之间的数量关系，你能得出什么结论？ 1、 学生交流讨论 生1：我用圆规比较，线段CD比AB短. 生2：我用直尺量发现CD=AB. 2、 提出问题：是否对于任意一个Rt△ABC， 都有CD=AB成立呢？ 3、 教师讲解(思路引导—逆向思考)： 如图，如果中线CD=AB，则有∠DCA=∠A。由此受到启发，在Rt△ABC中，过直角顶点C作射线CD′交AB于点D′，使∠D′CA＝∠A. 4、 证明：在Rt△ABC中，过直角顶点C作射线CD′交AB于点D′，使∠D′CA＝∠A，则CD′＝AD′(如下图). 又∵ ∠A+∠B=90°， ∠D′CA +∠D′CB=90°， ∴ ∠B=∠D′CB. ∴ CD′=BD′. 故得 CD′=AD′=BD′=AB. ∴点D′是斜边AB上的中点，即CD′是斜边AB的中线，从而CD与CD′重合，且CD=AB. 5、 归纳结论并展示 有两个角互余的三角形是直角三角形. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 三、讲解例题 例1 如图，已知CD是△ABC的AB边上的中线，且CD=AB. 求证：△ABC是直角三角形. 分析：先根据CD=AB得，CD=AB=AD=BD。再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，证得 ∠A+∠B=90°，即可完成证明。 证明：∵ CD=AB=AD=BD， ∴ ∠1=∠A， ∠2=∠B. ∵ CD=AB=AD=BD， ∴ ∠1=∠A，∠2=∠B. ∵ ∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB=∠1+∠2， ∴ 2(∠A＋∠B)＝180°. ∴ ∠A＋∠B＝90°. ∴ △ABC是直角三角形. 四、知识拓展 议一议：两条直角边相等的三角形叫做等腰直角三角形. (1)等腰直角三角形的两个锐角都等于多少度？ (2)有两个角都等于45°的三角形是等腰直角三角形吗？ 学生交流讨论后教师小结并用PPT展示： 等腰直角三角形的两个锐角都等于45°； 有两个角都等于45°的三角形是等腰直角三角形. 五、巩固练习 1、 如图，在△ABC中，∠CAD=∠B，则△ABC是( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】D 2、 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，若∠C=40°，则∠BAD的度数是( ) A. 40° B. 45° C. 50° D. 60° 【答案】D 3、 如第2题图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，则当∠C= 时，则△BAD是等边三角形. 【答案】30° 4、 下列条件：①∠A=∠B=∠C；②∠C=2∠A=2∠B；③∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5；④∠B=90°-∠A中，能判断△ABC是直角三角形的条件有 (填序号). 【答案】②③④ 六、课堂总结 填空： 1、 直角三角形的两个锐角 互余 . 2、 直角三角形的斜边上的中线等于 斜边的一半 . 3、 有两个角 互余 的三角形是直角三角形. 4、 如果三角形一边上的中线等于这一边的一半，那么这个三角形是 直角三角形 . 七、作业布置 1、 第4页课后练习第1、2题 2、 习题1.1第1、2题
板书设计 1.1直角三角形的性质和判定（ ）第1课时 1、 直角三角形的两锐角关系 2、 利用三角形的两个锐角的和判定直角三角形 3、 直角三角形斜边上的中线的性质 4、 等腰直角三角形
课后反思
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1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)第1课时
湘教版 八年级下
教学目标
1. 理解并掌握直角三角形的性质：
①直角三角形的两个锐角互余；
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
2. 理解并掌握根据角度判定直角三角形的方法.
3. 能运用上述性质和判定方法解答问题；
4. 提高看图用图、进行逻辑推理的能力，激发学习兴趣.
新知导入
三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.
1. 三角形的三边有什么关系？
三角形的三个内角的和等于180°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
2. 三角形的内角和定理、外角定理分别是什么？
新知导入
①等腰三角形是轴对称图形，它有一条对称轴；
②等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)；
③等腰三角形底边上的中线、高、顶角平分线重合.
3. 等腰三角形性质有哪些？
等边三角形有三条对称轴；等边三角形的三条边都相等，等边三角形的三个内角都等于60°.
4. 等边三角形还有什么性质？
新知导入
①定义判定法(即证三角形的两边相等).
5. 等腰三角形的判定方法有哪些？
①三个角都等于60°的三角形是等边三角形.
6. 等边三角形的判定方法有哪些？
②两个角相等的三角形是等腰三角形(即等角对等边).
②有一个是60°的等腰三角形是等边三角形.
新知讲解
直角三角形作为一种特殊的三角形，还有什么性质呢？
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？
说一说
在Rt△ABC中，因为∠C=90°，由三角形的内角和定理得∠A+∠B=90°.
由此得到：
直角三角形的两个锐角互余.
新知讲解
有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？
议一议
新知讲解
在△ABC中，因为∠A+∠B+C=90°，又∠A+∠B=90°，所以∠C=90°，于是△ABC是直角三角形.
由此得到：
有两个角互余的三角形是直角三角形.
新知讲解
如图，画一个Rt△ABC，作出斜边AB上的中线CD，比较CD与AB之间的数量关系，你能得出什么结论？
探究
合作探究
A
D
B
C
我用圆规比较，线段CD比AB短.
我用直尺量发现CD=AB.
A
D
B
C
合作探究
是否对于任意一个Rt△ABC， 都有CD=AB成立呢？
合作探究
由此受到启发，在Rt△ABC中，过直角顶点C作射线CD′交AB于点D′，使∠D′CA＝∠A，则CD′＝AD′(如下图).
如图，如果中线CD=AB，则有∠DCA=∠A
.
A
D
B
C
新知导入
A
D′
B
C
又∵ ∠A+∠B=90°， ∠D′CA +∠D′CB=90°，
∴ ∠B=∠D′CB.
∴ CD′=BD′.
故得 CD′=AD′=BD′=AB
.
∴点D′是斜边AB上的中点，即CD′是斜边AB的中线，从而CD与CD′重合，且CD=AB
.
由此得到：
合作探究
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
例题讲解
例1 如图，已知CD是△ABC的AB边上的中线，且CD=AB.
求证：△ABC是直角三角形.
A
D
B
C
1
2
思路：先根据CD=AB得，CD=AB=AD=BD.
再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，证得 ∠A+∠B=90°，即可完成证明
.
例题讲解
证明：∵ CD=AB=AD=BD，
∴ ∠1=∠A， ∠2=∠B.
A
D
B
C
1
2
∵ CD=AB=AD=BD，
∴ ∠1=∠A，∠2=∠B.
∵ ∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB=∠1+∠2，
∴ 2(∠A＋∠B)＝180°.
∴ ∠A＋∠B＝90°.
∴ △ABC是直角三角形.
知识拓展
两条直角边相等的三角形叫做等腰直角三角形.
(1)等腰直角三角形的两个锐角都等于多少度？
(2)有两个角都等于45°的三角形是等腰直角三角形吗？
议一议
等腰直角三角形的两个锐角都等于45°；
有两个角都等于45°的三角形是等腰直角三角形.
巩固练习
B
1.如图，在△ABC中，∠CAD=∠B，则△ABC是( )
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰三角形
A
B
C
D
巩固练习
C
2. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，若∠C=40°，则∠BAD的度数是( )
A. 40°
B. 45°
C. 50°
D. 60°
A
B
C
D
巩固练习
30°
3. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，则当∠C= 时，则△BAD是等边三角形.
A
B
C
D
巩固练习
②③④
4. 下列条件：①∠A=∠B=∠C；②∠C=2∠A=2∠B；③∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5；④∠B=90°-∠A中，能判断△ABC是直角三角形的条件有 (填序号).
课堂总结
1. 直角三角形的两个锐角 .
2. 直角三角形的斜边上的中线等于 .
3. 有两个角 的三角形是直角三角形.
4. 如果三角形一边上的中线等于这一边的一半，那么这个三角形是 .
直角三角形
互余
斜边的一半
互余
作业布置
第4页课后练习第1、2题：
1. 在Rt△ABC中，斜边上的中线CD=2.5cm，则斜边AB的长是多少？
作业布置
2. 如图，AB∥CD, ∠CAB和∠ACD的平分线相交于H点，E为AC的中点，EH=2.那么△AHC是直角三角形吗？为什么？若是，求出AC的长.
A
C
D
H
E
B
作业布置
习题1.1第1、2题：
1. 如图，CD是Rt△ABC的中线，∠ACB=90°， ∠CDA=120°，求∠B的度数.
A
B
C
D
作业布置
2. 如图，在△ABC中，已知∠B=∠A=∠C，AB=8cm.
(1)求证： △ABC为直角三角形；
(2)求AB边上的中线长.
A
B
C
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