(共25张PPT)
直角三角形的性质和判定(Ⅱ)（勾股定理的应用）
湘教版 八年级下
教学目标
1. 能在较复杂图形中，恰当地利用勾股定理求线段的长；
2. 掌握利用勾股定理的两种方法：直接利用和建立方程；
3. 提高看图用图、作辅助线、综合分析问题的能力；
4. 切实体会数学与生活的联系，激发学习数学的兴趣.
新知导入
关于直角三角形三边关系的性质定理是什么？
直角三角两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方.
a +b =c
勾股定理：
新知导入
在Rt△ABC中，∠C= 90°，根据勾股定理填空：
(1) c= ，a= ；
(2) 若a=5，c=13，则b= ；
(3) 若a=2，b=，则c= .
12
5
新知讲解
如图，电工师傅把4m长的梯子AC靠在墙上，使梯脚C离墙脚B的距离为1.5m，准备在墙上安装电灯. 当他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近0.5m，即移动到C′处.那么，梯子顶端是否往上移动0.5m呢？
动脑筋
我们按下面步骤解答这个问题：
⑴抽象出示意图，如右图.
新知讲解
⑵在Rt△ABC中，求出AB.
⑶在Rt△A′BC′中，求出A′B.
⑷计算AB-A′B，即得梯子往上移动的距离A′A.
在Rt△ABC中，AC=4m，BC=1.5m，
新知讲解
由勾股定理得，
=≈3.71(m).
在Rt△A′BC′中，A′C′=4m，BC′=1m，
故A′B==≈3.87(m).
因此A′A=3.87-3.71=0.16(m).
即梯子顶端A点大约向上移动了0.16m，而不是移动0.5m.
例题讲解
例2 “今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐. 问水深，葭长各几何？”意思是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺. 如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面. 问水深与芦苇长各为多少？
例题讲解
分析：根据题意，画出水池截面示意图，如右图. 设AB为芦苇，BC为芦苇出水部分长1尺，将芦苇拉向岸边，其顶部B点恰好碰到岸边B′.
设AC为x尺，根据AB′=AB，AB=AC+BC，BC=1尺，则AB′=(x+1)尺，从而可根据勾股定理建立方程求解.
在Rt△AB′C中，B′C是正方形池塘边长的一半，即B′C=5尺，而AB′，AC为未知.
例题讲解
解 如图，设水池深为x尺，则AC=x尺， AB′=AB=(x+1)尺.
因为正方形池塘边长为10尺，所以B′C=5尺.
在Rt△ACB′中，根据勾股定理，得
解得 x=12.
则芦苇长为13尺.
答：水池的深度为12尺，芦苇长为13尺.
巩固练习
1.(庆阳中考)如图所示是一张三角形纸片ABC，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm.现将纸片折叠，使点A与点B重合，那么折痕的长为 .
提示：将纸片折叠，使点A与点B重合，折痕就是线段AB的垂直平分线与AB，AC的交点之间D，E的线段.
A
B
C
6cm
8cm
巩固练习
解：将纸片折叠，使点A与点B重合，折痕为AB的垂直平分线与AB，AC的交点之间的线段DE.连接BE，则BE=AE.
A
B
C
6cm
8cm
D
E
设AE=BE=xcm，则CE=(8-x)cm.
在Rt△BCE中，
根据勾股定理，得CE +BC =BE ，即
(8-x) +6 =x
解得 x=.
所以AE=cm.
巩固练习
在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，
根据勾股定理，得AB=10，则AD=5.
A
B
C
6cm
8cm
D
E
因此，折痕长cm
.
在Rt△AED中，AD=5，AE=
则DE=.
，
巩固练习
1.(枣庄中考)如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4m，AB=8m，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD约为 m(结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，≈1.73).
A
C
B
45°
30°
D
M
巩固练习
解 在Rt△AMD中，AM=4m，∠MAD=45°，
∴DM=4m.
A
C
B
45°
30°
D
M
设CD=xm，则CM=(x+4)m.
∵ 在Rt△BMC中，∠B=30°，∠MBC=30°，MB=MA+AB=12m，CM=(x+4)m，
∴ BC=2(x+4)m.
巩固练习
根据勾股定理，得MC +MB =BC ，即
(x+4) +12 =[2(x+4)]
化简得 (x+4) =48.
解得 x=或x(舍去).
即 CD=
因此，警示牌的高CD约为2.9m。
课堂总结
如何利用勾股定理解答实际问题？
①根据实物图画出示意图，作辅助线，构造直角三角形.
②明确条件和问题，找出需要用到的直角三角形.
③理清解题思路，确定解答步骤和运用勾股定理的方法：
已知两边直接算；已知一边或一条线段列方程.
④根据要求取近似值，写出答案.
作业布置
第13页课后练习第1、2题：
1. 如图，一艘渔船以30海里/h的速度由西向东追赶鱼群.在A处测得小岛C在船的北偏东60°方向；40min后，渔船行至B处，此时测得小岛C在船是北偏东30°方向.
已知以小岛C为中心，周围10海里以内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？
作业布置
解：作CD⊥AB于点D.
∵ ∠BAC=30°，∠CBD=60°，
∴ ∠ACB=30°.
∴ BC=AB=30×=20(海里).
又∵ 在Rt△BCD中，∠BCD=30°，
∴ BD=BC=10(海里).
∴ CD=＞10(海里).
因此不会有触礁的危险.
作业布置
2. 如图，AE是位于公路边的电线杆，高为12m，为了使电线CDE 不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根高为6m的水泥撑杆BD，用于撑起电线.
已知两根杆子之间的距离为8m，电线CD与水平线AC 的夹角为60°.求电线CDE 的总长L(A，B，C 三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的粗细忽略不计).
作业布置
分析 电线CDE的总长L就是CD+DE.
过点D作DM⊥AE，在Rt△BDC中求出CD；过点D作DM⊥AE，在所得Rt△MED中求出DE，计算CD+DE即可求出电线总长L.
作业布置
解 在Rt△BCD中，
∵ ∠BCD=60°，
∴ ∠BDC=30°.
由勾股定理，得 x +6 =(2x)
设BC=xm，则CD=2xm，而BD=6m，
解得 x=(负值舍去)
.
因此电线CD的长为m
.
作业布置
在Rt△MED中，ME=AE-BD=6m，DM=8m，
∴ DE==10(m).
即电线CDE的总长为m.
∴ L=DE+C(m).
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1.1直角三角形的性质和判定(Ⅱ)第2课时教案
主备人： 审核人： 本章课时序号：4
课 题 勾股定理的应用 课型 新授课
教学目标 1. 能在较复杂图形中，恰当地利用勾股定理求线段的长； 2. 掌握利用勾股定理的两种方法：直接利用和建立方程； 3. 提高看图用图、作辅助线、综合分析问题的能力； 4. 切实体会数学与生活的联系，激发学习数学的兴趣.
教学重点 1. 学会利用勾股定理的两种方法：直接利用和建立方程； 2. 具体问题具体分析，理清解答问题的步骤和方法.
教学难点 1. 作辅助线，构造恰当的直角三角形； 2. 正确分析问题中图形之间的相互关系，理清解题思路，确定解题方法.
教 学 活 动
一、复习铺垫 1、 回答问题：关于直角三角形三边关系的性质定理是什么？ PPT：勾股定理. 直角三角两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方，a +b =c . 2、 在Rt△ABC中，∠C= 90°，根据勾股定理填空： (1) c=，a=； (2) 若a=5，c=13，则b= 12 ； (3) 若a=，b=，则c= 5 . 二、教学新知，感悟方法 1、 出示问题：如图，电工师傅把4m长的梯子AC靠在墙上，使梯脚C离墙脚B的距离为1.5m，准备在墙上安装电灯. 当他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近0.5m，即移动到C′处.那么，梯子顶端是否往上移动0.5m呢？ 2、 理顺思路 (1)抽象出示意图. (2)在Rt△ABC中，求出AB. (3)在Rt△A′BC′中，求出A′B. (4)计算AB-A′B，即得梯子往上移动的距离A′A. 3、 示范讲解 在Rt△ABC中，AC=4m，BC=1.5m， 由勾股定理得，AB==≈3.71(m). 在Rt△A′BC′中，A′C′=4m，BC′=1m， 故A′B=≈3.87(m). 因此A′A=3.87-3.71=0.16(m). 即梯子顶端A点大约向上移动了0.16m，而不是移动0.5m. 三、讲解例题，学会方法 例2 “今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐. 问水深，葭长各几何？”意思是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺. 如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面. 问水深与芦苇长各为多少？ 分析：(1)根据题意，画出水池截面示意图，如右图. 设AB为芦苇，BC为芦苇出水部分长1尺，将芦苇拉向岸边，其顶部B点恰好碰到岸边B′. (2)在Rt△AB′C中，B′C是正方形池塘边长的一半，即B′C=5尺，而AB′，AC为未知. (3)设AC为x尺，根据AB′=AB，AB=AC+BC，BC=1尺，则AB′=(x+1)尺，从而可根据勾股定理建立方程求解. 解：如图，设水池深为x尺，则AC=x尺， AB′=AB=(x+1)尺. 因为正方形池塘边长为10尺，所以B′C=5尺. 在Rt△ACB′中，根据勾股定理，得 x +5 =(x+1) . 解得 x=12. 则芦苇长为13尺. 答：水池的深度为12尺，芦苇长为13尺. 四、巩固练习，培养能力 1、 (庆阳中考)如图所示是一张三角形纸片ABC，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm.现将纸片折叠，使点A与点B重合，那么折痕的长为 . 提示：将纸片折叠，使点A与点B重合，折痕就是线段AB的垂直平分线与AB，AC的交点之间D，E的线段. 解：将纸片折叠，使点A与点B重合，折痕为AB的垂直平分线与AB，AC的交点之间的线段DE.连接BE，则BE=AE. 设AE=BE=xcm，则CE=(8-x)cm. 在Rt△BCE中， 根据勾股定理，得CE +BC =BE ，即(8-x) +6 =x 解得 x=. 所以AE=cm. 在Rt△ABC中，AC=8，BC=6， 根据勾股定理，得AB=10，则AD=5. 在Rt△AED中，AD=5，AE=， 则DE=. 因此，折痕长cm. 2、 (枣庄中考)如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4m，AB=8m，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD约为 m(结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，≈1.73). 解 在Rt△AMD中，AM=4m，∠MAD=45°， ∴ DM=4m. 设CD=xm，则CM=(x+4)m. ∵ 在Rt△BMC中，∠B=30°，∠MBC=30°，MB=MA+AB=12m，CM=(x+4)m， ∴ BC=2(x+4)m. 根据勾股定理，得MC +MB =BC ，即 (x+4) +12 =[2(x+4)] 化简得 (x+4) =48. 解得 x=4 4或x= 4 4(舍去). 即 CD=4 4≈4×1.73 4≈2.9(m). 因此，警示牌的高CD约为2.9m。 五、课堂总结，深化理解 提问：如何利用勾股定理解答实际问题？ 学生回答，教师用PPT展示 ①根据实物图画出示意图，作辅助线，构造直角三角形. ②明确条件和问题，找出需要用到的直角三角形. ③理清解题思路，确定解答步骤和运用勾股定理的方法：已知两边直接算；已知一边或一条线段列方程. ④根据要求取近似值，写出答案. 六、作业布置 第13页课后练习第1、2题 1、 如图，一艘渔船以30海里/h的速度由西向东追赶鱼群.在A处测得小岛C在船的北偏东60°方向；40min后，渔船行至B处，此时测得小岛C在船是北偏东30°方向.已知以小岛C为中心，周围10海里以内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？ 解：作CD⊥AB于点D. ∵ ∠BAC=30°，∠CBD=60°， ∴ ∠ACB=30°. ∴ BC=AB=30×=20(海里). 又∵ 在Rt△BCD中，∠BCD=30°， ∴ BD=BC=10(海里). ∴ CD===10＞10(海里). 因此不会有触礁的危险. 2、 如图，AE是位于公路边的电线杆，高为12m，为了使电线CDE 不影响汽车的正常行 驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根高为6m的水泥撑杆BD，用于撑起电线. 已知两根杆子之间的距离为8m，电线CD与水平线AC 的夹角为60°.求电线CDE 的总长L(A，B，C 三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的粗细忽略不计). 分析 电线CDE的总长L就是CD+DE. 过点D作DM⊥AE，在Rt△BDC中求出CD；过点D作DM⊥AE，在所得Rt△MED中求出DE，计算CD+DE即可求出电线总长L. 解 在Rt△BCD中，∵ ∠BCD=60°， ∴ ∠BDC=30°. 设BC=xm，则CD=2xm，而BD=6m， 由勾股定理，得 x +6 =(2x) 解得 x=±2(负值舍去). 因此电线CD的长为4m. 在Rt△MED中，ME=AE-BD=6m，DM=8m， ∴ DE==10(m). ∴ L=DE+CD=10+4(m). 即电线CDE的总长为10+4m.
板书设计 1.2直角三角形的性质和判定（Ⅱ）勾股定理的应用 抽象示意图，作辅助线构造直角三角形； 2、 运用勾股定理的两种方法： 已知两边，直接运用；已知边之间的关系，设未知数列方程. 3、 注意选择恰当的直角三角形，根据实际问题合理解答。
课后反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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