2021—2022学年人教版九年级数学下册27.1图形的相似课后练习（Word版含答案）

第二十七章 相似 27.1 图形的相似课后练习
一、选择题
1．若，且，则的值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD=6，BD=2，AE=9，
则EC的长是(　　)
A.8 B.6 C.4 D.3
3.如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么CE的长等于(　　)
A. B. C. D.
4.已知a=0.2，b=1.6，c=4，d=，则下列各式中正确的是(　　)
A.a∶b=c∶d　　 B.a∶c=d∶b C.a∶b=d∶c 　 D.b∶a=d∶c
5．下列各线段的长度成比例的是（ ）
A．2,5,6,8 B．1,2,3,4 C．3,6,7,9 D．3,6,9,18
6．下列图形中，一定相似的是（ ）
A．两个矩形 B．有一组角相等的两个等腰三角形
C．有一组对应角相等的两个菱形 D．两边对应成比例且有一组角相等的三角形
7．如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，且，则四边形与四边形的面积之比等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、BC上的点，下列条件中，不一定能得DE∥AC的条件是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD的中点，连接AE、AF、EF．若菱形ABCD的面积为16，则△AEF的面积为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．已知点G是ABC的重心，连结BG，过点G作GDAB交BC于点D，若BDG的面积为1，则ABC的面积为（　　）
A．6 B．8 C．9 D．12
二、填空题
11．在2和8这两个数之间添上一个数，使之成为2与8的比例中项．这个数是　 　．
12．定义：如果三角形的两个内角∠α与∠β满足∠α＝2∠β，那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”．如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为　 　．
13．我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC＝　 　度．
14如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A、B在x轴上，顶点D在y轴上，点A的坐标为，点C的坐标为．一条直线经过点．且将平行四边形分割成面积相等的两部分，则此直线的表达式是____________．
三、解答题
15．如图，一个矩形广场的长为100m，宽为80m，广场外围两条纵向小路的宽均为1.5m，如果两条横向小路的宽都为xm，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似.
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，点D在AB上，DE⊥AE．⊙O是Rt△ADE的外接圆，交AC于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，AC＝6，求S阴影部分．
17．如图，AC为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，BE⊥CD于点E，＝．
（1）求证：BE的⊙O切线．
（2）若AD＝4，EC＝1，求BD的长．
18．如图，在中，，
求证：；
若，，，求和长．
19△ABC中，点D是BC边上的一点，点F在AD上，连接BF并延长交AC于点E；
（1）如图1，若D为BC的中点，，求证：AF＝FD；
（2）尺规作图：在图2中，请利用圆规和无刻度的直尺在AC上找一点E，使得；
（3）若F为AD的中点，设，请求出m、n之间的等量关系．
20．如图1，在中，，，的平分线交于．
（1）求证：；
（2）如图（2），过点作交于，将绕点逆时针旋转角得到，连接，，求证：；
（3）若在（2）的旋转过程中，则相应的旋转角__________．
21．如图1，在 ABCD中，AC、BD相交于O，过O作OG⊥AC交BC于G，连接AG．
（1）求证：AC平分∠DAG；
（2）如图2，把△AOB沿OA翻折得到△AOE，连接DE，求证：ED∥AC；
（3）如图3，连接CE交AD于F点，交BD于H点，若∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝6，求EH的长．
22．如图①，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
（1）研究小组猜想：在中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图②），则直线CD是的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）在（1）中的中，研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线，交AC于点F，连接EF（如图③），则直线EF也是的黄金分割线．请你说明理由；
（4）如图④，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作，交DC于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点．
【参考答案】
1．B 2．D 3．B 4．C 5．D 6．C 7．B 8．B 9．D 10．C
11答案为：±4．
12答案为．或．
13答案为．145．
14答案为．##
15解：当 时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似.
解得x=1.2
16．解：（1）连接，
∵AE平分∠BAC，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴BC是⊙O的切线；
（2）∵，
∴，
即，解得，
∴，
∴是的中点，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，任意边上的高等于，
S阴影部分＝扇形－＝．
17．解：（1）连接，如下图：
∵，
∴，即点在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴，
∵AC为⊙O的直径，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵为半径，
∴BE的⊙O切线；
（2）作，如下图：
则，
∵，
∴四边形为矩形，
∴
∵，
∴，
∴，即，
设半径为，则，，
由勾股定理可得：，即，解得，
，，
．
18．解：（1），
.
，
，
．
（2）设，则．
由（1）得：，
，，
，．
19．（1）证明：作DG∥BE交AC于G，
∵DG∥BE，BD＝CD，
∴＝＝1，
∴EG＝CG，
∵EF∥DG，
∴＝，
∵，EG＝GC，
∴＝1，
∴＝1．
∴AF＝FD；
（2）作△ABC的中线AD，再作AD中点，连接BF并延长交AC于点E，点E即是所求；
（3）作DG∥BE交AC于G．
∵DG∥BE，
∴＝＝，
∵，设AC＝a，AE＝an，EC＝a-an，EG＝m (a-an)，
∵EF∥DG，
∴＝，
∵F为AD的中点，
∴即．
20（1）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝36°，
∴∠BEC＝180°﹣∠C﹣∠CBE＝72°，
∴∠ABE＝∠A，∠BEC＝∠C，
∴AE＝BE，BE＝BC，
∴AE＝BC．
（2）证明：∵AC＝AB且，
∴AE＝AF；
由旋转的性质可知：，
∵在和中
，
∴，
∴．
（3）由（1）可知AE＝BC，所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，E点经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l交于M、N两点，
如图：①当点E与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，
∴∠BAM＝∠ABC＝72°，又∠BAC＝36°，
∴α＝∠CAM＝36°．
②当点E与点N重合时，
由得，∠AMN＝∠BAM＝72°，
∵AM＝AN，
∴∠ANM＝∠AMN＝72°，
∴∠MAN＝180°﹣2×72°＝36°，
∴α＝∠CAN＝∠CAM+∠MAN＝72°．
∴旋转角为36°或72°．
21．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AD∥BC，AB∥CD，
又∵OG⊥AC，
∴AG＝GC，
∴∠GAC＝∠GCA，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠DAC＝∠GAC，
∴AD平分∠DAG；
（2）∵把△AOB沿OA翻折得到△AOE，
∴AB＝AE，BO＝EO，∠AOB＝∠AOE，∠BAC＝∠EAC，
∴EO＝DO，
∴∠ODE＝∠OED，
∵∠ODE+∠OED+∠EOD＝180°，∠AOB+∠AOE+∠EOD＝180°，
∴∠AOB＝∠EDO，
∴DE∥AC；
（3）如图3，过点A作AN⊥BC于N，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAN＝30°，
∴BN＝AB＝2，AN＝BN＝2，
∴NC＝BC﹣BN＝4，
∵AG2＝NG2+AN2，
∴GC2＝（4﹣GC）2+12，
∴GC＝，
∴NG＝，BG＝，
∵AB＝AE，∠BAC＝∠EAC，AC＝AC，
∴△BAC≌△EAC（SAS），
∴BC＝EC＝6，∠ACB＝∠ACE，
∴∠ACB＝∠ACF＝∠FAC＝∠GAC，
∴AG∥CF，
又∵AF∥GC，
∴四边形AFCG是平行四边形，
又∵AG＝GC，
∴四边形AFCG是菱形，
∴AF＝CF＝AG＝GC＝，
∴DF＝AD﹣AF＝，
∵AD∥BC，
∴，
∴＝＝，
∴HC＝，
∴EH＝EC﹣CH＝6﹣＝．
22（1）解：直线CD是的黄金分割线．理由如下：
设的边AB上的高为h．
则，
∴．
又∵点D为边AB的黄金分割点，
∴，
∴．
故直线CD是的黄金分割线；
（2）解：∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，
∴，即
故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线；
（3）解：∵，
∴和的公共边DF上的高也相等，
∴，
∴，
．
又∵，
∴．
因此，直线EF也是的黄金分割线；
（4）解：画法不唯一，现提供两种画法；
画法一：如解图①，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．
画法二：如解图②，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作交AB于点M，连接MN，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．