山西省山大附中2013届高三上学期期中数学文试卷

2012—2013学年度上学期期中考试
高三年级(文科)数学试卷
一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1、已知集合，集合，则( )
A．(-) B．(-] C．[-) D．[-]
2、设i为虚数单位，则复数的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
3、已知是第二象限角，且sin(，则tan2的值为( )
A． B． C． D．
4、已知是不同的直线,是不同的平面,若①②③④,则其中能使的充分条件的个数为( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
5、如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ） ]
A． B． C． D．
6、已知函数y＝sinax＋b（a＞0）的图象如图所示，则函数的图象可能是( )

7、在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a的值为（ ）
A. -5 B. 1 C. 2 D. 3
8、(改编)已知函数,若a、b、c互不相等，且，则的取值范围是( )[21世纪教育网
A. （1，2012） B.（1，2013） C.（2，2013） D.[2，2013]
9、（改编）设函数,，若数列是单调递减数列，则实数a的取值范围为( )
A．(-∞，2) B．(-∞，] C． D．[,2)
10、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果，那么三边长a、b、c之间满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
11、已知是偶函数，且在上是增函数，如果在上恒成立，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
12、下列命题中，真命题的个数为( )`.
（1）在中，若，则；
（2）已知，则在上的投影为；
（3）已知，，则“”为假命题；
（4）要得到函数的图象，只需将的图象向左平移个单位．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每题5分，共20分。把答案填在题中横线上）
13、已知等比数列的各项都是正数，且成等差数列，则
14、一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图都是半径为的圆，且这个几何体是球体的一部分，则这个几何体的表面积为 ．
15、，且，且恒成立，则实数取值范围是
16、已知函数，（为常数），直线与函数的图像都相切，且与函数图像的切点的横坐标为，则的值为
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （本小题10分）设
（1）若不等式的解集为，求a的值；
（2）若，，求的取值范围。
18. （本小题12分）
在中，角对的边分别为，且
（1）求的值；
（2）若，求的面积。
19.（本小题12分）
下列关于星星的图案构成一个数列，对应图中星星的个数.
（1）写出的值及数列的通项公式；
（2）求出数列的前n项和；
（3）若，对于（2）中的，有，求数列的前n项和；
20. （本小题12分）如图：在三棱锥D-ABC中，已知是正三角形，AB平面BCD，，E为BC的中点，F在棱AC上，且21世纪教育网
（1）求三棱锥D－ABC的表面积；
（2）求证AC⊥平面DEF；[来源:21世纪教育网]
（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由．
21世纪教育网
21世纪教育网
21. （本小题12分）
已知
（1）求的单调区间;
（2）试问过点可作多少条直线与曲线相切？请说明理由。
22. （本小题12分）
已知函数，其中ｅ是自然数的底数，．
（1）当时，解不等式；21世纪教育网
（2）当时，求正整数ｋ的值，使方程在［ｋ，ｋ＋１］上有解；
（3）若在［－１，１］上是单调增函数，求的取值范围．
高三数学文科答案
答案：1--12BCCBC CDCCB DB
13、 14、 15、 16、
17、21世纪教育网
解：
（Ⅰ）f(x)＝其图象如下：
18、
解：（1）由正弦定理可设
，所以，
所以．
（2）由余弦定理得，
即，
又，所以，
解得或（舍去）所以．
19、解：（1）知；　……………………………………3分
（2）得，　　　……………………………………5分
则；………………7分
（3），　　　　　………………8分
数列的前n项和为　　………………9分
当时，　……10分
当n时，
……11分
则；　　　　　　　…………21世纪教育网…………………12分
20、解：（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD．
∵△BCD是正三角形，且AB＝BC＝a，∴AD＝AC＝．
设G为CD的中点，则CG＝，AG＝．
∴，，．
三棱锥D－ABC的表面积为．
（2）取AC的中点H，∵AB＝BC，∴BH⊥AC．
∵AF＝3FC，∴F为CH的中点．
∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．21世纪教育网21世纪教育网
∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．
∵AB∩BC＝B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．
∵DE∩EF＝E，∴AC⊥平面DEF．
（3）存在这样的点N，当CN＝时，MN∥平面DEF．
连CM，设CM∩DE＝O，连OF．由条件知，O为△BCD的重心，CO＝CM．
∴当CF＝CN时，MN∥OF．∴CN＝
21（1） 21世纪教育网…………1分21世纪教育网
（ⅰ）当时，在上单调递增 ………………3分
（ⅱ）当时，若则；若则在上单调递减，在上单调递增 ……………………5分
（2）设切点为 ………………6分
切线方程为：21世纪教育网
切线过点（2，5）
即……（＊） ……………………8分
令， ………………9分
当时，；当时，
在上单调递减，在上单调递增 ……………………10分
又在上有两个零点，即方程（＊）在上有两个根21世纪教育网
过点可作两条直线与曲线相切． 21世纪教育网…………12分
22、
⑴因为，所以不等式即为，21世纪教育网
又因为，所以不等式可化为，
所以不等式的解集为．………………21世纪教育网…………2分
⑵当时,方程即为，由于，所以不是方程的解，
所以原方程等价于，令，
因为对于恒成立，
所以在内是单调增函数，……………………………4分又，， ，
所以方程有且只有1个实数根， 在区间 ，
所以整数的值为 1．……………………………………………6分
⑶，
当时，，在上恒成立，当且仅当时
取等号，故符合要求；………………………………………………………7分
②当时，令，因为，
所以有两个不相等的实数根，，不妨设，
因此有极大值又有极小值．
若，因为，所以在内有极值点，
故在上不单调．………………………………………………………9分
若，可知，
因为的图象开口向下，要使在上单调，因为，
必须满足即所以.--------------------------11分 [来源:21世纪教育网]
综上可知，的取值范围是．………………………………………12分