江西省新余市2021-2022学年高三上学期期末质量检测数学（理科）试题（Word版含答案）

新余市2021-2022学年度上学期期末质量检测
高三数学试题卷（理科）
说明：1.本卷共有三个大题，23个小题，全卷满分150分，考试时间120分钟.
2.本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分。
—、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
设z=1-i（i是虚数单位），则+=（ ）
A.2-2i B.2+2i C.3-i D.3+i
已知集合,集合,则A∩B等于（ ）
A.(-∞，1] B. C.[1,+ ∞) D.
青少年视力被社会普遍关注，为了解他们的视力状况，经统计得到图中右下角12名青少年的视力测量值（i=l,2,3,...,12）（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数。如果执行如图所示的算法程序，那么输出的结果是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
4.若，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知平面向量满足，，则（ ）
A. B. C. D.
6.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好,隔裂分家万事休.在数学的学习初研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征,函数的大致图像为（ ）
II线y=2.r-l被过点（0,1）和（2,1）,且半径为亦的圆截得的弦长为（ ）
A. B. C. D.
8.某地市场调查发现，的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器。经该地市场监管局抽样调查发现，在网上购买的家用小电器的合格率为,而在实体店购买的家用小电器的合格率为。现该地市场监管局接到一个关于家用小电器不合格的投诉电话，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的概率是（ ）
A. B. C. D.
9.已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A,B四边形AF2BF1的周长P与面积S满足=32S，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
10.已知△ABC三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且，若角A的平分线交BC于D点，且AD=1,则b+c的最小值为（ ）
A.2 B.
C.4 D.
11.在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是正方形BB1C1C的中心，M为C1D1的中点，过A1M的平面α与直线DE垂直，则平面α截正方体ABCD—A1B1C1D1所得的截面面积为（ ）
A. B. C. D.3
12.设A,B是抛物线上两个不同的点，O为坐标原点，若直线OA与OB的斜率之积为-4,则下列结论正确的有（ ）
① ②
③直线AB过抛物线C的焦点 ④△OAB面积的最小值是2
A.①③④ B.①②④ C.②③④ D.①②③④
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分。请将正确答案填在答题卷相应位置。)
13.已知，则的展开式中的常数项是 。
14. 设x,y满足约束条件，则目标函数的最大值是 。
15. 等比数列的公比016. 已知恰有三个不同零点，则a的取值范围为 。
解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)
17.(本小题满分12分)
己知数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列是等差数列，且，求数列的前n项和为.
18.(本小题满分12分)
如图，在三棱锥P-ABC中，已知PA=PB=PC=AB=AC，E是PA的中点.
求证：平面PAB丄平面BCE；
若BC=AB，求二面角E-AB-C的正弦值.
19.（本小题满分12分）
2020年10月16日,是第40个世界粮食日。中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地YC-801测产，亩产超过648.5公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入。某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为m(m∈[70,100]），其质量指标等级划分如下表：
质量指标值 [70,75) [75,80) [80,85) [85,90) [90,100]
质量指标等级 良好 优秀 良好 合格 废品
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产 现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图:
（1） 若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A，求事件A发生的概率：
（2） 若从质量指标值m≥85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值加m∈[90,95）的件数X的分布列及数学期望；
（3）若每件产品的质量指标值m与利润y（单位：元）的关系如下表（1质量指标值m [70,75) [75,80) [80,85) [85,90) [90,100]
利润y（元） 6 t 8 t 4 t 2 t
试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：）.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆C：的上顶点为P,右顶点为Q,直线PQ与圆相切于点。
（1） 求椭圆C的方程；
（2） 若不经过点P的直线l与椭圆C交于点A，B两点,且.
求证：直线l过定点.
21.（本小题满分12分）
已知函数，为的导函数。
（1） 证明：在内存在唯一零点；
（2） 当时，，求a的取值范围.
选考题：谓考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分10分)
选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线l在平面直角坐标系中经过点倾斜角，在直角坐标系xOy中，若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C的极坐标方程为.
写出直线l的参数方程，并把圆C的极坐标方程化为直角坐标系下的普通方程；
设l与圆C相交于A,B两点，且A,B的中点为M,求PM的长及.
23.(本小题满分10分)
选修4-5:不等式选讲
已知函数.
解关于x的不等式；
若函数的图象恒在函数图象的上方，求m的取值范围.
新余市2021-2022学年度上学期期末质量检测
高三数学试题卷（理科）参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．B
，，则，故选：B.
2．B
由题意得，即，
根据对数函数的单调性得，解得，
所以集合，
解不等式得，故集合，
所以.故选：B．
3．B
解：根据程序框图可知，该程序框图是统计这12名青少年视力小于等于的人数，由茎叶图可知视力小于等于的有5人，故选：B
4．C
因为，
所以. 故选：C.
5．D
由于，所以，
，由于，所以.故选：D
6．A
函数的定义域为，
且，，所以，函数为偶函数，
排除BC选项；当时，，则，排除D选项. 故选：A.
7．B
解：设圆心为，则由题意可得
，
解得或，所以圆心为或
所以圆方程为或，
则圆心到直线的距离为或，
则弦长．故选：B
8．C
在网上购买的家用小电器不合格的概率为，在实体店购买的家用小电器不合格的概率为，故这台被投诉的家用小电器是在网上购买的概率为. 故选：C.
9．C
由双曲线的定义可知，
又，，可知四边形是平行四边形，所以
联立解得，，
又线段为圆的直径，由双曲线的对称性可知四边形为矩形，所以四边形的面积，又因为，即，解得，
由，得，即，即.故选：C.
10．C
由及正弦定理，得，
因为，，所以，即，
因为，所以.
如图，，
所以，
所以，即，∴，
当且仅当，，即时，等号成立，所以的最小值为.
11．B
如图，在正方体中，记的中点为，连接，
则平面即为平面．证明如下：
由正方体的性质可知，，则，四点共面，
记的中点为，连接，易证．
连接，则，平面，所以平面，
又平面，则．同理可证，，，
则平面，所以平面即平面，
四边形即平面截正方体所得的截面．
因为正方体的棱长为，易知四边形是菱形，
其对角线，，
所以其面积．故选：B
12．A
取，，满足，从而，故②错误；
由题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，
联立，整理得，则，.
因为，所以，所以直线的方程为，
则直线过点，故③正确；因为抛物线的焦点为，所以直线过焦点，
则由抛物线的性质可知，故①正确；由上可得直线的方程为，则，原点到直线的距离，
则，故④正确. 故选A
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.请将正确答案填在答题卷相应位置.）
13．15
∵,∴展开式的通项为,
令, 可得, ∴常数项为.故答案为:
14．3
画出可行域如下图阴影部分所示，目标函数，表示可行域内的点和点连线的斜率，由图可知，其最大值为. 故答案为：
15．18
解：由等比数列的公比，，可得：，则，且，
由为等比数列，可得是以为首项，公比为的等比数列，
则原不等式等价为：，
因为，把，代入整理得：，
可得：，，即：，
由,故答案为：18.
16．令，变形得：，
令，得，，故，
当，，在上单调递增；
当，，在上单调递减，
且，故在时有最大值.
当有唯一根或无解时，原方程最多两解，不符题意；
当有两根时，或，规定，要使原方程有三个解，则直线，与的交点恰有三个，
即转化为的两根，，
则，解得. 故答案为：.
三、解答题（本大题共6小题，共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）
选考题：请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
17 （1）解析　(1)当n＝1时，2S1＝2a1＝3a1－1，所以a1＝1，…………1分
当n≥2时，因为2Sn＝3an－1，所以2Sn－1＝3an－1－1，
两式作差得an＝3an－1，即＝3，…………3分
因为a1＝1，
所以数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，故an＝3n－1. …………6分
(2)令cn＝bn－an，则c1＝b1－a1＝1，c3＝b3－a3＝14－9＝5，
所以数列{cn}的公差d＝＝＝2，故cn＝2n－1，…………8分
所以bn＝cn＋an＝2n－1＋3n－1，…………9分
所以Tn＝＋＝n2＋.…………12分
18（1）证明见解析；（2）．
（1）因为，是的中点，所以，
同理可得， …………2分
因为，所以平面．
因为平面，所以平面平面． …………5分
（2）设，因为，所以，
又，所以，所以． …………6分
如图，以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，所以，，
设平面的法向量为，则，即，
令，可得，，所以平面的一个法向量为．………8分
易知平面，所以平面的一个法向量为，
所以， …………11分
所以二面角的正弦值为． …………12分
19.（1）设事件的概率为，则由频率分布直方图可得，
1件产品为废品的概率为，
则.…………3分
（2）由频率分布直方图可知，质量指标值大于或等于85的产品中，
的频率为；的频率为；
的频率为.
故利用分层抽样抽取的7件产品中，的有4件，的有2件，的有1件.
从这件产品中任取件产品，质量指标值的件数的所有可能取值为，，，
，…………4分
，…………5分
，…………6分
所以的分布列为
0 1 2
所以.…………8分
（3）由频率分布直方图可得该产品的质量指标值与利润（元）的关系如下表所示（）：
质量指标值
利润
0.05 0.1 0.15 0.4 0.3
故每件产品的利润.…………9分
则，令得，
故当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
所以当时，取得最大值，为.
所以生产该产品能够盈利，当时，每件产品的利润取得最大值元.
…………12分
20. 解　(1)由已知得直线OM(O为坐标原点)的斜率kOM＝2，…………1分
则直线PQ的斜率kPQ＝－＝－，所以直线PQ的方程为y－＝－，
即x＋2y＝2。…………3分
可求得P(0,1)，Q(2,0)，故a＝2，b＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1。…………4分
(2)证明：当直线l的斜率不存在时，显然不满足条件。…………5分
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋n(n≠1)，
由消去y整理得(4k2＋1)x2＋8knx＋4(n2－1)＝0，
Δ＝(8kn)2－4×4(4k2＋1)(n2－1)＝16(4k2＋1－n2)>0，
得4k2＋1>n2　①。…………6分
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝　②，x1x2＝　③。………7分
由·＝0，得(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝0，
又y1＝kx1＋n，y2＝kx2＋n，
所以·＝(k2＋1)x1x2＋k(n－1)(x1＋x2)＋(n－1)2＝0　④，…………9分
由②③④得n＝1(舍去)或n＝－，满足①。
此时l的方程为y＝kx－，故直线l过定点。…………12分
21证明：因为，
所以.记，…………1分
则.当时，；当时，.
在上单调递减，在上单调递增，…………3分
即在上单调递减，在上单调递增.
因为，，，
所以存在唯一，使得， 即在内存在唯一零点. …………5分
(2)解：由（1）可知当时，；
当时， 所以在上单调递减，在上单调递增.
因为当时，恒成立，
则至少满足，， 即，…………8分
①当时，，，满足；
②当时，，而，满足.
即当时，都有.
又当，时，，
从而当时，对一切恒成立. 故的取值范围为.…………12分
22．（1）（为参数），；（2）.
（1）直线的参数方程为(为参数)，
即（为参数） ………………2分
由，得，
得，即圆C的普通方程为：． ………………5分
把（为参数）代入，
得， ………………6分
所以，∴， ………………8分 ． ………10分
23 (1)由不等式得
当时,得,即(-∞,2)∪(2,+∞)， ………………2分
当时,解集为全体实数；
当时,解集为. ………………5分
的图象恒在函数图象的上方,即为对任意实数恒成立,
即恒成立, ………………8分
∵对任意实数恒有
∴的取值范围是. ………………10分