2021-2022学年河南省驻马店市确山县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分。下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。）
1．下列图形是由一个圆和两个相等的半圆组合而成的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如果两个相似三角形的面积比为1：4，那么它们的相似比为（ ）
A．1：16 B．1：4 C．1：2 D．1：
3．下列事件中是必然事件的是（ ）
A．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
B．随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数
C．打开电视机，正在播放广告
D．从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级
4．已知反比例函数，则下列描述不正确的是（ ）
A．图象位于第一、第三象限
B．图象必经过点
C．图象不可能与坐标轴相交
D．y随x的增大而减小
5．已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（ ）
A．﹣1或2 B．﹣1 C．﹣2或1 D．1
6．如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO＝5m，树影AC＝3m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5cm，则树的高度AB长是（ ）
A．2m B．3m C． D．
7．如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2.当x在一定范围内变化时，y和s都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．反比例函数关系，一次函数关系
B．一次函数关系，反比例函数关系
C．一次函数关系，二次函数关系
D．反比例函数关系，二次函数关系
8．有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A．”小昊的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC，如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°．而小华说：“小昊考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（ ）
A．小华说的不对，∠A就是65°
B．小华说的对，且∠A的另一个值是115°
C．小昊求得的结果不对，∠A应是50°
D．两个都不对，∠A应有3个不同的值
9．如表中列出的一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x …… ﹣2 0 1 3 ……
y …… 6 ﹣4 ﹣6 ﹣4 ……
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于﹣6
D．当x＞﹣1，y的值随x值的增大而增大
10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，3），点B在第一象限内，AO＝AB，∠OAB＝120°，将△AOB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第99次旋转后，点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．将抛物线y＝﹣x2向上平移2个单位后，得到的抛物线的表达式为 ．
12．一个不透明布袋中有2个红球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，该小球是红球的概率为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴于点B，点C在y的负半轴上，连接AC，BC，若△ABC的面积为3，则k的值为 ．
14．如图，一个横截面为抛物线形的隧道，其宽为12米，高为6米，车辆双向通行，若规定车辆必须在中心线两侧，距离道路边缘2米的范围内行使，并保持车辆顶部与隧道有不少于米的空隙，则通过隧道的车辆的高度限制应为 米．
15．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若，AB＝4，则的长度为 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16．解方程：x2﹣4x﹣7＝0．
17．如图，在边长为1的正方形网络中，△ABC的顶点均在格点上．
（1）把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C，画出△A1B1C；
（2）求在旋转过程中，边CA所扫过的面积．
18．学习电学知识后，小婷同学用四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡设计了一个电路图．
（1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于 ；
（2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率．
19．如图，已知一次函数y＝﹣x+4与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A和B（m，1）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）根据图象回答，当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值（直接写结论）；
（3）以点O为位似中心画三角形，使它与△OAB位似，且相似比为2，请在图中画出所有符合条件的三角形．
20．如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动．
（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？
（2）是否存在时刻t，使△AMN与△ACD相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
21．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）．
（1）抛物线的对称轴为 ，抛物线与y轴的交点坐标为 ；
（2）试说明直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）一定有两个交点；
（3）若当﹣2≤x≤2时，y的最大值是2，则当﹣2≤x≤2，y的最小值是多少？
22．小凡同学在学习圆的知识时遇到以下问题：
如图①，点P是⊙O的弦AB上一点，且AP＝4cm，BP＝2cm，C是上一动点，CP的延长线交⊙O于点D，连接BD．当△BPD是等腰三角形时，求线段PC的长度．
小凡发现本题很难用推理计算的方法解决，于是尝试利用构造函数的思路进行探究，请将下面的探究过程补充完整：
（1）线段BP＝2cm，而线段BD、PD的长度和点C的位置有关，现根据点C在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段PC、PD、BD的长度，得到如表的几组对应值．
位置编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
PC/cm 2.00 2.33 2.50 2.75 3.00 3.33 3.50 3.75 4.00 4.39 4.52
PD/cm 4.00 3.44 3.20 2.91 a 2.40 2.29 2.13 b 1.82 1.79
BD/cm 6.00 5.40 5.12 4.48 4.25 3.78 3.52 3.18 2.82 2.25 1.62
操作中发现：
①考虑测量有一定误差，发现线段PC、PD的长度满足一定的规律，根据这种规律，可知上表中a、b的值是：a＝ ，b＝ ；
②写出①中线段PC、PD长度所满足规律的具体内容，并简要说明理由；
（2）将线段PC的长度作为自变量x，PD、BD和BP长度都是x的函数，分别记为yPD、yBD和yBP，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数yBD和yBP的图象，如图②所示．请在同一坐标系中画出函数yPD的图象；
（3）请结合图象直接写出：当△BPD为等腰三角形时，线段PC长度的近似值（结果保留一位小数）．
23．下面是某数学兴趣小组探究用不同方法过圆外一点作圆的切线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．
小强：如图（1），连接OP，作线段OP的垂直平分线BC，交OP于点A；以点A为圆心，OA长为半径作⊙A，交⊙O于点D；作直线PD，则PD即为过点P的⊙O的切线． 简述理由如下：连接OD，因为OP是⊙A的直径，所以∠ODP＝90°，所以OD⊥DP．又因为OD是⊙O的半径，所以PD是⊙O的切线． 小刚：我认为小强的作用方法有创新，但作弧的次数多，可进行如下改进；如图（2），作直线OP交⊙O于A，B两点，以点O为圆心，OP长为半径作大⊙O，交直线OP于点C；以点C为圆心，AB长为半径作⊙O，交大⊙O于点D；作直线PD，则PD即为过点P的⊙O的切线．
任务：
（1）小强得出∠ODP＝90°的依据是 （填序号）．
①一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；
②在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；
③切线与过切点的半径垂直；
④直径所对的圆周角是直角．
（2）小刚作图所得到直线PD是⊙O的切线吗？请判断并说明理由．
（3）如图（3），已知∠APD＝30°，射线PA经过点O，且与⊙O交于点B，C，射线PD与⊙O相切于点E，且PE＝3，点M是射线PD上一动点，连接MC，EC，若∠MCE＝15°，请直接写出线段PM的长．2021--2022学年度上期期末素质测试九年级数学的
命 题 意 图
一丶命题原则
数学期末素质测试的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程,激励学生的学习和改进教师的教学,旨在考查学生的数学基础和数学核心素养.以课程标准为命题依据，遵循“重视课本、突出能力、聚焦核心素养”的原则,全面考查本学期所学数学的基础知识、基本技能、基本思想方法与基本活动经验,重点聚焦数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算、数学建模、数据分析等数学核心素养的考查.力求让试题“新而不难,活而不偏”,使其有利于考查不同层次的学生数学学习的真实水平,有利于诊断一线教师的教学情况,对教师“回归教材、研究中考、依标执教”能有着较好的导向作用.
二、命题思路及意图
1.以课程标准为依据,以中考试题特点和趋势为导向,引领教师学习、研究课程标准和中考试题.
2.试题来源于教材,注重挖掘教材资源,引导教师在教学过程中重视教材,研究教材,解读教参，创造性地使用教材.
3.重视基础,注重知识的生成过程,突出对学生基本数学素养的评价,引导教学关注数学本质.要求学生在学习概念、法则、公式、性质和定理时,仅仅知道结论是远远不够的,更需要紧紧抓其本质特征去理解和掌握；教师在教学中要让学生经历知识的探究和生成过程,不能让学生死记硬背,一定要在理解数学本质的基础上,灵活运用所学知识解决问题,强化不同背景下对知识的理解和应用.
4.能力立意，重视数学思想，活用数学方法，突出对学生“如何想”的考查，力求体现“多考点想、少考点算”的命题理念.同时面向全体学生,贴近学生生活实际，体现数学来源于生活又应用于生活的原则.力求使老师们在平时的数学教学中，抓住数学最本质的内容,重基础,去套路,既要让学生有充分的活动经验的体验,更应该关注到对学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题能力的培养,为学生的可持续发展打好基础.
5.重视动手操作,强化过程.引导老师们在平时教学中重视学生动手能力的培养,重视教材中的教学活动环节,强化操作、观察、猜测、想象、归纳、推理能力,利用开放式的设问方式,给学生探究的时间与空间.
6.注重阅读能力,考查对有效信息的处理及运用.引导老师们在数学教学中对学生阅读能力的培养,功夫要下在日常教学中,将阅读能力的培养落实在每个年级、每个单元和每节课中,再加上丰富的阅读活动和专项训练,帮助学生积累阅读经验,从而提升学生的综合素养.
7.加强开放探究,关注多元思维.激发学生的创新意识和探究意识,力求综合性题目方法多样,使不同层次的学生能根据自己的数学认知特征选择不同的方法解决,鼓励多角度、多层次、多渠道展开思维,体现命题的公平性.
三、考查的知识点、思想方法及核心素养
表1
题号 考查的主要知识点(本期所学) 数学思想方法 数学核心素养
1 中心对称图形的概念 ――― 直观想象
2 相似三角形的面积比与相似比的关系 ――― 直观想象、数学运算
3 必然事件的概念 ――― 数学抽象
4 反比例函数的图象和性质 数形结合 数学抽象
5 一元二次方程的概念和解法 ――― 数学运算
6 相似三角形性质的应用 模型思想 数学建模、数学运算
7 二次函数的定义 模型思想、函数思想 数学建模、数学运算
8 同弧上的圆周角与圆心角的关系 分类讨论 直观想象、逻辑推理
9 二次函数的图象和性质 数形结合、待定糸数法 数学运算、直观想象
10 旋转的性质及坐标系中的中心对称 数形结合 直观想象、数学运算、逻辑推理
11 二次函数图象的平移 数形结合 直观想象、数学运算
12 概率的定义 ――― 数据分析
13 反比例函数中k的几何意义 数形结合 直观想象、数学抽象
14 二次函数的应用 模型思想、函数思想,待定系数法 数学建模、数学运算
15 圆的基本性质及弧长的计算 转化思想 直观想象、数学运算、逻辑推理
16 公式法或配方法解一元二次方程 公式法、配方法 数学运算
17 旋转图形的画法,扇形的面积计算 数形结合 直观想象、数学运算
18 概率的定义,概率的求法 列举法 数据分析、数学运算
19 反比例函数解析式的确定,图象及性质,位似图形的画法 数形结合、待定糸数法 直观想象、数学抽象
20 一元二次方程的应用,相似三角形的判定 方程思想 数学建模、逻辑推理、数学运算、直观想象
21 二次函数的图象和性质--对称轴、交点、顶点、最值的确定 数形结合 直观想象、数学运算
22 同弧上的圆周角相等,相似三角形的判定和性质,函数图象的确定和意义 转化思想、函数思想、 数形结合、分类讨论 直观想象、数学抽象、数学建模、逻辑推理
23 圆的切线的判定,直径所对的周周角是直角 方程思想、转化思想、分类讨论 直观想象、数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算
表2
内容 一元二次方程 二次函数 旋转 圆 慨率初步 反比例函数 相似 综合与实践
题目 5,16, 21 7, 9, 11,14, 21 1,10,16, 8,15,16,22, 23 3,12,18 4,13,19 2, 6, 19,20, 22 22, 23
分数 12 20 11 21 15 12 17 12
