江西省重点中学协作体2022届高三第一次联考
数学(理科)试卷2022.2
考试时间:120分钟分值:150分
选择题:本题共12小题每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求
已知集合A={xy=log(x+)},B={x∈21-154,则A∩B=(
1{0,4
D.{01,2}
2.若复数a2-4+(a+2)(a∈R)为纯虚数,则复数z=4-ai在复平面所对应的点在(
A.第一象限
B.第二象限
C.第四象限
D.第一或第四象限
3.设a=tan92°,b
的大小关系是(
4.“a=-1”是“直线ax+2y+6=0与直线x+(a-1)y+a2-1=0平行”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.2021年10月16日0时23分,搭载神舟十三号载人飞船的长征二号
F遥十三运载火箭,在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射
顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空,飞行乘组状态良
好,发射取得圆满成功火箭在发射时会产生巨大的噪音,若所有声音的
声强级(x)(单位dB)与声强x(单位:W/m2)满足d(x)=101g
火箭发射时的声强级约为140B,人交谈时的声强级约为50dB,那么火箭发射时的声强与人交谈时的声强
的比值约为()
6.直线l过点(3,3)且与圆C:x2+(y-2)2=4相切,则直线l的倾斜角的大小为(
A.30°或120
B
C.30
D.120°
7.已知向量a面a=√6b=(3,4,若a在b上的投影为-1,则1a2b=()
A.169
C.196
8已知函数∫(x)=Ain(ax+q)(A>0,a>0,-2的距离为芬,且vcR,f()(),则函数/()的解析式为
A.f()41(x)
B.f(x)=4si(x-2)
江西省重点中学协作体2022届高三第一次联考数学(理科)试卷第1
共4页
C.f(x)=2 2 sin(2x-
D.f(x)=2√2si(x-4)
92020年9月2日,国家主席习近平在第七十五届联合国大会上宜布,中国力争203年前二氧化碳排放
达到峰值,努力争取2060年前实现碳中和。“碳达峰”碳中和”倡导绿色、环保、低碳的生活方式,推动资
源循环利用,提高资源利用效率,与我们每一个人都有关为了更好的宣传“碳中和湘相关工作,国家相关部
门安排甲,乙,丙,丁,戊五名专家赴A,B两地指导工作,每地至少安排一名专家,则甲,乙被安排在
不同地点工作的概率为()
7
x2
10.如右图所示,椭圆C:+
a2+a2-=1的左右焦点分别为F,F2,直线
y=kx(k>0)与C相交于M,N两点,若M,F,N,F2四点共圆(其中M在第
一象限),且直线NF2倾斜角不小于,则椭圆C的实轴长的取值范围是()
A.[3+1,2√2)B.[3+1,4)
C.(2,3+
D.(2,2√2
1.已知O是三角形ABC的外心,若C,10+1461C0=2m(40),且2smB+smC=√⑤,则
实数m的最大值为()
C
12.已知函数f(x)=2(a+2)e2-(a+)xe2+x2有三个不同的零点x,x2,x,且x<022y(2)的值为()
填空题本题共4小题每小题5分,共20分
13.已知实数xy满足不等式组{2x-y+420,则z=3x+4y-4的最大值为
4x+y-4≤0,
14.冰球是一种冰上运动项目,也是冬奥会的比赛项目之一冰球球员身高不仅影响球杆长度,而且由于比
赛过程中球员经常发生肢体上的碰撞与冲突,故选拔运动员时对球员身高有一定的要求。在一次选拔冰
球运动员过程中,测得7名选手的身高(单位:cm)分布茎叶图为:
7|x578
记录的平均身高为178cm,有一名候选人的身高记录不清楚,其末位数字记为x,那么x的值为
江西省重点中学协作体2022届高三第一次联考数学(理科)试卷第2页共4页
器&级2022届协作体第一次高三联考数学（理科)参考答案
一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C B C A D B A C A A D
二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
13.12 14.3 15.200 16.①④⑤
三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第 17-21题为必考题，每个试题考生都必须作
答.第 22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17.解析：（1）
支持 不支持 合计
男 45 15 60
女 15 15 30
合计 60 30 90
= ×( × × )
= . <6.63, ………………………………………………………5分
× × ×
所以没有 99%的把握认为支持增加中学生体育锻炼与性别有关. ……………………………………………6分
（2）X的可能取值为 0，1，2，3，4
其中 = = =
= = = =
= = = =
= = = =
= = = ………………………………………………………10分
k 0 1 2 3 4
P(X=k)
~ , = × = ………………………………………………………12分
1 1 1
18.（1）当 n 2时，由 1
1
1 S1 1 S 1 S
n ，
2 n 3
1 1 1 1得 1 1 S1 1 S2 1 S n 1 3
n 1 ，
1 2
两式相减可得 (n 2)1 S 3n ， ………………………………………………………3分n
1
因为 1
1 2
1 S 3 3，符合上式 ……………………………………………………4分1
1 2 n
所以 n (n N
) 3
1 S 3 ，故 Sn 1， ……………………………………………………5分n 2
n
（2 1 S 3）由（ ）得 n 1，2
n
n 2 a S S 3 3
n 1
当 时， 3n 1n n n 1 ，2 2
当 n
1
1时， a1 S1 ，不符合上式，2
1
,n 1
故数列 a n 的通项公式为 an 2 ． ……………………………………………………7分
n 1 3 ,n 2
n 1
b 3 1 ( 1 1因此 n n n 1 n 1 n ), (n 2)，………………………………………………8分(3 3)(3 3) 2 3 3 3 3
1
故当 n 1时，T1 ………………………………………………9分42
T 1 ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1当 n 2， n )42 32 1 3 3 2 3 33 1 3 33 3 3 n 1 3 3 n 3
1 1 ( 1 1 ) 3 1 n n . ………………………………………………11分42 2 6 3 3 28 2 3 6
令 n 1，得T
1
1 ，符合上式42
T 3 1综上所述， n n . ………………………………………………12分28 2 3 6
19.解析：（1） 如图，连接 AC 交 BH于 Q，连接 GQ，分析底面可得： ⊥ ，
其中 BD=DC=BC，∠ = ∠ = °, ∠ = °, = = ，Q为 AC
上靠近 C的三等分点， …………3分
= ， = ， // ， 面 ，而 PA 面GBH
可得：PA//面 BGH ………………………………………………6分
（2）取 AB的中点M，连接 PM，MD
如图以M为原点，MA为 x轴，MD为 y轴，MP 为 z轴建立空间直角坐标系
其中 = ， = ， = ，过 G做面 ABCD投影 ‘， ‘//PM，
故 ‘是MC上靠近 C的三等分点，
, , , , , , , , 其中 , , , , , ,
其中 = , , , = , , ,
面 AGD的法向量为 = ( , , ) …………10分
= , , , = , , , 面 PGD的法向量为 = ( , , ),
< , >= …………12分
P x , y p 20（1）设 0 0 ，，∵△PQF 为等边三角形时，其面积为 3， F 0, 2
1
PQ 2∴ sin
π
3，解得 PQ 2， ………………………………………………2分
2 3
∵Q为 P在动直线 y t t 0 上的投影，∴Q x0 , t ；当△PQF 为等边三角形时， PQ PF FQ ，
y
p
0 2,2
p
由抛物线的定义知， t ，∴ x20 p
2 4，解得 p 1，∴C的方程为 x2 2y； ……………5分
2 2
x0 2 py0
（2）设 P x 20 , y0 (x0 0)， A x1, y1 ， B x2 , y2 ，则 x0 2y0，Q x0 , t
1
∵ y x2，∴ y x，∴切线 l： y y0 x0 (x x0 )，即 l： y x0x y0， ……………………7分2
y x0x y 0 2 2 4x y
联立方程 x2 y2 1 2x0 x 4x y x 2y20 0 0 4 0，∴ x1 x 0 02 1 2x2 ， ………………9分 1 0 4 2
t y
t
x
Q x , t l : y x x x y0x∵ 00 ，∴ OQ x ， 0 M 2 ， …………………………………10分0 xy x x y 0 t 0 0
∵△QMA和△QMB的面积相等，且 A，M，B在同一条直线上，则点M为 AB的中点，
4x0 y0 2x0 y
∴ 2xM x
0 1
1 x2，即 1 2x20 x
2 t ，则 t ，0 2
t 1所以存在 ，使得△QMA和△QMB的面积相等恒成立． …………………………………12分
2
21.（1）解：可知， f x ex 1 cos x,则f 0 3，f (0) 1， …………………………………2分
故切线方程为 y 1 3(x 0)，化简得3x y 1 0； …………………………………4分
（2 2）解：由 f x ax 2x 1得ex sin x ax2 2x 1 0，
令 g x ex sin x ax2 2x 1, x 0，即 g x 0min ， …………………………………5分
g x ex cos x 2ax 2，令 h x g x ex cos x 2ax 2， ………………………………6分
则 h x ex sin x 2a，令H (x) h x ex sin x 2a，则H x ex cos x，
因为 x 0，所以 ex 1 cos x，所以H x ex cos x 0，所以 h x 在 0, 上单调递增，………8分
且 h x h 0 1 2a，
1
当1 2a 0，即 a 时， h x h 0 1 2a 0， g x 在 0, 上单调递增， g x g 0 0，
2
所以 g x 在 0, 上单调递增， g x g 0 0，符合题意， ………………………………9分
1
当1 2a 0即 a 时， h x h 0 1 2a 0， h x 在 0, 上单调递增，
2
而 h ln 2a 1 1 sin ln 2a 1 0 ，所以 x0 0, ln 2a 1 ，使得 h x0 0， ……………10分
当 x 0, x0 时，h x 0， g x 单调递减， g x g 0 0，
所以 g x 单调递减， g x g 0 0，不满足 g x 0min ， …………………………………11分
a ,
1
所以 的取值范围是 . …………………………………12分 2
x 3cos 2
22 x（1）将曲线 C的参数方程 ，消去参数 ，得到曲线 C的普通方程 y2 1，
y sin 3
则曲线 C的极坐标方程为 2 cos2 3 2 sin2 3 ，化简得 2 (1 2sin2 ) 3. ………………3分
2
点 P的极坐标为 (2, )化为直角坐标为 1, 3 ，且直线 l的倾斜角为 ，3 3
x 1
1
t
2
所以直线 l的以 P为定点的标准参数方程为 ( t为参数)； ………………5分
y 3 3 t 2
1
x 1 t
2
（2）将直线 l的参数方程 ，消去参数 t，得到普通方程 3x y 2 3 0， ……7分
y
3
3 t
2
M 3cos ,sin 3cos sin 2 3 10sin 2 3设 ，则点M到直线 l的距离 d 10 3 ，
2 2 2
当 sin 1时等号成立，
所以点M 10到直线 l的距离 d的最大值为 3 . …………………………………10分
2
x 1 1 x 1 x 1
23（Ⅰ）不等式等价于
3x 1
或 或 ，
2x 2 x 3 2x 2
3x 1 2x 2
1
解得 x 或 x 1或1 x 3 .
3
1
所以不等式 f (x) 2x 2 的解集为 x x 3 . …………………………………5分
3
3x 1, x 1
（Ⅱ）由 f x x 3, 1 x 1知，当 x 1时， f (x)min f (1) 2，即 a b 2 . ……………6分
3x 1, x 1
a2 1 b
2 1 a2 1 2 b2 1 2 2
a 1 b 1 2
a 1 b 1 a 1 b 1 a 1 b 1
2 2 1
(a 1 b 1)( 2 2 )
a 1 b 1 4 a 1 b 1
1 2(b 1) 2(a 1) 1 2(b 1) 2(a 1)
(2 2) (4 2 ) 2
4 a 1 b 1 4 a 1 b 1
2(b 1) 2(a 1)
当且仅当 ，即 a b 1时等号成立， …………………………………9分
a 1 b 1
a2 1 b2 1
故 的最小值为 2. …………………………………10分
a 1 b 1
