安徽省部分学校2021-2022学年高三上学期期末联考理科数学试题（Word版，含答案）

安徽省部分学校2021-2022学年高三上学期期末联考
理科数学
一 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，则集合（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数，则“”是“z是纯虚数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 某科研机构为了研究一种电子元件某项指标x，y的相关关系，观测得到统计数据如下表：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 57 m 69
由此数据得到回归直线方程为，则样本点的残差（观测值减去预报值）为（ ）
A 3 B. 2.5 C. D.
4. 已知四边形的对角线交于点O，E为的中点，若，则（ ）
A B. C. D. 1
5. 函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知一个圆锥形饮料杯的侧面展开图为半圆，销售商在杯内装入部分饮料后，放入一个实心冰球使其恰好淹没在饮料中，则该冰球与饮料的体积比为（ ）
A B. C. D.
7. 已知为偶函数，当时，，则曲线在处的切线经过点（ ）
A. B. C. D.
8. 已知数列是首项与公差均为1的等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
9. 双曲函数是一类与三角函数类似的函数，在物理学众多领域中有丰富的实际应用.最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数.令，得到下面结论①为偶函数；②为奇函数；③在上单调递增；④在上单调递减.则以上结论正确的是（ ）
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④
10. 已知函数，各项互不相等的等比数列满足，记，则（ ）
A. B. C. D.
11. 已知过点的动圆P与直线相切，则到直线距离为的圆心P的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
12. 已知为正方体，P，Q，R分别为棱中点，则①平面；②平面；③；④平面，上述四个结论正确的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 展开式的系数和与二项式系数和均为64，若，则其展开式中常数项为___________.
14. 连续掷骰子两次得到的点数分别记为a和b，则使直线与圆相交的概率为___________.
15. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式为___________.
16. 已知分别为双曲线的上下焦点，与关于其中一条渐近线对称，若点P恰在C上，则C的一条渐近线方程为___________，C的方程为___________.
三 解答题：共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17. 已知数列满足，.
（1）记，求证：数列为等比数列；
（2）求的前项和.
18. 已知a，b，c分别为锐角三个内角A，B，C的对边，.
（1）求；
（2）若，求的周长.
19. 如图，四棱锥的底面是矩形，平面平面，E，F分别是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
20. 1971年“乒乓外交”翻开了中美关系的新篇章，2021年休斯顿世乒赛中美两国选手又一次践行了“乒乓外交”所蕴含的友谊 尊重 合作的精神，使“乒乓外交”的内涵和外延得到了进一步的丰富和创新，几十年来，乒乓球运动也成为国内民众喜爱的运动之一，今有小王 小张 小马三人进行乒乓球比赛，规则为：先由两人上场比赛，另一人做裁判，败者下场做裁判，另两人上场比赛，依次规则循环进行比赛.由抽签决定小王 小张先上场比赛，小马做裁判.根据以往经验比赛：小王与小张比赛小王获胜的概率为，小马与小张比赛小张获胜的概率为，小马与小王比赛小马获胜的概率为.
（1）比赛完3局时，求三人各胜1局的概率；
（2）比赛完4局时，设小马做裁判的次数为X，求X的分布列和期望.
21. 已知动点M到直线的距离是M与点距离的倍，记M的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）动直线与C交于两点A，B，曲线C上是否存在定点P，使得直线的斜率和为零？若存在求出点P坐标；若不存在，请说明理由.
22. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若存在，使得成立，求实数a的取值范围.
安徽省部分学校2021-2022学年高三上学期期末联考
理科数学 答案版
一 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，则集合（ ）
A. B. C. D.
答案 D
2. 已知复数，则“”是“z是纯虚数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
答案 A
3. 某科研机构为了研究一种电子元件某项指标x，y的相关关系，观测得到统计数据如下表：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 57 m 69
由此数据得到回归直线方程为，则样本点的残差（观测值减去预报值）为（ ）
A 3 B. 2.5 C. D.
答案 D
4. 已知四边形的对角线交于点O，E为的中点，若，则（ ）
A B. C. D. 1
答案 A
5. 函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
答案 B
6. 已知一个圆锥形饮料杯的侧面展开图为半圆，销售商在杯内装入部分饮料后，放入一个实心冰球使其恰好淹没在饮料中，则该冰球与饮料的体积比为（ ）
A B. C. D.
答案 C
7. 已知为偶函数，当时，，则曲线在处的切线经过点（ ）
A. B. C. D.
答案 D
8. 已知数列是首项与公差均为1的等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
答案 B
9. 双曲函数是一类与三角函数类似的函数，在物理学众多领域中有丰富的实际应用.最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数.令，得到下面结论①为偶函数；②为奇函数；③在上单调递增；④在上单调递减.则以上结论正确的是（ ）
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④
答案 B
10. 已知函数，各项互不相等的等比数列满足，记，则（ ）
A. B. C. D.
答案 D
11. 已知过点的动圆P与直线相切，则到直线距离为的圆心P的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
答案 C
12. 已知为正方体，P，Q，R分别为棱中点，则①平面；②平面；③；④平面，上述四个结论正确的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
答案 C
二 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 展开式的系数和与二项式系数和均为64，若，则其展开式中常数项为___________.
答案 15
14. 连续掷骰子两次得到的点数分别记为a和b，则使直线与圆相交的概率为___________.
答案
15. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式为___________.
答案 （答案不唯一）
16. 已知分别为双曲线的上下焦点，与关于其中一条渐近线对称，若点P恰在C上，则C的一条渐近线方程为___________，C的方程为___________.
答案 ①. ②.
三 解答题：共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17. 已知数列满足，.
（1）记，求证：数列为等比数列；
（2）求的前项和.
答案 （1）证明见解析；
（2）.
18. 已知a，b，c分别为锐角三个内角A，B，C的对边，.
（1）求；
（2）若，求的周长.
答案 （1）
（2）
19. 如图，四棱锥的底面是矩形，平面平面，E，F分别是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
答案 （1）证明见解析
（2）
20. 1971年“乒乓外交”翻开了中美关系的新篇章，2021年休斯顿世乒赛中美两国选手又一次践行了“乒乓外交”所蕴含的友谊 尊重 合作的精神，使“乒乓外交”的内涵和外延得到了进一步的丰富和创新，几十年来，乒乓球运动也成为国内民众喜爱的运动之一，今有小王 小张 小马三人进行乒乓球比赛，规则为：先由两人上场比赛，另一人做裁判，败者下场做裁判，另两人上场比赛，依次规则循环进行比赛.由抽签决定小王 小张先上场比赛，小马做裁判.根据以往经验比赛：小王与小张比赛小王获胜的概率为，小马与小张比赛小张获胜的概率为，小马与小王比赛小马获胜的概率为.
（1）比赛完3局时，求三人各胜1局的概率；
（2）比赛完4局时，设小马做裁判的次数为X，求X的分布列和期望.
答案 （1）
（2）分布列答案见解析，数学期望：
21. 已知动点M到直线的距离是M与点距离的倍，记M的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）动直线与C交于两点A，B，曲线C上是否存在定点P，使得直线的斜率和为零？若存在求出点P坐标；若不存在，请说明理由.
答案 （1）；
（2）存在，定点或.
22. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若存在，使得成立，求实数a的取值范围.
答案 （1）答案见解析
（2）