安徽省芜湖市2021-2022学年高三上学期期末考试理科数学试题（Word版，含答案）

芜湖市2021-2022学年高三上学期期末考试
数学（理科）试题卷
一 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则复数z的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 2021年11月3日11时，全国首条无人驾驶跨座式单轨芜湖轨道交通1号线全线开通运营，标志着芜湖市正式跨入轨道交通时代，如图为1号线正式运行后连续11天的客运量折线图，根据该折线图，下列说法错误的是（ ）
A. 该11天中客运量极差大约是4.8
B. 该11天客运量平均数大约为5
C. 该11天中客运量的中位数大约是4.5
D. 8日至10日客运量相对于11日至13日客运量，波动性更小，方差更大
4. 设是不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
5. 设抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则线段的中点到y轴的距离为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 5
6. 设等比数列前n项和为，，公比，且成等差数列，则（ ）
A. B. 0 C. 7 D. 40
7. 展开式中各项系数和为，则该展开式中常数项为（ ）
A. 8 B. 28 C. 56 D. 70
8. 已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A. 是偶函数 B. 在有2个零点
C. 最大值为2 D. 在单调递减
9. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2），则h与t的函数关系式为（ ）
A. ， B. ，
C ， D. ，
10. 已知为双曲线的左 右焦点，O为坐标原点，P是双曲线上一点，，的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
11. 在正四面体中，E为的中点，过点E作该正四面体外接球的截面，记最大的截面面积为S，最小的截面面积为T，则（ ）
A. B. C. 2 D. 3
12. 设实数，e为自然对数的底数，若，则（ ）
A. B. C. D.
二 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若x，y满足约束条件则的最大值为___________.
14. 设向量是单位向量，且，若，则___________.
15. 若定义在函数，满足，则曲线在点处的切线方程是___________.
16. 定义：首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”.已知数列是首项和公差均为1的等差数列.设m为正整数，若存在“数列”，对任意的正整数k，当时，都有成立，则m的最大值为___________.
三 解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求A；
（2）若的周长为15，且，求的面积.
18. 如图，四边形为矩形，，E为线段上一点，且，以为折痕把折起，使得平面平面，连接.
（1）当时，证明：平面；
（2）当时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
19. 某班共有9位班干，由于在周末临时接到学校通知，需要对班级的一项活动方案作出讨论表决.按规定至少要有的班干参加，于是班主任和团支部书记分别独立 随机地给5位班干发通知信息.假设所发信息都能收到，记班干中能收到班主任或团支部书记信息通知的人数为X（注：班主任不需发给团支部书记）.
（1）求班长能收到班主任或团支部书记所发通知信息的概率；
（2）求X的期望.
20 设函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若对于任意，都有，求m的取值范围.
21. 已知圆，点M与的坐标分别为与，以为直径的圆内切于圆O，记点N的轨迹为曲线C.
（1）证明 为定值，并求C的方程；
（2）若直线l交曲线C于A，B两点，交圆O于P，Q两点，且，求.
22. 在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）若，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设点P的直角坐标系下坐标为，直线l与曲线C交于A，B两点，且，求直线l的倾斜角.
23. 设a，b，c为正实数，且.证明：
（1）；
（2）.
芜湖市2021-2022学年高三上学期期末考试
数学（理科）试题卷 答案版
一 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
答案 B
2. 已知，则复数z的虚部为（ ）
A. B. C. D.
答案 A
3. 2021年11月3日11时，全国首条无人驾驶跨座式单轨芜湖轨道交通1号线全线开通运营，标志着芜湖市正式跨入轨道交通时代，如图为1号线正式运行后连续11天的客运量折线图，根据该折线图，下列说法错误的是（ ）
A. 该11天中客运量极差大约是4.8
B. 该11天客运量平均数大约为5
C. 该11天中客运量的中位数大约是4.5
D. 8日至10日客运量相对于11日至13日客运量，波动性更小，方差更大
答案 D
4. 设是不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
答案 D
5. 设抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则线段的中点到y轴的距离为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 5
答案 C
6. 设等比数列前n项和为，，公比，且成等差数列，则（ ）
A. B. 0 C. 7 D. 40
答案 A
7. 展开式中各项系数和为，则该展开式中常数项为（ ）
A. 8 B. 28 C. 56 D. 70
答案 B
8. 已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A. 是偶函数 B. 在有2个零点
C. 最大值为2 D. 在单调递减
答案 D
9. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2），则h与t的函数关系式为（ ）
A. ， B. ，
C ， D. ，
答案 A
10. 已知为双曲线的左 右焦点，O为坐标原点，P是双曲线上一点，，的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
答案 A
11. 在正四面体中，E为的中点，过点E作该正四面体外接球的截面，记最大的截面面积为S，最小的截面面积为T，则（ ）
A. B. C. 2 D. 3
答案 B
12. 设实数，e为自然对数的底数，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案 C
二 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若x，y满足约束条件则的最大值为___________.
答案 5
14. 设向量是单位向量，且，若，则___________.
答案
15. 若定义在函数，满足，则曲线在点处的切线方程是___________.
答案
16. 定义：首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”.已知数列是首项和公差均为1的等差数列.设m为正整数，若存在“数列”，对任意的正整数k，当时，都有成立，则m的最大值为___________.
答案 5
三 解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求A；
（2）若的周长为15，且，求的面积.
答案 （1）
（2）
18. 如图，四边形为矩形，，E为线段上一点，且，以为折痕把折起，使得平面平面，连接.
（1）当时，证明：平面；
（2）当时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
答案 （1）证明见解析
（2）
19. 某班共有9位班干，由于在周末临时接到学校通知，需要对班级的一项活动方案作出讨论表决.按规定至少要有的班干参加，于是班主任和团支部书记分别独立 随机地给5位班干发通知信息.假设所发信息都能收到，记班干中能收到班主任或团支部书记信息通知的人数为X（注：班主任不需发给团支部书记）.
（1）求班长能收到班主任或团支部书记所发通知信息的概率；
（2）求X的期望.
答案 （1）
（2）
20 设函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若对于任意，都有，求m的取值范围.
答案 （1）在上单调递减，在上单调递增
（2）
21. 已知圆，点M与的坐标分别为与，以为直径的圆内切于圆O，记点N的轨迹为曲线C.
（1）证明 为定值，并求C的方程；
（2）若直线l交曲线C于A，B两点，交圆O于P，Q两点，且，求.
答案 （1）证明见解析，
（2）
22. 在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）若，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设点P的直角坐标系下坐标为，直线l与曲线C交于A，B两点，且，求直线l的倾斜角.
答案 （1），
（2）或
23. 设a，b，c为正实数，且.证明：
（1）；
（2）.
答案 （1）证明见解析
（2）证明见解析