浙江省绍兴市上虞区2021-2022学年高三上学期期末考试数学试题（Word版，含答案）

上虞区2021-2022学年高三上学期期末考试
数学试卷
参考公式：
球的表面积公式；球的体积公式，其中表示球的半径．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 双曲线的焦点坐标是（ ）
A B. C. D.
3. 若复数（，为虚数单位）满足，其中为的共扼复数，则的值为（ ）
A. B. C. 1 D.
4. “为锐角”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 若实数，满足约束条件，则最大值为（ ）
A -6 B. -3 C. D. -9
6. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为（ ）
A. 25 B. C. D. 9
8. 已知，满足，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
9. 已知双曲线，的左右焦点记为，，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，记与双曲线的交点为P，若所得的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（ ）
A. 2 B. C. D.
10. 已知数列满足：，，则下列说法正确的是（ ）
A. 数列为递减数列 B. 存在，便得
C. 存在，便得 D. 存在，便得
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题．本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．
11. 设，，则_____________，_____________．
12. 在的展开式中，若，则含项的系数是____________；若常数项是24，则____________．
13. 已知随机变量的分布列如下：且，则实数____________，若随机变量，则____________．
2 3 4
14. 已知正方体的棱长为，点、分别在、上，，．动点在侧面内（包含边界）运动，且满足直线平面，则点在侧面的轨迹的长度为_____________，三棱锥的体积为_____________．
15. 若，，则____________．
16. 某区突发新冠疫情，为抗击疫情，某医院急从甲、乙、丙等9名医务工作者中选6人参加周一到周六的某社区核酸检测任务，每天安排一人，每人只参加一天．现要求甲、乙、丙至少选两人参加．考虑到实际情况，当甲、乙、丙三人都参加时，丙一定得排在甲乙之间，那么不同的安排数为__________．（请算出实际数值）
17. 设向量，，，，点在内，且向量与向量的夹角为，则的取值范围是____________．
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18. 设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，点M为AC的中点，且．
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积．
19. 正三棱柱底边长为2，E，F分别为，AB的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）若与平面所成的角的正弦值为，求的值．
20. 已知各项均为正数的数列满足：，前项和为，且，．
（1）求数列的通项与前项和；
（2）记，设为数列的前项和，求证．
21. 已知抛物线：的焦点到准线的距离是．
（1）求抛物线方程；
（2）设点是该抛物线上一定点，过点作圆：（其中）的两条切线分别交抛物线于点A，B，连接AB．探究：直线AB是否过一定点，若过，求出该定点坐标；若不经过定点，请说明理由．
22. 已知函数，为自然对数的底数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，证明：．
上虞区2021-2022学年高三上学期期末考试
数学试卷 答案版
参考公式：
球的表面积公式；球的体积公式，其中表示球的半径．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
答案 D
2. 双曲线的焦点坐标是（ ）
A B. C. D.
答案 C
3. 若复数（，为虚数单位）满足，其中为的共扼复数，则的值为（ ）
A. B. C. 1 D.
答案 D
4. “为锐角”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
答案 A
5. 若实数，满足约束条件，则最大值为（ ）
A -6 B. -3 C. D. -9
答案 B
6. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
答案 A
7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为（ ）
A. 25 B. C. D. 9
答案 B
8. 已知，满足，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
答案 B
9. 已知双曲线，的左右焦点记为，，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，记与双曲线的交点为P，若所得的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（ ）
A. 2 B. C. D.
答案 A
10. 已知数列满足：，，则下列说法正确的是（ ）
A. 数列为递减数列 B. 存在，便得
C. 存在，便得 D. 存在，便得
答案 D
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题．本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．
11. 设，，则_____________，_____________．
答案 ①. 2 ②. 5
12. 在的展开式中，若，则含项的系数是____________；若常数项是24，则____________．
答案 ①. -80 ②. 4
13. 已知随机变量的分布列如下：且，则实数____________，若随机变量，则____________．
2 3 4
答案 ①. ②. ##
14. 已知正方体的棱长为，点、分别在、上，，．动点在侧面内（包含边界）运动，且满足直线平面，则点在侧面的轨迹的长度为_____________，三棱锥的体积为_____________．
答案 ①. ②.
15. 若，，则____________．
答案 ##
16. 某区突发新冠疫情，为抗击疫情，某医院急从甲、乙、丙等9名医务工作者中选6人参加周一到周六的某社区核酸检测任务，每天安排一人，每人只参加一天．现要求甲、乙、丙至少选两人参加．考虑到实际情况，当甲、乙、丙三人都参加时，丙一定得排在甲乙之间，那么不同的安排数为__________．（请算出实际数值）
答案
17. 设向量，，，，点在内，且向量与向量的夹角为，则的取值范围是____________．
答案
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18. 设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，点M为AC的中点，且．
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积．
答案 （1）.
（2）
19. 正三棱柱底边长为2，E，F分别为，AB的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）若与平面所成的角的正弦值为，求的值．
答案 （1）证明过程见解析
（2）
20. 已知各项均为正数的数列满足：，前项和为，且，．
（1）求数列的通项与前项和；
（2）记，设为数列的前项和，求证．
答案 （1），；
（2）证明见解析.
21. 已知抛物线：的焦点到准线的距离是．
（1）求抛物线方程；
（2）设点是该抛物线上一定点，过点作圆：（其中）的两条切线分别交抛物线于点A，B，连接AB．探究：直线AB是否过一定点，若过，求出该定点坐标；若不经过定点，请说明理由．
答案 （1）
（2）过定点
22. 已知函数，为自然对数的底数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，证明：．
答案 （1）函数的单调性见解析；
（2）证明见解析