高中数学(创新导学）必修第二册6.2平面向量的运算A卷（word版含解析）

高中数学(创新导学）必修第二册6.2平面向量的运算A卷
一、单选题
1．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图"中，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，，为的中点，，交于，则（ ）
A．-6 B．-3 C．3 D．6
3．已知向量，满足，，，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．已知平面非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若非零向量，，满足，且，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
6．已知平面向量，若，则与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．正方形的边长为2，为的中点，则（ ）
A．2 B．3
C．4 D．
8．在平面上，是方向相反的单位向量，，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．3
9．设为所在平面上一点.若实数x、y、z满足，则“”是“点在的边所在直线上”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件.
10．已知非零向量，满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
11．已知，，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
12．已知非零向量， 满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
13．已知等边的边长为1，是线段上的动点，则的最小值为________．
14．设，且，则在上的数量投影的取值范围是________．
15．已知点是所在平面内点，有下列四个等式：
甲：；乙：
丙：丁：．
如果只有一个等式不成立，则该等式为___________．
16．是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为___________.
试卷第页，共页
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参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可；
【详解】
由题意,
，
故选：D
2．A
【解析】
【分析】
由向量共线，令，应用向量加减、数乘的几何意义及三点共线求参数k，最后利用平面向量数量积的运算律求即可.
【详解】
设，
∵，，三点共线，故，故，
∴.
故选：A.
3．C
【解析】
【分析】
根据向量夹角公式和向量数量积的运算律计算可得答案.
【详解】
解：因为向量，满足，，，
所以，又，∴．
故选：C.
4．B
【解析】
【分析】
显然时，有成立，反之不成立，举反例即可.
【详解】
当时，，，显然有成立
当成立时，不一定成立.
例如：，，
，，满足条件，但此时
故“”是“”的必要不充分条件
故选：B
5．D
【解析】
【分析】
由平面向量共线定理可知存在实数使得，再进行向量数量积运算即可求解.
【详解】
因为非零向量，所以存在实数使得，
又因为，所以，
故选：D．
6．B
【解析】
【分析】
将变为，将该式两边平方，利用向量的乘法运算求出，再根据向量的夹角公式计算可得答案.
【详解】
由，可得，
所以，即，
所以，
设的夹角为，则,
故选：B.
7．A
【解析】
【分析】
考查向量的基底转换，将向量转化为模长和夹角已知的向量，即可求解
【详解】
如上图所示，
故选：A
8．D
【解析】
【分析】
利用已知求出||＝1，然后利用模的性质求解．
【详解】
由题意，即，
又，是方向相反的单位向量，
所以有，即||＝1，
所以，当且仅当反向时取等号，
所以的最大值3，
故选：D.
9．C
【解析】
【分析】
先由得中只能有一个为0，假设可得点在的边BC所在直线上，满足充分性；若点在的边所在直线上，假设在AB上，容易得，必要性满足，则可得答案.
【详解】
为所在平面上一点，且实数x、y、z满足
若“”，则中只能有一个为0，否则若，得，这与矛盾；
假设（不为0），可得，，
向量和共线，点在的边BC所在直线上；
若点在的边所在直线上，假设在AB上，说明向量和共线，
，
“”是“点在的边所在直线上”的充分必要条件.
故选：C.
10．B
【解析】
【分析】
根据平面向量减法的三角形法则和模长相等关系可知，，构成等边三角形，从而得到夹角.
【详解】
解：因为，
所以，，可构成等边三角形，所以与的夹角为，
故选：B.
11．C
【解析】
【分析】
由先求出，先表示出在上的投影，再结合投影向量概念即可求解.
【详解】
因为，所以，即，又因为，设的夹角为，所以，在上的投影为：，所以在上的投影向量为.
故选：C
12．B
【解析】
【分析】
根据给定条件可得，再利用向量夹角公式计算作答.
【详解】
因为，则有，即，而，
令与的夹角为，于是得=，而，解得，
所以与的夹角为.
故选：B
13．
【解析】
【分析】
由向量的线性上，数量积的定义判断出只要求得最大值即可得．
【详解】
，
，
是在方向上的投影．∴当在点时，最大，
取得最小值，最小值为．
故答案为：．
14．
【解析】
【分析】
因为，所以，以为轴建立平面直角坐标系，求出直线方程，已知条件得在直线上，设，由数量积求得在上的数量投影，利用函数性质分类讨论求得取值范围．
【详解】
因为，所以，以为轴建立平面直角坐标系，如图，
则，直线方程为，即，
且，则在直线上，
设，
则在上的数量投影为，
记，，
时，，因为，所以（时取等号）．所以，
时，，，，所以，
综上，．
故答案为：．
15．乙
【解析】
【分析】
对于甲：由向量的线性运算可得点是的重心，对于乙：由向量的数量积运算可得是直角三角形；对于丙：可判断点是的外心；对于丁：由向量的数量积运算可得点是的垂心，再根据只有一个等式不成立即可得正确答案.
【详解】
对于甲：设点为的中点，，
因为，所以，极径，
所以点是的重心，
对于乙：由可得，
即，所以，可得是直角三角形；
对于丙：由可得点是的外心，
对于丁：由可得，
所以，可得，，即，，
所以点是的垂心，
因为只有一个等式不成立，则甲丙丁中至少有两个成立，而其中任意两个成立可得点是等边的中心，所以甲丙丁成立，乙不成立，
故答案为：乙.
16．
【解析】
【分析】
先由题意，得到，推出，再由，根据向量的数量积运算，结合题中条件，直接计算，即可得出结果.
【详解】
因为，点、分别是边、的中点，
所以，
因此，
又，是边长为的等边三角形，
所以
.
故答案为：
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