高中数学(创新导学）必修第二册6.2平面向量的运算B卷（word版含解析）

高中数学(创新导学）必修第二册6.2平面向量的运算B卷
一、单选题
1．在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，若，，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．1 D．
2．点在所在的平面内，，，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．在中，下列命题正确的个数是
①；②；③点为的内心，且，则为等腰三角形；④，则为锐角三角形．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知平面向量满足：，，，则的最小值为 （ ）
A． B． C． D．
5．已知是两个非零向量，且，，则的最大值为
A． B． C．4 D．
6．对任意两个非零的平面向量和，定义．若平面向量满足，与的夹角，且和都在集合中，则=（ ）
A． B．1 C． D．
7．已知菱形ABCD边长为2，∠B＝，点P满足＝λ，λ∈R，若·＝－3，则λ的值为(　　)
A． B．－ C． D．－
8．点D为内一点，且，则=
A． B． C． D．
9．已知向量满足, , ,，则的最大值等于
A． B． C．2 D．
10．在中，，，，为的外心，若，、，则（ ）
A． B． C． D．
11．均为单位向量，且它们的夹角为45°，设，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．中，，，，则的值为
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
13．在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交或其延长线于不同的两点，且，若的最小值为，则正数的值为________.
14．已知、是两个单位向量，它们的夹角是，设，则向量与的夹角大小是__________．
15．已知向量且与的夹角为60°，，则_____．
16．在中，，，，则________.
试卷第页，共页
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参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
由向量加减的几何意义可得，结合已知有，根据三点共线知，应用基本不等式“1”的代换即可求最值，注意等号成立的条件.
【详解】
由题设，如下图示：，又，，
∴，由三点共线，有，
∴，当且仅当时等号成立.
故选：A
【点睛】
关键点点睛：利用向量线性运算的几何表示，得到、、的线性关系，根据三点共线有，再结合基本不等式求最值.
2．D
【解析】
确定点为外心，代入化简得到，，再根据计算得到答案.
【详解】
由可知，点为外心，
则，，又，
所以①
因为，②
联立方程①②可得，，，因为，
所以，即．
故选：
【点睛】
本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力.
3．B
【解析】
【分析】
利用向量的定义和运算法则逐一考查所给的命题是否正确即可得到正确命题的个数.
【详解】
逐一考查所给的命题：
①由向量的减法法则可知：，题中的说法错误；
②由向量加法的三角形法则可得：，题中的说法正确；
③因为，
即；
又因为，
所以，
即，
所以△ABC是等腰三角形.题中的说法正确；
④若，则，据此可知为锐角，无法确定为锐角三角形，题中的说法错误．
综上可得，正确的命题个数为2.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查平面向量的加法法则、减法法则、平面向量数量积的应用，由平面向量确定三角形形状的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4．A
【解析】
【分析】
由可得，由，，可得，设，则，，从而可求出其最小值
【详解】
解：因为，
所以，
所以，所以，
所以，
因为，，所以，
设，则，
，
当时，（舍去），
当时，，
所以的最小值为，
故选：A
【点睛】
关键点点睛：此题考查向量数量积的运算律的应用，考查向量的性质的应用，解题的关键是由已知条件得，，令，则，然后化简可求得结果，考查计算能力，属于较难题
5．B
【解析】
【分析】
先根据向量的模将转化为关于的函数，再利用导数求极值，研究单调性，进而得最大值.
【详解】
,,,，
令,则，令，得当时， ，当时， ， 当时， 取得最大值，故选B.
【点睛】
向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
6．C
【解析】
由已知得集合的元素特征，再分析和的范围，由定义得， ，可得选项.
【详解】
首先观察集合，从而分析和的范围如下：
因为，∴，而，且，可得，
又∵中，∴，从而，
∴，又，所以．且也在集合中，
故有．
故选：C.
【点睛】
本题考查向量的数量积知识迁移运用，向量运算的新定义，关键在于理解新定义并能迁移运用向量的数量积运算解决问题，属于较难题.
7．A
【解析】
【分析】
根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．
【详解】
法一：由题意可得·＝2×2cos＝2，
·＝(＋)·(－)
＝(＋)·[(－)－]
＝(＋)·[(λ－1)·－]
＝(1－λ) 2－·＋(1－λ)··－2
＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4
＝－6λ＝－3，
∴λ＝，故选A.
法二：建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(2,0)，C(1，)，D(－1，)．
令P(x,0)，由·＝(－3，)·(x－1，－)＝－3x＋3－3＝－3x＝－3得x＝1.
∵＝λ，∴λ＝.故选A.
【点睛】
1.已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解．
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝a1b1＋a2b2.
2.通过建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标形式计算.
8．D
【解析】
【详解】
分别延长至 ，使得 ，则 ，则 ， ， ，故选D.
9．A
【解析】
【分析】
由，,即点四点共圆，
再利用余弦定理、正弦定理求解即可.
【详解】
解：=，，，
设由，，，
所以，
所以，
又，
则
即点四点共圆，要使最大，即为圆的直径，
在中，
由余弦定理可得=+=7,
即AB=,
又由正弦定理可得：，
即最大值为，
故选A.
【点睛】
本题考查了向量模的运算及正弦定理、余弦定理，属难度较大的题型.
10．C
【解析】
【分析】
作出图形，先推导出，同理得出，由此得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数的值，即可求出的值.
【详解】
如下图所示，取线段的中点，连接，则且，
，
同理可得，
，
由，可得，即，
解得，，因此，.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用三角形外心的向量数量积的性质求参数的值，解题的关键就是利用三角形外心的向量数量积的性质列方程组求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
11．C
【解析】
建立直角坐标系，求得向量，的终点轨迹方程是圆和直线，利用圆心到直线距离减去半径得到最小值得解
【详解】
设，
以的方向为正方向，所在直线为轴，垂直于所在直线为 轴，建立平面直角坐标系
均为单位向量，且它们的夹角为45°，则 ，
，设
满足
，设
,故 ，
则，则 的最小值为圆上的点到直线 距离的最小值
其最小值为
故选:C.
【点睛】
向量模长最值问题转化为点到直线距离是解题关键，属于中档题.
12．B
【解析】
由，结合向量的加减法运算可得，再由向量的数量积的定义，结合余弦定理可求.
【详解】
，，
即，
.
中，，
.
故选：.
【点睛】
本题考查向量的加减运算，数量积运算和余弦定理，考查学生的综合能力.
13．
【解析】
【分析】
利用平面向量的线性运算法则求得，可得，则，展开后利用基本不等式可得的最小值为，结合的最小值为列方程求解即可.
【详解】
因为点是的三等分点，
则，
又由点三点共线，则，
，
当且仅当时，等号成立，
即的最小值为 ,则有,
解可得或(舍），故，故答案为2.
【点睛】
本题主要考查平面向量的运算法则，以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
14．
【解析】
根据题意，得出，，根据向量的数量积的定义求出和，根据向量模的求法，分别求出和，最后利用平面向量的数量的应用，求出，即可得出与的夹角大小.
【详解】
已知、是两个单位向量，它们的夹角是，
，，则，
因为，，
则
，
即：，
则，
，
，
所以向量与的夹角为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用平面向量的数量积求两向量的夹角，以及单位向量的概念和向量的模的求法，考查计算能力.
15．
【解析】
【分析】
设，由，与的夹角为60°，，可得，代入可得，进而可得答案.
【详解】
解：，可得，，
可得：，又与的夹角为60°，，
可得：，可化为：，
可得：，解得：，
由，可得，，，
可得：，可得：，
可得：，即，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的性质及其运算律、数量积表示两个向量的夹角，属于中档题，注意运算准确.
16．.
【解析】
【详解】
试题分析：，且，则，设，则，
考点：向量的运算
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