高中数学(创新导学）必修第二册6.3平面向量基本定理及坐标表示B卷（word版含解析）

高中数学(创新导学）必修第二册
6.3平面向量基本定理及坐标表示B卷
一、单选题
1．已知，，，，为外接圆上的一动点，且，则的最大值是（　　）
A． B． C． D．
2．已知点是所在平面内一点，若，则与的面积之比为（ ）
A． B． C．2 D．
3．已知平面向量，，（与不共线），满足，，设，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在等腰梯形中，，，，点，分别为，的中点.如果对于常数，在等腰梯形的四条边上，有且只有8个不同的点使得成立，那么的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为
A． B． C． D．
6．设，，为平面向量，，若，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知平面向量满足，与的夹角为，记，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知向量，是坐标原点，若，且方向是沿的方向绕着点按逆时针方向旋转角得到的，则称经过一次变换得到，现有向量经过一次变换后得到，经过一次变换后得到，…，如此下去，经过一次变换后得到，设，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．点在所在的平面内，，，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知,其中实数满足,,则点所形成的平面区域的面积为
A． B． C． D．
12．在中，点是上一点，是的中点，与的交点为有下列四个命题：
甲： 乙：
丙： 丁：
如果只有一个假命题，则该命题为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
第II卷（非选择题）
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二、填空题
13．在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，，则点集所表示的区域面积为______.
14．已知平面向量, 满足，若，则的最小值为__________．
15．已知向量满足，则的取值范围是_______.
16．等腰梯形中，已知，，，点，分别在线段和上，且，，则的最小值为__________．
试卷第页，共页
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参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
以的中点为原点，以为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设的坐标为，求出点的坐标，根据向量的坐标和向量的数乘运算得到，根据正弦函数的图象和性质即可求出答案.
【详解】
解：以的中点为原点，以为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则外接圆的方程为，
设的坐标为，
过点作垂直轴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵
∴
∴，，
∴，，
∴，其中，，
当时，有最大值，最大值为，
故选B．
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算和向量的数乘运算和正弦函数的图象和性质，以及直角三角形的问题，考查了学生的分析解决问题的能力，属于难题．
2．C
【解析】
【分析】
作出图形，结合三点共线性质可得，，同时设，联立解出，进而确定关系，同时满足，进而求出关系，即可求解两三角形面积之比.
【详解】
如图，延长交于，则，因为，，三点共线，所以，即，所以，则，故且，又，故，所以，，所以，所以．
故答案为：C
3．A
【解析】
【分析】
设，由已知条件判断出，即是等腰直角三角形，以为坐标原点，所在的边为轴的正半轴建立平面直角坐标系，则，，得，再由得，设，求出范围可得答案
【详解】
设，则，
，
所以，即是等腰直角三角形，以为坐标原点，
所在的边为轴的正半轴建立平面 直角坐标系，如图，
则，，因为，所以，
因为，所以，
所以，，
两式相加得，
所以，
因为，所以设，
所以，
因为不共线，所以不共线，所以，
所以，，
，
所以，
故选：A.
4．C
【解析】
【分析】
建立坐标系，设的坐标，根据得到关于的方程，根据的位置分四种情况讨论方程解得情况．
【详解】
解：以所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，
则梯形的高为，，，，，，．
（1）当在上时，设，，则，．
于是，
当时，方程有一解，当时，有两解；
（2）当在上时，设，，则，．
于是，
当时，方程有一解，当时，有两解；
（3）当在上时，直线方程为，
设，，则，．
于是．
当或时，方程有一解，当时，方程有两解；
（4）当在上时，直线的方程为，
设，，则，．
于是．
当或时，方程有一解，当时，方程有两解；
综上，若使梯形上有8个不同的点满足成立，
则的取值范围是，，，，，．
故选：．
5．A
【解析】
在中，设，，，结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求，可得，再由已知条件求得，，，考虑建立以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得，然后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】
在中，设，，，
，即，即，，
，，，，，
，即，又，，
，则，所以，，解得，.
以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、、，
为线段上的一点，则存在实数使得，
，
设，，则，，，
，，消去得，，
所以，，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：A.
【点睛】
本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解是一个单位向量，从而可用、表示，建立、与参数的关系，解决本题的第二个关键点在于由，发现为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值，考查计算能力，属于难题.
6．B
【解析】
【分析】
先求出与的夹角，在直角坐标系中用坐标表示、且设，有= 2x，结合用坐标表示数量积，可得到方程，根据方程有解求x范围即可求得的最大值
【详解】
∵，若与的夹角为知
∴， 令，设
而= 2x，故求它的最大值即是求x的最大值
故，，又即
∴，即
方程有解：
解得：
∴的最大值为
故选：B
【点睛】
本题考查了应用坐标表示向量的数量积求最值，根据数量积的坐标公式，结合一元二次方程有解求参数范围，进而求最大值
7．C
【解析】
【分析】
根据条件，t +(1-t)=1，可知：若起点相同，则其终点共线，采取数形结合法进行解决.
【详解】
如图，，，则，则，因为，其中t +(1-t)=1，于是与共起点，且终点共线，即在直线AB上，于是时（即）最小，最小值为1，无最大值.
故选：C.
8．B
【解析】
【分析】
根据题意，可得，，，即当时，一次，变换将逆时针旋转1弧度，再将所得向量的长度再伸长为原来的倍得到向量．因此当时，运用矩阵变换公式，算出逆时针旋转1弧度所得向量，从而得到，，，所以．接下来再对、、、各项在时的情况进行计算，对照所得结果可得只有项是正确的选项
【详解】
根据题意，，
一次，变换就是将向量逆时针旋转1弧度，再将长度伸长为原来的倍，
即由逆时针旋转1弧度而得，且
设向量逆时针旋转1弧度，所得的向量为，则有，
，即向量逆时针旋转1弧度，
得到向量，再将的模长度伸长为原来的倍，
得到，，
因此当时，，，，即，由此可得
对于，当时，与计算结果不相等，故不正确；
对于，当时，与计算结果相等，故正确；
对于，当时，与计算结果不相等，故不正确；
对于，当时，与计算结果不相等，故不正确
故选：B
【点睛】
本题考查了向量的线性运算，用矩阵解决向量的旋转问题和数列的通项公式，属于中档题
9．B
【解析】
【分析】
根据和三点共线，可得和，利用平面向量线性运算可用表示出，由此可得方程组求得，进而得到的值.
【详解】
连接，，
三点共线，可设，则，
；
三点共线，可设，则，
；
，解得：，，即.
故选：B.
【点睛】
思路点睛：本题考查平面向量基本定理的应用，基本思路是根据为两线段交点，利用两次三点共线，结合平面向量基本定理构造出方程组求得结果.
10．D
【解析】
确定点为外心，代入化简得到，，再根据计算得到答案.
【详解】
由可知，点为外心，
则，，又，
所以①
因为，②
联立方程①②可得，，，因为，
所以，即．
故选：
【点睛】
本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力.
11．B
【解析】
作出图形，根据向量共线定理及几何意义确定点所形成的平面区域，即可求出面积.
【详解】
由题：,作，与线段交于，设，如图：
，，所以点在图形内部区域，
根据平面向量共线定理有，
，所以，
，即，
即，，所以点所在区域为梯形区域，
其面积
故选：B
【点睛】
此题考查平面向量的综合应用，涉及共线定理，线性运算，综合性比较强.
12．D
【解析】
【分析】
假设甲为假，则丙为真，利用面积的关系得到，利用向量的加减法得到，矛盾，判断出甲正确；
甲为真，推导出，得到丙真；
过Q作QN//AB交CP于N，由是的中点，利用平行线分线段成比例定理得到边长的关系，证明出，即可得到和，可判断出乙正确；
由，得到，可判断出不成立，故丁不正确.
【详解】
假设甲为假，其余为真，
所以丙为真.
由丙：知，.
因为,而,
所以，
这与甲为假矛盾，所以甲为真；
同理，甲：为真时，即，所以，
所以，所以，即丙为真.
甲：为真时，有.
过Q作QN//AB交CP于N，由是的中点，得到,.
而，所以,所以.
因为QN//AB，所以,
又，所以，所以，
因为，，所以，故乙正确；
由得到，故丁错误.
故选：D
【点睛】
在几何图形中进行向量运算:
(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；
(2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.
13．
【解析】
【分析】
利用平面向量的加法的几何意义，分，0，分别研究区域面积，然后求和即得.
【详解】
由已知得，，
当时，由得，
所以，
设，
由，可得，
又∵，∴，
∴，
且，
∴P所在的区域为三角形ABC及其内部，面积为；
当时，由得，
所以，
设，
由，可得，
又∵，∴，
∴，
且，
∴P所在的区域为如图所示的阴影部分（其中是关于原点的对称点），面积为；
综上所述，P点所在的区域的面积为.
故答案为：.
14．.
【解析】
【分析】
设 ，则
=，问题转化为点到点A(x,y)的距离和到点D（0,2）的距离之和最小，利用动点轨迹得几何意义求解即可！
【详解】
设
则
=
问题转化为点到点A(x,y)的距离和到点D（0,2）的距离之和最小，
点在曲线x+y=5（0点A(x,y)在圆上运动，
所以|PD|+|PA||PD|+|PO|-r=|PD|+|PO|-3
设点O关于直线x+y=5（0所以|PD|+|PO|
所以|PD|+|PA| .
故答案为:
【点睛】
将平面向量与不等式运算转化为点到点A(x,y)的距离和到点D（0,2）的距离问题．
15．
【解析】
根据几何关系，设点的坐标，点在单位圆上，故，当三点共线时，即点在处时，取最小值，以及数形结合分析出最大值，计算得到答案.
【详解】
因为，所以，设，，， ，
即，点在单位圆上，
因为 ，
设，
即，故，
所以 ，
如图，（1）当三点共线，即点在处时，取最小值.
因为，所以，
（2）当位于处时，取最大值，，
因为，
即 ，
所以，当且仅当取等号，
综上，.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题考查向量模的最值问题，主要考查转化分析，数形结合分析，属于中档题型，本题的关键是根据根据条件设出定点和动点的坐标，根据数形结合分析，转化为点位置讨论的问题.
16．
【解析】
【分析】
把向量和拆成以为基底，可得，再由均值不等式可求得最小值．
【详解】
由于是等腰梯形，所以AB=2,=
=（）
当且仅当等号成立，所以填．
【点睛】
本题考查的是利用平面向量基本定理把向量数量积用基底表示，数量积转化为关于的函数，再利用均值不等式求得最值，选择合适的基底是此类题的关键，再把其它向量都用基底表示．
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