高中数学(创新导学）必修第二册6.4平面向量的应用A卷（word版含解析）

高中数学(创新导学）必修第二册
6.4平面向量的应用A卷
一、单选题
1．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形
2．某烟花厂按以下方案测试一种“烟花”的垂直弹射高度：在C处（点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点）进行该烟花的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距30米，∠BAC＝60°，其中B到C的距离为70米.在A地测得C处的俯角为∠OAC＝15°，最高点H的仰角为∠HAO＝30°，则该烟花的垂直弹射高度CH约为（参考数据：≈2.446）（ ）
A．40米 B．56米 C．65米 D．113米
3．在中，，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
4．已知中，，，垂足为，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．设的三个内角满足，又，则这个三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
6．如图，在中，是线段上一点，且，记，，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知是内部（不含边界）一点，若，，则（ ）
A． B． C． D．1
8．已知，，分别是三个内角，，的对边，，则一定是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
9．如图，悬崖的右侧有一条河，左侧一点与河对岸，点、悬崖底部点在同一直线上，一架带有照相机功能的无人机从点沿直线飞行200米到达悬崖顶部点后，然后再飞到点的正上方垂直飞行对线段拍照．其中从处看悬崖顶部的仰角为60°，，米，当无人机在点处获得最佳拍照角度时（即最大），该无人机离底面的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．200米
10．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且BC边上的高为，则角A的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．圣·索菲亚教堂（SaintSophiaCathedral）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，被列为第四批全国重点文物保护单位，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美.如图，小宇为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为：12m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（取）（ ）
A．42.5m B．45m C．51m D．56.4m
12．在中，角，，所对边的长分别为，，.若，则（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
13．在中，已知，，，则______．
14．某同学制作一种扇形模型如图，已知扇形的圆心角为120°，DC与OA平行，且，扇形半径为，则CD的长为___________.
15．已知为的外心，且，则________.
16．在△ABC中，角A的平分线交BC边于D点，且sinC=2sinB，AD=BD=4，则AC=___________.
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参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
利用余弦定理，结合，可得，，即得解
【详解】
由题意，在中，
故，代入
可得，即
又，故
故的形状为正三角形
故选：C
2．C
【解析】
【分析】
通过余弦定理求出AC，进而求出CH,OH，然后得到CH，最后通过辅助角公式化简求出答案.
【详解】
在中，由余弦定理：.
因为，所以，
又因为，所以，
于是，.
故选：C.
3．D
【解析】
【分析】
在中，，由余弦定理知，，两式相加，利用基本不等式及正弦函数的有界性即可判断出该的形状．
【详解】
在中，，
又由余弦定理知，，
两式相加得：，
（当且仅当时取“” ，又，
（当且仅当时成立），为的内角，
，，又，
的形状为等边△．
故选：．
4．A
【解析】
【分析】
过分别作、的平行线交于、交于，分析可知四边形为菱形，且有，求得线段、的长，利用余弦定理可求得结果.
【详解】
如图，过分别作、的平行线交于、交于，则.
，，，
所以，，，
，，故，
所以，四边形为菱形，
因为，则，
.
，与重合，则，
所以，，
故选：A.
5．B
【解析】
【分析】
根据给定条件可得，再利用正弦定理角化边，借助余弦定理计算判断作答.
【详解】
因的三个内角，而，则，
又，由正弦定理得：，
由余弦定理得：，整理得，即，是等腰三角形，
所以是等边三角形.
故选：B
6．B
【解析】
【分析】
设，则，由正弦定理列关系式，由此可求.
【详解】
设，则，
在中由正弦定理可得，
在中由正弦定理可得，
∴ ，又，，
∴ ，
故选：B.
7．A
【解析】
【分析】
根据向量共线可得,,化简可得，
转化为，根据，再利用三角形的面积表示出来即可得解.
【详解】
如图，连接AD并延长交BC与点M,
设点B到直线AD的距离为,点C到直线AD的距离为,
因为，
所以设，
因为AM与向量AD共线，
设,,
所以，
即，
,
所以
故选：A
8．D
【解析】
【分析】
利用正弦定理把化为：，根据的单调性即可判断.
【详解】
在三角形ABC中，根据正弦定理，可化为：
，即.
因为在上为增函数，
所以A=B=C.
所以一定是等边三角形.
故选：D
9．C
【解析】
【分析】
结合正弦定理求出，利用余弦定理求出，然后分别求得，进而表示出，然后结合两角差的正切公式即可得到与的关系式，进而借助均值不等式即可求出结果.
【详解】
在中，由正弦定理得，所以．再由余弦定理得，解得．又，所以．设该无人机离底面的高度为米，，
则，当且仅当时等号成立，此时无人机拍摄角度最佳．
故选：C.
10．C
【解析】
【分析】
用两种方法表示出，从而得到，再根据余弦定理，得到，消去后利用辅助角公式得到，再利用基本不等式求出的取值范围，进而求出角A的取值范围.
【详解】
∵BC边上的高为，∴
由面积公式得：，
∴，故
由余弦定理得：
∴
由辅助角公式得：
∴
其中，当且仅当时，等号成立
∴
，解得：
∵
∴
故选：C
11．D
【解析】
【分析】
在中，求得，由正弦定理得到，再在中，可得，即可求解.
【详解】
如图所示，在中，，
在中，，，
所以，
由正弦定理，可得，
又由，
在中，可得.
故选：D.
12．B
【解析】
【分析】
运用正弦定理化简题中的边角关系，得三边之间的关系，再根据余弦定理求得A的余弦值，最后根据正弦函数的倍角公式计算代数式的值.
【详解】
因为，
所以，
由正弦定理得，得，
由余弦定理得，因为为三角形的内角，
所以，
则.选项B正确.
故选：B.
13．或##或
【解析】
【分析】
在中，由正弦定理求得的值，即可得角，再由三角形的内角和可得角，利用直角三角形的性质和等腰三角形的性质即可得边的值.
【详解】
在中，由正弦定理可得即，
所以，可得或，
所以或，
当时，，所以，
当时，，
所以或.
故答案为：或.
14．4
【解析】
【分析】
中，由正弦定理，先求得，再由两角差的正弦公式求得，然后可得．
【详解】
连接，则，设，，，
中，，
所以，，
或，
时，
，
同理时，不合题意．
，
故答案为：4．
15．##
【解析】
【分析】
根据向量共线以及余弦定理、诱导公式求得正确答案.
【详解】
设圆为三角形的外接圆，半径为，
由于，
所以，.
设，则，
在三角形中，由余弦定理得.
故答案为：.
16．
【解析】
【分析】
首先根据正弦定理求出；然后利用角平分线的性质求出；最后在和内分别应用余弦定理即可求出答案.
【详解】
因为sinC=2sinB，所以由正弦定理，得，
因为角A的平分线交BC边于D点，且BD=4，
所以，即，所以，
因为，所以，
在和内分别应用余弦定理，得，
即，解得.
故答案为：.
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