高中数学(创新导学）必修第二册6.4平面向量的应用B卷（word版含解析）

高中数学(创新导学）必修第二册
6.4平面向量的应用B卷
一、单选题
1．在中，角的对边分别为，已知，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．若是垂心，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．半径为1的扇形AOB中，∠AOB=120°，C为弧上的动点，已知，记，则（ ）
A．若m+n=3，则M的最小值为3
B．若m+n=3，则有唯一C点使M取最小值
C．若m·n=3，则M的最小值为3
D．若m·n=3，则有唯一C点使M取最小值
4．在中，，的中点为，若长度为3的线段（在的左侧）在直线上移动，则的最小值为
A． B．
C． D．
5．在一座尖塔的正南方地面某点，测得塔顶的仰角为，又在此尖塔正东方地面某点，测得塔顶的仰角为，且，两点距离为，在线段上的点处测得塔顶的仰角为最大，则点到塔底的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．设O为△ABC所在平面内一点，满足273，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为（ ）
A．6 B． C． D．4
7．在中，是角的对边，已知，则以下判断错误的是（ ）
A．的外接圆面积是；
B．；
C．可能等于14；
D．作关于的对称点，则的最大值是.
8．已知点O是内一点，满足，，则实数m为（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
9．在中，分别是的中点，且，若恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．中，若，，点满足，直线与直线相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
11．为平面外任一点，且，点为点在平面内的射影，点为线段的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在中，，，点为边上的一动点，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
13．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角且，则的面积的最大值为_____________.
14．已知为单位向量，向量满足，，若，则的取值范围是_______．
15．正方形的边长为2，，分别为，的中点，点是以为圆心，为半径的圆上的动点，点在正方形的边上运动，则的最小值是______.
16．在中，已知，，，点P满足，其中，的最小值为______.
试卷第页，共页
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参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
利用三角形边角关系，将转化为关于边的方程，解得边，进而由三角形的面积公式，直接求出面积即可.
【详解】
如图，过作,交的延长线于，因为，则,，，
所以
又因为
所以，即，解得：或（舍）
所以.
故选：B.
2．D
【解析】
【分析】
利用垂心的性质，连接并延长交于，得到，把已知条件中的式子化简，得到，再两边同乘以，利用数量积、正弦定理进行整理化简，得到，再把化为，整理后得到值.
【详解】
在中，，
由，
得，
连接并延长交于，
因为是的垂心，所以，，
所以
同乘以得，
因为，所以
由正弦定理可得
又，所以有，
而，
所以，
所以得到，
而，所以得到，
故选：D.
【点睛】
本题考查了平面向量线性运算、数量积、正弦定理、两角差的余弦公式、诱导公式、三角形垂心性质等知识综合运用，采用数形结合的思想方法．属于难题．
3．A
【解析】
【分析】
设，以为原点，以、与所在直线垂直的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，把转化为关于的表达式，可解决此题．
【详解】
：设，如图：
以为原点，以、与所在直线垂直的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，则，，，，
，，
．
①若，取，，则，
，，，，
,，此时，、两点重合，所以正确；
取，，则，
当时取最小值，此时、两点重合，所以点不唯一，故B错误；
②若，取，则
，
当时，，故C错误；
取，时，则，
当时，取最小值，点不唯一，故D错误.
故选：A．
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算的意义和模的意义，涉及与圆有关的最值问题，关键是题目中的参数较多，故而应当想到直接解决困难较大，应用特值排除的方法解决较为方便，这是在解决一些选择题是常常需要用到的思想方法.
4．B
【解析】
【分析】
先根据正弦定理求得，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据对称性和两点间的距离公式，求得所求的最小值.
【详解】
由正弦定理可得,,
以BC所在直线为轴，则,
则表示轴上的点P与A和的距离和，
利用对称性，关于轴的对称点为，
可得的最小值为=.
【点睛】
本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查距离和的最小值的求法，考查坐标法，属于中档题.
5．A
【解析】
【分析】
作出图示，根据正切的二倍角公式和解直角三角形求得塔的高度，再运用等面积法可求得选项.
【详解】
如下图所示，设，则，，
则，解得，
，解得，
所以，解得，
所以，，
要使点处测得塔顶的仰角为最大，则需最大，也即需最小，所以，
又，即，
所以点到塔底的距离为，
故选：A.
【点睛】
关键点睛：本题考查立体图形的计算实际运用，关键在于依据已知作出图形，明确已知条件中的数据在图形中的表示，再运用解三角形的知识得以解决.
6．D
【解析】
【分析】
先设，于是得到点O是△A1B1C1的重心，则k，再结合三角形面积公式即可求出△ABC的面积与△BOC的面积，进而得到答案.
【详解】
不妨设，如图所示，
根据题意则，
即点O是△A1B1C1的重心，所以有k，
又因为，
那么，
，
故△ABC的面积与△BOC的面积的比值为.
故选：D
【点睛】
关键点点睛：根据重心的性质可得k，再由三角形面积公式可得，即，同理可得其他三角形面积，再利用即可求解，属于难题.
7．D
【解析】
【分析】
对A：利用正弦定理可求得的外接圆半径，即可求解的外接圆面积；对B：利用余弦定理角化边，即可求解；对C：利用正弦定理边化角，再结合两角和差的正弦公式，即可求解；对D：利用三角形面积公式和余弦定理，及均值不等式，即可求解．
【详解】
解：对A：，，
由正弦定理可得，即的外接圆半径，
的外接圆面积是，故选项正确；
对B：由余弦定理可得，故选项正确；
对C：由正弦定理可得，，
，故选项正确；
对D：设关于的对称点我，到的距离为，
，即，
又由余弦定理可得，当且仅当时等号成立，
所以，即，
所以的最大值是，故选项错误．
故选：D．
8．D
【解析】
【分析】
将已知向量关系变为：，可得到且共线；由和反向共线，可构造关于的方程，求解得到结果.
【详解】
由得：
设，则 三点共线
如下图所示：
与反向共线
本题正确选项：
【点睛】
本题考查向量的线性运算性质及向量的几何意义，关键是通过向量线性运算关系得到三点共线的结果，从而得到向量模长之间的关系.
9．B
【解析】
【分析】
根据题意画出相应的图形，要求的最小值，即要求出的最大值，由的关系，用表示出，由分别是的中点，在中，利用余弦定理表示出，在中，利用余弦定理表示出，并表示出，开方并分离出常数，由为三角形的内角，得到的范围，进而由三角函数的性质可得答案
【详解】
解：因为，所以,
因为分别是的中点，所以，
在中，由余弦定理得，
，
在中，由余弦定理得，
所以
所以，
因为当取得最小值时，比值最大，
所以当时，，此时达到最大值，为 ，
则若恒成立，的最小值为，
故选：B
【点睛】
关键点点睛：此题考查余弦定理、余弦函数的定义域与值域，以及不等式恒成立时满足的条件，余弦定理建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解题的关键，考查计算能力，属于较难题
10．A
【解析】
【分析】
本题首先可构建直角坐标系，根据题意得出、、，然后根据、、三点共线以及、、三点共线得出，再然后根据向量的运算法则得出、，最后根据即可得出结果.
【详解】
如图所示，以点为原点，为轴构建直角坐标系，
因为，，所以，，，
设，
因为、、三点共线，所以，，，
因为，、、三点共线，所以，
联立，解得，，，
因为，，所以，，
因为，
所以，
故选：A.
【点睛】
方法点睛：本题考查向量的几何应用，可借助平面直角坐标系进行解题，考查应用向量的数量积公式求夹角，考查向量共线的相关性质，体现了数形结合思想，是难题.
11．A
【解析】
【分析】
，故点为的外心，根据向量运算得到，解得答案.
【详解】
，故点为的外心.
.
故.
故选：.
【点睛】
本题考查了向量的运算，确定点为的外心是解题的关键.
12．C
【解析】
作辅助线，利用向量数量积公式，可求得，，再利用向量的三角形法则，将求的最小值，转化为求得最小值，然后分类讨论与O的位置关系，可知在O右侧时，最小，再利用基本不等式求最值.
【详解】
如图所示，作
，，，
可得，即，
利用向量的三角形法则，可知
若与O重合，则
若在O左侧，即在上时,
若在O右侧，即在上时，，显然此时最小，利用基本不等式（当且仅当，即为中点时取等号）
故选：C.
【点睛】
本题考查向量的三角形法则，向量的数量积公式，及利用基本不等式求最值，考查学生的转化能力，数形结合思想，属于中档题.
13．
【解析】
【分析】
对已知条件进行角化边得，结合和余弦定理计算可得，进而可得，再由不等式计算可得，最后利用三角形面积计算公式计算即可得解.
【详解】
由，得：
，整理得：，
又，所以，
所以，解得，
又，即，
又，所以，所以，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查正弦定理和余弦定理的综合应用，考查三角形面积最值的计算，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.
14．
【解析】
【分析】
根据向量的三角不等式确定出的值以及与的方向之间的关系，然后作出向量的图示，根据向量的三角不等式求解出的最小值，再结合余弦定理以及基本不等式求解出的最大值，由此可求的取值范围.
【详解】
因为，且，，
所以，且与反向，
设对应向量，对应向量为，所以对应向量为，
由与反向可知：在线段中间某点处，如下图所示：
因为，所以，
所以，所以，取等号时同向，即在线段上，
当不在线段上时，因为，
又因为，
取等号时，即为中点，
所以，所以，所以，即，
综上可知：.
故答案为：.
【点睛】
结论点睛：向量的三角不等式如下：
（1）；
当且仅当反向时，左边取等号，当且仅当同向时，右边取等号；
（2）；
当且仅当同向时，左边取等号，当且仅当反向时，右边取等号.
15．
【解析】
先将转化为关于的向量表达式,再数形结合分析最值即可.
【详解】
易得,
,
当且仅当同向时取等号.即考虑的最小值即可.
当与重合时, .
当与不重合时,设夹角为,由图易得当在上时取最小值为,当在时, 取最大值为,故,
利用向量模长不等式有
,且两次“” 不能同时取“=”.故此时.
综上所述, 的最小值是.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了向量的综合运用,需要根据题意找到定量关系进行化简再分析.属于难题.
16．
【解析】
【分析】
由已知得,以为原点建立直角坐标系，设利用向量坐标计算，转化为求函数最值可解.
【详解】
，，
,建立如图坐标系.
则设
又，
当 时，
故答案为：
【点睛】
本题考查平面向量的模与几何综合问题. 其坐标求解方法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
试卷第页，共页
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