高中数学(创新导学）必修第二册6.4平面向量的应用C卷（word版含解析）

高中数学(创新导学）必修第二册
6.4平面向量的应用C卷
一、单选题
1．在中，角所对应的边分别为，设的面积为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量与的夹角为，且，向量满足，且，记向量在向量与方向上的投影分别为x y.现有两个结论：①若，则；②的最大值为.则正确的判断是（ ）
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
3．已知外接圆的圆心为O，半径为1.设点O到边，，的距离分别为，，.若，则（ ）
A． B．1 C． D．3
4．如图所示，在平面四边形中，已知，，，记的中垂线与的中垂线交于一点，恰好为的角平分线，则（ ）
A． B． C． D．
5．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知平面向量，且，向量满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．设正数，，满足，，，是以为圆心的单位圆上的个点，且.若是圆所在平面上任意一点，则的最小值是
A．2 B．3 C． D．
8．已知，，，(m，).存在，，对于任意实数m，n，不等式恒成立，则实数T的取值范围为
A． B． C． D．
9．已知，是以为直径的圆上的动点，且，则的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
10．已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是
A． B． C． D．
11．已知共面向量满足且.若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时, 的最大值为 (　　)
A． B． C．8 D．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
12．已知，若存在，使得与夹角为，且，则的最小值为___________.
13．平面向量，，满足，，，则______．
14．已知，均为单位向量，与，共面的向量满足，，则的最大值是__________.
15．△内接于半径为2的圆，三个内角，，的平分线延长后分别交此圆于，，.则的值为_____________.
试卷第页，共页
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参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
由面积公式和余弦定理，基本不等式对进行变形，得到关于的关系式，结合三角函数的有界性，列出关于t的不等式，求出最大值.
【详解】
，，
则设
所以，即
，
故选：A.
【点睛】
三角函数最值问题，要充分使用题干中的条件及一些工具，比如正余弦定理，面积公式，基本不等式等对不等式进行变形，这道题目的难点在于使用了三角函数的有界性，辅助角公式来求解最值.
2．C
【解析】
【分析】
①根据及与的夹角为求出，假设成立，求出与，代入后发现等式不成立，故①错误；②利用向量共线定理可知，点C在线段AB上，再结合，可得：，利用投影公式求出，只需求出最大值，利用面积公式和基本不等式求出最大值为1，进而求出的最大值.
【详解】
由，解得：，当时，，由得：，即，由得：，因为，假设，则可求出，，代入中，等号不成立，故①错误；
设，，，因为，由向量共线定理可知，点C在线段AB上，如图，设，则，因为，所以，即，故在方向的投影等于在方向的投影相等，故点C满足，又，，所以
，其中，而要想保证最大，只需最小，由余弦定理可得：，当且仅当时，等号成立，所以最小值为，所以最大值为，故的最大值为，②正确.
故选：C
【点睛】
向量投影的理解是很重要的，在出题中往往会画出图形来进行思考问题，利用几何法来解决问题，这道题目的突破口就是结合与，可得：点C在线段AB上且，进而得到最小值.
3．B
【解析】
【分析】
根据题意：，则有，进而移项进行两两组合，
，进一步可以化简为：，设出三边的中点，结合图形，探讨三角形的形状，最后得到答案.
【详解】
∵外接圆半径为1，∴，∴，
∴，
∴，设边，，的中点分别为M,N,P，
∴,同理：，如图1：
若点O不与M,N,P任何一点重合，则，同时成立，显然不合题意；
如图2：
不妨设点O与点M重合，由，根据中位线定理有由AB⊥AC，则，
∴.
故选：B.
【点睛】
类似这样的题目，往往需要对式子进行化简，注意发现式子只有三个，组合其中两个则另外一个会被孤立，考虑到外接球半径为1，因此将-1进行代换；在化简式子的过程中尽量结合图形去理解，往往会事半功倍.
4．B
【解析】
【分析】
由题意可知四边形是以为圆心的圆内接四边形，由可得，，则，由可得，从而得，再利用结合余弦定理可得结果
【详解】
由题意可知四边形是以为圆心的圆内接四边形，因为，
所以，，
所以，
又由题目条件可知，，
所以，，
所以，
所以．
故选：B
【点睛】
关键点点睛：此题考查余弦定理的综合应用，考查降幂公式，考查三角形的面积公式的应用，考查圆内接四边形的性质的应用，解题的关键是由得四边形是以为圆心的圆内接四边形，从而有，由可得，再结合已知条件和余弦定理可得结果，考查数形结合的思想和计算能力，属于中档题
5．C
【解析】
【分析】
根据余弦定理和的面积公式，结合题意求出、的值，再用表示，求出的取值范围，即可求出的取值范围．
【详解】
解：在中，由余弦定理得，
且的面积，
由，得，化简得，
又，，联立得，
解得或（舍去），
所以，
因为为锐角三角形，所以，，所以，
所以，所以，所以，
设，其中，所以，
由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，；当时，；
所以，即的取值范围是．
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：由，所以本题的解题关键点是根据已知及求出的取值范围.
6．B
【解析】
【分析】
由题设可得，又，易知，，将问题转化为平面点线距离关系：向量的终点为圆心，2为半径的圆上的点到向量所在射线的距离最短，即可求的最小值.
【详解】
∵，而，
∴，又，即，
∴，，
如上图示，若，则，
∴在以为圆心，2为半径的圆上，若，则，
∴问题转化为求在圆上哪一点时，使最小，又，
∴当且仅当三点共线且时，最小为.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：由已知确定，， 构成等边三角形，即可将问题转化为圆上动点到射线的距离最短问题.
7．B
【解析】
【分析】
根据数量积及建立不等式，即可求出最小值.
【详解】
是以为圆心的单位圆上的个点,
,
故
而，，
，
故，
当且仅当点与点重合时等号成立，
即的最小值是,
故选：B
【点睛】
本题主要考查了数量积的性质，考查了分析推理能力，入手困难，属于难题.
8．A
【解析】
不等式恒成立，即求最小值，利用三角不等式放缩，转化即求最小值，再转化为等边三角形的边的中点和一条直线上动点的距离最小值. 当运动到时且反向时，取得最小值得解.
【详解】
，,易得
设，中点为，中点为
则在单位圆上运动，且三角形是等边三角形,
，所在直线方程为
因为恒成立，
,(当且仅当与共线同向，即与共线反向时等号成立)
即求最小值.
三角形是等边三角形，在单位圆上运动，是中点，
的轨迹是以原点为圆心，半径为的一个圆.
又在直线方程为上运动，
当运动到时且反向时，取得最小值
此时到直线的距离
故选：A
【点睛】
本题考查平面向量与几何综合问题解决向量三角不等式恒成立.
平面向量与几何综合问题的求解坐标法：把问题转化为几何图形的研究，再把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
9．A
【解析】
【分析】
建系，把表示出来，结合辅助角公式及三角函数的有界性，即可求得最大值．
【详解】
解：如图，以圆心为原点，直径所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，设，
∴，
∴
，
设，则，
即的最大值是2.
故选：A.
【点睛】
本题考查平面向量及辅助角公式的综合运用，旨在考查学生的数形结合思想．
10．B
【解析】
根据可知O为的重心；根据点M在内，判断出当M与O重合时，最小；当M与C重合时，的值最大，因不含边界，所以取开区间即可．
【详解】
因为是内一点，且
所以O为的重心
在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时
所以，即
当M与C重合时，最大，此时
所以，即
因为在内且不含边界
所以取开区间，即
所以选B
【点睛】
本题考查了向量在三角形中的线性运算，特殊位置法的应用，属于难题．
11．C
【解析】
【分析】
先固定向量，则向量分别在以(4,0)为圆心，r为半径的圆上的直径两端运动，得知点B的坐标，利用OB=BC，得，然后利用平面向量的几何意义的最小值为，，然后求得答案即可.
【详解】
如图，固定向量，则向量分别在以(4,0)为圆心，r为半径的圆上的直径两端运动，其中 易知点B的坐标
因为
所以OB=BC，即
整理可得 ，所以
而的最小值为，
即
将，当时取最大值，此时
故的最大值为8
故选C
【点睛】
本题主要考查了平面向量与平面几何的综合知识，利用圆的性质，平面向量的几何意义，是一道综合性较强的题目，属于难题.
12．
【解析】
【分析】
设，可得共线，又，当为最小时最小，而此时、关于y轴对称，结合已知即可求的最小值.
【详解】
由题意，，
∴令，，故有共线，
∵，故当且仅当为最小时，最小，
∴有、关于y轴对称时，最小，此时到AB的距离为，
∴，即.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：应用向量的线性关系及共线性质，可知，、、的终点共线，且可分析得、关于y轴对称时，最小，进而求最小值即可.
13．##
【解析】
【分析】
数形结合，利用题干条件及正余弦定理求出答案.
【详解】
可变形为，即，如图，两圆为半径为1的圆，则，从而，设，，，解得：，所以，
在△AOC中，由余弦定理得：，在三角形BAC中，，从而，即，
因为，所以，所以，，在△OBC中，由正弦定理得：，即，
在三角形OAB中，由正弦定理得：，即，，从而，化简得：，解得：，所以，解得：或（舍去），故.
故答案为：
【点睛】
向量相关的压轴题，往往需要数形结合进行求解，作出图象，结合题干条件及解三角形的相关定理进行求解.
14．
【解析】
【分析】
由已知，结合向量数量积的运算律可得，作，，，则，即的轨迹是以为直径的圆上，其半径为2，圆心为，由，得且，记，则，当与圆相切时，最小，即可求的最大值.
【详解】
将两边平方，得，
如图，作，，，则，
∴的轨迹是以为直径的圆上，其半径为2，圆心为，再以为圆心作单位圆，
由，得且，
∴当在圆上运动时，在圆上的轨迹是、，
要使最大，记，则，当与圆相切时最小，
此时，即，
∴的最大值是.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：根据向量的几何性质，作，，，的轨迹是以为直径的圆上，其半径为2，圆心为，再以为圆心作单位圆，在圆上运动时，的在圆上轨迹是、，记，则，当与圆相切时最小，即此时的最大.
15．
【解析】
【分析】
连，由正弦定理得，利用三角形内角和性质得，进而利用积化和差公式、诱导公式得，同理求、，即可求值.
【详解】
连，则，
∴，
同理可得：，.
∴，即.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：应用正弦定理、三角形内角和性质求得，再由积化和差公式、诱导公式求，同理求出、.
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