高中数学(创新导学）必修第二册7.4复数的三角形式A卷（word版含解析）

高中数学(创新导学）必修第二册
7.2复数的三角形式A卷
一、单选题
1．复数，由向量绕原点逆时针方向旋转而得到.则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则的幅角主值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知复数可以写成，这种形式称为复数的三角式，其中叫复数z的辐角，．若复数，其共扼复数为，则下列说法①复数z的虚部为；②；③z与在复平面上对应点关于实轴对称；④复数z的辐角为；其中正确的命题个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（ ）
A． B． C． D．
5．已知复数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．在复平面内，虚数对应的点为，其共轭复数对应的点为，若点与分别在与上，且都不与原点重合，则
A．-16 B．0 C．16 D．32
7．瑞士数学家欧拉被认为是历史上最伟大的数学家之一，他发现了欧拉公式，它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系．特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位1和数字0）联系到了一起，若表示的复数对应的点在第二象限，则可以为（ ）
A． B． C． D．
8．设z1＝1－2i，z2＝1＋i，z3＝－1＋3i则argz1＋argz2＋argz3＝（ ）
A． B．
C． D．
9．已知i为虚数单位，若i，i， ，i，则i.特别地，如果i，那么ii，这就是法国数学家棣莫佛(1667~1754年)创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题正确的是（ ）
A．若i，则i
B．若i，则i
C．若i，i，则i
D．若i，i，则i
10．复数都可以表示，其中为的模，称为的辐角．已知复数满足 ，则的辐角为（ ）
A． B． C． D．
11．设复数z的共轭复数是，i是虚数单位，若复数，，且是实数，则实数t等于（ ）
A． B． C． D．
12．复平面内，向量对应复数的共轭复数为，则对应复数的幅角主值为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
13．÷()=_____.
14．已知复数（i为虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，则_____.
15．已知复数，若（，且），则的最小值为__________．
16．若，且为负实数，则复数__________．
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参考答案：
1．C
【解析】
写出复数的三角形式，绕原点逆时针方向旋转得到复数的三角形式，从而求得的三角形式得解.
【详解】
,,
所以复数在第二象限，设幅角为，
故选：C
【点睛】
在复平面内运用复数的三角形式是求得幅角的关键.
2．D
【解析】
【分析】
运用复数除法得到复数的代数标准式，再利用复数的三角式公式得解
【详解】
设辅角为，则 又
故选：D
3．B
【解析】
【分析】
对于①，的实部为1，虚部为；对于②，直接计算判断即可；对于③，由点的对称关系判断即可；对于④，由辐角的定义求解即可
【详解】
解：对于①，复数的虚部为，所以①错误；
对于②，因为，所以，所以，，所以，所以②错误；
对于③，和在复平面对应的点分别为，两点关于实轴对称，所以③正确；
对于④，，所以复数z的辐角为，所以④正确，
故选：B
4．D
【解析】
根据复数的三角形式求解即可.
【详解】
-i的立方根为（其中）
当时,得；
当时,得；
当时,得,
故选：D
【点睛】
本题主要考查了复数的三角形式的应用,属于中档题.
5．C
【解析】
【分析】
设，根据复数模长运算和三角恒等变换的知识可得到，由此确定最大值.
【详解】
由可设：，，
（其中），
当时，.
故选：.
【点睛】
本题考查复数模长最值的求解问题，关键是能够将问题转化为三角函数最值的求解问题.
6．B
【解析】
【分析】
先求出，，再利用平面向量的数量积求解.
【详解】
∵在复平面内，与对应的点关于轴对称，
∴对应的点是与的交点.
由得或（舍），即，
则，，，
∴.
故选B
【点睛】
本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
7．B
【解析】
【分析】
将选项中所给的角逐一带入，由欧拉公式把复数化为三角形式，再化为代数形式，即可判断复数在复平面内对应的点在第几象限，从而得到结果.
【详解】
得，
当时，，复数对应的点在第一象限；
当时，，复数对应的点在第二象限；
当时，，复数对应的点在轴上；
当时，，复数对应的点在第四象限；
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：该题考查的是有关数学文化类问题，正确解题的关键是理解欧拉公式，并能将复数三角形式熟练化为代数形式，确定出复数在复平面内对应的点.
8．C
【解析】
【分析】
根据复数辐角主值的范围，结合复数的性质，先求z1·z2·z3，从而求得其辐角主值，进而求得结果.
【详解】
∵z1·z2·z3＝(1－2i)(1＋i)(－1＋3i)
＝(3－i)(－1＋3i)＝10i，
∴argz1＋argz2＋argz3＝＋2kπ，k∈Z.
∵argz1∈，argz2∈，argz3∈，
∴argz1＋argz2＋argz3∈.
∴argz1＋argz2＋argz3＝.
【点睛】
该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有多个复数辐角主值和的求解，属于简单题目.
9．A
【解析】
【分析】
A. ii，所以该选项正确；
B. i，所以该选项错误；
C. i，所以该选项错误；
D. ii.所以该选项错误.
【详解】
A. 若i，则ii，所以该选项正确；
B. 若i，则i，所以该选项错误；
C. 若i，i，则i，所以该选项错误；
D. i，i，则ii.所以该选项错误.
故选：A
10．C
【解析】
【分析】
根据题意，先求出复数，再结合，即可求出.
【详解】
由得，
故，
所以.
故选C．
11．A
【解析】
利用共轭复数、复数的乘法运算法则，是实数，虚部为0求解即可.
【详解】
解：，，
.
又.
，
.
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的基本知识，复数概念的应用，属于基础题.
12．D
【解析】
【分析】
由已知得到向量对应复数，并求出的模，再表示成的形式，再由辐角主值的正弦和余弦值，求出在范围的辐角主值．
【详解】
因为复数的共轭复数为，即向量对应的复数为，
，，则的幅角主值为
即对应复数的幅角主值为
故选：D
【点睛】
方法点睛：本题考查了复数的基本概念，先求共轭复数，再根据辐角主值的概念求出，是基础题．
13．
【解析】
【分析】
先复数化成三角形式，再利用乘方和除法运算，即可得到答案；
【详解】
解：原式
，
故答案为：
14．1
【解析】
的共轭复数是实系数一元二次方程的一个根，利用一元二次方程的根与系数的关系求、.
【详解】
解:因为是实系数一元二次方程的一个根，
所以是实系数一元二次方程的一个根，
所以，，
因此.
故答案为：1.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题.
15．7
【解析】
【分析】
根据复数的三角表示及三角形式下的乘方求得，然后根据的范围求得最小值.
【详解】
复数，若
则，
则，，且
故的最小值为7，
故答案为：7.
16．或或
【解析】
【分析】
根据，设，然后化简整理，得到，然后根据复数的类型求出，进而可以求出复数.
【详解】
因为，所以设，
所以
又因为为负实数，所以，
当时，或，
因为符合题意，
不符合题意，舍去，
所以，此时；
当时，则，或，
因为符合题意，
符合题意，
所以时，；
时，，
综上：或或，
故答案为：或或.
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