高中数学(创新导学）必修第二册第七章复数章末检测（word版含解析）

高中数学(创新导学）必修第二册
复数章末检测
一、单选题
1．若复数（，为虚数单位）满足，其中为的共扼复数，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
2．已知i是虚数单位，复数z=（1+bi）（2+i）的虚部为3，则复数z的共轭复数为（ ）
A．-1+3i B．1-3i C．-3+3i D．3-3i
3．如果复数（其中为虚数单位，为实数）为纯虚数，那么（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
4．复数，，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知i是虚数单位，为复数，2+=(3+i)，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．已知复数（为虚数单位），则（ ）
A．i B． C． D．1
7．对于任意复数z和其共轭复数，下列叙述错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．若方程有两个虚根，且，则实数m的值为（ ）
A． B． C．2 D．
9．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式
（e是自然对数的底，i是虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被普为“数学中的天桥”.下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．是虚数单位，复数，则在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
12．已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）
A．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为圆.
B．复数的虚部为.
C．若，则复平面内对应的点位于第二象限.
D．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
13．已知p、q都是实数，i是关于的方程的一个根，则的值为____________
14．已知复数（i为虚数单位，），若z为纯虚数，则实数a的值为______．
15．在复平面内，复数对应点，复数对应点，把向量绕点顺时针旋转得到向量，则点P对应的复数是______．
16．设复数在复平面上对应的向量为，将绕原点逆时针旋转个角后得到向量，向量所对应的复数为，若，则自然数的最小数值为___________
三、解答题
17．已知复数，求实数a，b，使．
18．已知复数满足.
（1）若是实数，求复数；
（2）求的取值范围.
19．在复平面内点A对应的复数为2，点B对应的复数z满足，且，是以为斜边的等腰直角三角形．求点C到原点距离的最大值及此时点B对应的复数．
20．设复数，当取何实数时：
(1)复数z为纯虚数；
(2)在复平面上表示z的点位于第三象限；
(3)表示z的点在直线上．
21．复数：.
（1）当时，求，；
（2）当时，若，求正整数n的最小值.
22．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
试卷第页，共页
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参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
先求出，得到，即可求出的值.
【详解】
因为，所以，所以，解得：，
所以.
.
故选：D
2．B
【解析】
【分析】
根据复数的乘法计算z=（1+bi）（2+i），再根据虚部求出b, 即可得出复数z的共轭复数.
【详解】
，解得，
，
，
故选：B
3．A
【解析】
【分析】
根据给定条件利用复数的除法运算化简复数，再结合复数的分类即可作答.
【详解】
，因复数为纯虚数，
于是得且，解得，
所以.
故选：A
4．D
【解析】
【分析】
结合复数的除法运算求出，进而结合复数的模长公式即可求出结果.
【详解】
因为
所以
，
故选：D.
5．D
【解析】
【分析】
先求出复数，即得解.
【详解】
，复平面内对应的点为，
故选：.
6．B
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算求解即可.
【详解】
因为，
所以，
故选：B
7．A
【解析】
【分析】
设，逐一写出各选项中的表达式，判断是否正确
【详解】
设，则.
A选项中，，所以，故A错误
B选项中，，所以，故B正确
C选项中，，所以，故C正确
D选项中，
，所以
，故D正确
故选：A
8．A
【解析】
【分析】
根据给定条件可得与互为共轭复数，设，可得，再将或代入方程，经计算整理借助复数为0即可得解.
【详解】
因方程有两个虚根，则与互为共轭复数，设，有，
由得，解得，
把代入得：，整理得，
而，于是得，且，解得，，若，同理得，，
所以实数m的值为.
故选：A
9．C
【解析】
【分析】
根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项.
【详解】
对于A，当时，因为，所以，故不一定成立，选项A错误；
对于B，，所以B错误；
对于C，由，，所以,得出,选项C正确；
对于D，由C选项的分析得，得出，选项D错误.
故选：C.
10．A
【解析】
【分析】
由题知，再根据几何意义求解即可得答案.
【详解】
解：因为，
所以在复平面内对应的点坐标为，为第一象限.
故选：A
11．D
【解析】
【分析】
先求得复数，求出在复平面内对应的点的坐标得答案.
【详解】
解：，
，
在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限角.
故选：D
12．D
【解析】
【分析】
对于A：由减法的几何意义判断出的轨迹是线段的垂直平分线，故A选项不正确；
对于B：利用复数的定义直接判断；
对于C：利用复数的几何意义直接判断；
对于D：直接计算可得.
【详解】
对于A：表示到和两点的距离相等，故的轨迹是线段的垂直平分线，故A选项不正确.
对于B：的虚部为，故B选项错误.
对于C：，对应坐标为在第三象限，故C选项错误.
对于D：，故D选项正确.
故选：D
13．18
【解析】
【分析】
由题得i+(i)=，(i)(i)=,即得解.
【详解】
由题得i是关于的方程的另外一个根，
所以i+(i)=，(i)(i)=,
所以.
所以.
故答案为：
14． 12## 0.5
【解析】
【分析】
将化简的形式，为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，由此可求得结果.
【详解】
由为纯虚数，可知
故答案为：
15．
【解析】
【分析】
求出向量对应的复数，再由复数乘法的几何意义求得向量对应的复数，最后由复数加法的几何意义即可求得答案.
【详解】
解：由题意知向量对应的复数是，
再由复数乘法的几何意义得，
向量对应的复数是，
最后由复数加法的几何意义得，向量，
其对应的复数是，
所以点P对应的复数是.
故答案为：.
16．
【解析】
【分析】
将复数表示为三角的形式，可得出的三角表示，根据可得出关于的表达式，进而可求得自然数的最小值.
【详解】
因为，
将绕原点逆时针旋转个角后得到向量，向量所对应的复数为，
则，
因为，所以，，所以，，
所以，，当时，取得最小值.
故答案为：.
17．或，．
【解析】
【分析】
把所给复数代入条件中的等式两边，进行运算整理，再借助复数相等建立方程组即可计算作答.
【详解】
因，则，
，
依题意得：，而a，b都是实数，
于是得，解得或，
所以所求实数为或，．
18．（1）复数或；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用实数概念及模长，即可得到复数；
（2）利用点与圆的位置关系，即可得到取值范围.
【详解】
（1）设i ，、，则，
又是实数，
∴，又，
∴或，
∴复数或；
（2）
表示复数对应的点与对应的点间的距离，
而复数在以原点为圆心，半径为5的圆上，
如图所示，
，
∴.
19．最大值为，此时点B对应的复数为
【解析】
【分析】
设点B对应的复数是，可得对应的复数为，再利用复数相乘和相除的几何意义可得对应的复数为或，利用向量的加法运算可得对应的复数为或，取模求最值，即可得到答案；
【详解】
解：设点B对应的复数是，则对应的复数为．
因为为等腰直角三角形，
所以对应的复数为或．
所以对应的复数为或．
所以或，
当时，取得最大值．
所以点C到原点距离的最大值为，此时点B对应的复数为．
20．(1)复数不可能为纯虚数
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）由实部等于0，虚部不等于0可得；
（2）由实部小于0，虚部小于0可得；
（3）用实部代入，用虚部代入求解可得．
(1)
由为纯虚数，则该组条件无解，所以复数不可能为纯虚数；
(2)
由表示的点位于第三象限，则解得；
(3)
由表示的点在直线上，则，解得．
21．（1），；（2）10.
【解析】
【分析】
(1)利用复数的除法运算化简计算复数z，再结合复数模及辐角主值的意义计算即得；
(2)利用复数的三角形式的乘方法则计算，再由给定条件推理即得.
【详解】
(1)，
于是得，而，且，则，
所以，；
(2)由(1)知：，
因，，于是得，则，即，，
所以正整数n的最小值为10.
22．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【解析】
【分析】
通过移项，相除，分数的分子分母同时乘以共轭复数，计算可以得到答案.
(1)
解：，故，
(2)
解：，故；
(3)
解：，故.
(4)
解：，故.
(5)
解：因为，所以，
所以.
(6)
解：因为，，所以.
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