山东省济宁市梁山一中2012-2013学年高二上学期期中考试 数学理

梁山一中2012-2013学年高二上学期期中质量检测
数学（理）
选择题（共12小题，每小题5分，共计60分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）
1．若命题p为真命题，则下列说法中，一定正确的是 ( )
A． p的逆命题为真命题 B．p为真命题
C． p的否命题为假命题 D．p为假命题
2．双曲线的焦点坐标是 ( )
A． (-6，0)，(6，0) B． (，0)，(，0)
C． (-2，0)，(2，0) D． (，0)，(，0)
3．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若， 则 ( )
A．+－ B．－+ C．－++ D．－+－
4．设抛物线焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为4，则|PF|等于 ( )
A． 2 B． 4 C．6 D． 8
5.若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则= （ ）
A． B． C． D．
6．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是 （ ）
A． B． C． D．
7．如图，在三棱锥A—BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB=DC=2，点E为BC的中点，若直线AE与底面BCD所成的角为45O，则三棱锥A—BCD的体积等于 ( )
A． B． C．2 D．
8．抛物线上两点、关于直线对称，且，则等于（ ） A． B． C． D．
9.已知
① ②
③ ④
其中正确命题的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10. 在平面直角坐标系中，分别为椭圆的左、右焦点，
B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆的另一个交点为D，
若， 则直线CD的斜率为 （ ）
A. B. C D.
11.设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（ ）．
A. B. C. D.
12.如图，平面⊥平面，为正方形，，且分别是线段的中点.
则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：（每小题5分，共20分）
13．已知向量，若，则______；若则
______。
14. 曲线在点处的切线方程为
15. 已知焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为　　　　　
16．有下列命题：
①设集合M = {x | 0< x ≤3},N = {x | 0< x ≤2},则“a∈M”是“a∈N”的充分而不必要条件；
②命题“若，则”的逆否命题是：若；
③若是假命题，则都是假命题；
④命题P：“”的否定：“”
则上述命题中为真命题的有 （填序号）
三、解答题（本大题共6小题,共70分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. (本小题满分10分)
如图，四边形是圆柱的轴截面. 是圆柱的一条母线，已知, ，.
（1）求证：⊥；
（2）求圆柱的侧面积.
18．（本题满分12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA＝AB＝4， G为PD中点，E点在AB上,平面PEC⊥平面PDC.
（1）求证：AG⊥平面PCD；
（2）求证：AG∥平面PEC；
（3）求直线AC与平面PCD所成角.
19.（本题满分12分）
已知动点与两定点连线的斜率之积等于常数.
(1) 求动点P的轨迹C的方程；
(2) 试根据的取值情况讨论轨迹C的形状.
20. (本小题满分12分)
已知半径为的圆的圆心在轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）试讨论直线（）与该圆的位置关系；
（3） 对于（2）中的直线，是否存在实数，使得直线与圆交于，两点，且弦的垂直平分线过点，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
21.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，是正方形，平面，， 分别是的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）在线段上确定一点，使平面，并给出证明；
（3）证明平面平面，并求点到平面的距离.
22. （本小题满分12分）
已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点P，交抛物线于A，B两点，其中点A在第一象限．
(1)求证：以线段FA为直径的圆与y轴相切；
(2)若＝λ1，＝λ2，∈，求λ2的取值范围
参考答案：
1.D 2.B 3.D 4.C 5.C 6.B 7.D 8.A 9.A 10.B 11.C 12.D
13. 5; -4 14. 15. 16.②④
17. 解：（1） 证明：依题意： ;
∵ ，∴ ，
又 ∵ ，∴ ,
∵ ，∴ .
（2） 在中，，，
∴ , .
18. （1）证明：∵CD⊥AD，CD⊥PA
∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥AG，
又PD⊥AG
∴AG⊥平面PCD
（2）证明：作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD
∴EF⊥平面PCD，又由（Ⅰ）知AG⊥平面PCD
∴EF∥AG，又AG 面PEC，EF 面PEC，
∴AG∥平面PEC
（3）连接CG
19. （1）由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零
所以
整理得（λ≠0，x≠±1）
（2）①当时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线（除去顶点）
②当时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆（除去长轴
两个端点）
③当时，轨迹C为以原点为圆心，1的半径的圆除去点(－1，0)，(1，0)
④当时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆（除去短轴的两个
端点）
20. 解：（1） 设圆心，0）， ，
依题意：， 得：（舍去），
∴ 圆的标准方程为：.
（2） 设圆心到直线的距离为， 则 ，
① 若 ， 即 时，，直线与圆相离；② 若 ， 即 时，，直线与圆相切；
③ 若 ， 即 时，，直线与圆相交.
∴ 当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；
当时，直线与圆相交.
（3） 易知直线过点（1，0）， ∴ ；
∵ 直线， ∴ ， ∴ ；
∴ 存在实数.
21. 解：（1）证明：∵ 分别是的中点， ∴ ∥，
又 ∵ 平面， 平面，
∴ ∥平面，
同理可证：∥平面，
∵ ， ∴ 平面∥平面.
（2） 为的中点.
证明：连接， 平面即为平面，
∵ ， ∴ ，
又 ， ,
∴ , ∴ .
∵ ， ∴ ，
∵ ， 且， 平面，
∴ 平面.
(3) 证明： ∵ ， ∴ ，
又 ， ,
∴ ,
∵ ∥， ∴
平面， ∴ .
方法一：取的中点，连接. 则平面∩平面，
过点作的垂线，分别交于，
则，且，
在等腰直角三角形中， ∵ ，
∴ ， ∴ .
故点到平面的距离是.
方法二： 易得：，， ，
， ，
∴ ，
， ，
∵ , ∴ ,
∴ ， ∴ .
故点到平面的距离是.
22.（1）证明：由已知F，设A(x1，y1)，则y＝2px1，
圆心坐标为，圆心到y轴的距离为，
圆的半径为＝×＝，
所以，以线段FA为直径的圆与y轴相切．
(2)解法一：设P(0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由＝λ1，＝λ2，得 ＝λ1(－x1，y0－y1)，
＝λ2，所以x1－＝－λ1x1，y1＝λ1(y0－y1)，
－x2＝λ2，y2＝－λ2y1，
由y2＝－λ2y1，得y＝λy. 又y＝2px1，y＝2px2， 所以x2＝λx1.
代入－x2＝λ2，得－λx1＝λ2，(1＋λ2)＝x1λ2(1＋λ2)，
整理得x1＝，代入x1－＝－λ1x1，得－＝－， 所以＝1－，
因为∈，所以λ2的取值范围是
解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB：x＝my＋，
将x＝my＋代入y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0， 所以y1y2＝－p2(*)．
由＝λ1，＝λ2，得
＝λ1(－x1，y0－y1)，
＝λ2，
所以x1－＝－λ1x1 ，y1＝λ1(y0－y1)，
－x2＝λ2，y2＝－λ2y1，
将y2＝－λ2y1代入(*)式，得y＝，所以2px1＝，x1＝.
代入x1－＝－λ1x1， 得＝1－，
为∈， 所以λ2的取值范围是.