鲁教版数学七年级下册 第十章 三角形的有关证明 达标测试卷（二）（含答案）

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第十章 三角形的有关证明达标测试卷（二）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．牛顿曾说：“反证法是数学家最精良的武器之一”．用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”时，应先假设（　　）
A．∠A＝60° B．∠A＜60° C．∠A≠60° D．∠A≤60°
2．如图1，AC⊥AB，AC⊥CD，要使得△ABC≌△CDA．若以“HL”为依据，需添加的条件是（　 　）
A．BC=DA B．AB＝CD C．∠B＝∠B D．∠ACB＝∠CAD
图1 图2 图3
3．下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a，b，c（c为最长边）满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
其中其逆命题成立的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
4．如果一个等腰三角形的两边长为2和5，那么这个三角形的周长是（　　）
A．9 B．12 C．9或12 D．不确定
5．如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形，S1，S2，S3分别表示这三个正方形的面积．若S1＝3，S2＝10，则S3等于（　　）
A．5 B．7 C．13 D．15
6．如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AC，交BC于点D，AD＝4，则BC的长为（　　）
A．8 B．4 C．12 D．6
7．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助图4－①②所示的“三等分角仪”能三等分任一角．其抽象示意图如图4－②所示，由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠O的度数是（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
②
图4 图5 图6
8．现有一块如图5所示的绿草地，经测量，∠B＝∠C，AB＝10 m，BC＝8 m，CD＝12 m，点E是AB边的中点．小狗汪汪从点B出发沿BC以2 m/s 的速度向点C跑，同时小狗妞妞从点C出发沿BC向点D跑．要使△BEP与△CPQ全等，则妞妞的运动速度为（ ）
A．2 m/s B． m/s C．2 m/s 或 m/s D．无法确定
9．如图6，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③若∠A＝50°，∠BFC＝105°；④BF＝CF．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．已知△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按图7的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（ 　）
A．△ABC的周长 B．△AFH的周长
C．四边形FBGH的周长 D．四边形ADEC的周长
图7
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2021年德州）如图8，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D．请添加一个条件 　 　，使△ABF≌△DCE．
图8 图9 图10
12．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小明设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图9－①，衣架杆OA＝OB＝16 cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图9－②，则此时A，B两点之间的距离是　 　cm．
13．如图10，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E．若∠CAB＝∠B+28°，则∠CAE＝　 　．
图11 图12 图13
14．如图11，∠AOB＝60°，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，且PD＝PE＝2，EF∥OA，则EF＝_____．
15．数学活动课上，志强用硬纸板剪了一个等腰三角形，但因失误同时剪掉该三角形的一个角，如图12所示．经测量，∠A＝50°，则被剪掉的∠C的度数为 ．
16．如图13，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC的中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．
其中正确的有 ．（填序号）
三、解答题（本大题共7小题，共52分）
17．（6分）如图14，将两个三角形纸板ABC和ADE的顶点A叠合在一起，经测量∠BAD＝∠CAE，AB＝AD，∠B＝∠D，试说明：BC＝DE．
图14
18．（6分）如图15，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：CF＝DF．
图15
19．（7分）用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
20．（7分）如图16，校园内有两条路OA，OB，在交叉口附近有两块宣传牌C，D，学校准备在两条公路相交的内部（∠AOB内）安装一盏路灯，要求灯柱的位置P到两块宣传牌的距离相等，并且到两条路的距离也相等，请你帮助作出灯柱的位置点P，并说明理由．
图16
21．（8分）如图17，在△ABC中，∠BCA的平分线与AB边的垂直平分线相交于点D，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是E，F．求证：AE＝BF．
图17
22．（8分）如图18，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且BD＝CE，BE＝CF．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）猜想：当∠A满足什么条件时，△DEF是等边三角形？并说明理由．
图18
23．（10分）如图19，在△ABC中，点D在边BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）如图19－①请你添加一个条件，使AD⊥EF．你添加的条件是______，并证明AD⊥EF；
（2）如图19－②，AD为∠BAC的平分线，当有一点G从点D向点A运动时，GE⊥AB，GF⊥AC，垂足分别为E，F，这时，AD是否垂直于EF？
（3）如图19－③，AD为∠BAC的平分线，当点G在线段AD的延长线上运动时，其他条件不变，这时，AD是否垂直于EF？
① ② ③
图19
附加题（20分，不计入总分）
24．（1）小欣遇到这样一个问题：
如图20－①，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，E为AB上一点，BE的垂直平分线交AD于点F，交AB于点G，连接EF，FC．求∠EFC的度数．
小欣思考后发现，可以用两种方法解决问题：
方法一：通过运用线段垂直平分线的性质定理和三角形内角和定理直接计算可解决问题；
方法二：过F作FM⊥AC于点M，构造全等三角形可以解决问题．请你选择以上两种方法中的一种方法完成上述问题．
（2）参考小欣思考问题的方法，解决下列问题：
如图20－②，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为BA延长线上一点，BE的垂直平分线交AD于点F，交AB于点G，连接EF，FC．猜想∠CAD与∠FCE的数量关系，补全图形并加以证明．
① ②
图20
第十章 三角形的有关证明达标测试卷（二）
一、1．D 2．A 3．D 4．B 5．B 6．C 7．C 8．C 9．B
10．A 解析：因为△GFH为等边三角形，所以FH＝GH，∠FHG＝60°．所以∠AHF+∠GHC＝120°．因为△ABC为等边三角形，所以AB＝BC＝AC，∠C＝∠A＝60°．所以∠GHC+∠HGC＝120°．所以∠AHF＝∠CGH．所以△AFH≌△CHG（AAS）．所以AF＝CH．因为△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，所以BE＝FH．所以五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF＝（BD+DF+AF）+（CE+BE）＝AB+BC．所以只需知道△ABC的周长即可．
二、11．答案不唯一，如∠B＝∠C 12．16 13．28° 14．2 15．50°或65°或80°
16．①②④ 解析：由AB=AC，得∠C=∠B=40°，根据∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，可得①正确；若D为BC的中点，则AD⊥BC，∠EDC=50°，结合∠C=40°，可得DE⊥AC，故②正确；由∠AED=∠C+
∠EDC，可得∠AED＞40°，所以∠ADE≠∠AED．所以AD≠AE．所以AD=DE或AE=DE，可求得∠BAD=30°或∠BAD=60°，故③不正确；当∠BAD＝30°时，可求得∠DAE＝∠DEA＝70°，所以AD=DE．由“AAS”可证得△ABD≌△DCE．所以BD=CE，故④正确．
三、17．解：因为∠BAD＝∠CAE，所以∠BAD－∠CAD＝∠CAE－∠CAD，即∠BAC＝∠DAE． 在△ABC和△ADE中，因为∠B＝∠D，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，所以△ABC≌△ADE．所以BC＝DE．
18．证明：连接AC，AD．
在△ABC和△AED中，因为AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，所以△ABC≌△AED．所以AC＝AD．
因为AF⊥CD，所以FC＝DF．
19．解：已知：如图1，∠1是△ABC的一个外角．求证：∠1=∠A+∠B．
证明：假设∠1≠∠A+∠B．
在△ABC中，∠A+∠B+∠2=180°，所以∠1+∠2≠180°，这与∠1+∠2=180°矛盾，所以假设不成立．
所以三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
图1
20．解：如图2，连接CD，分别作线段CD的垂直平分线和∠AOB的平分线相交于点P，则点P就是所要确定的灯柱的位置．
图2
证明：连接AD，BD．因为CD是∠BCA的平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，所以DE＝DF．
因为DG是AB边的垂直平分线，所以AD＝BD．
在Rt△AED和Rt△BFD中，因为ED＝FD，AD＝BD，所以Rt△AED≌Rt△BFD．所以AE＝BF．
22．（1）证明：因为AB＝AC，所以∠B＝∠C．
在△DBE和△ECF中，BD＝CE，∠B＝∠C，BE＝CF，所以△DBE≌△ECF．
所以DE＝EF．所以△DEF是等腰三角形．
（2）解：当∠A＝60°时，△DEF是等边三角形．
理由：因为△DBE≌△ECF，所以∠BDE＝∠CEF．
所以∠DEF＝180°－∠BED－∠CEF＝180°－∠BED－∠BDE＝∠B．
当∠A＝60°时，∠B＝∠C＝＝60°．所以∠DEF＝60°．
又DE＝EF，所以△DEF是等边三角形．
解：（1）答案不唯一，如AD平分∠BAC．
证明如下：因为AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，所以DE＝DF． 在Rt△AED和Rt△AFD中，因为AD＝AD，DE＝DF，所以Rt△AED≌Rt△AFD．所以AE＝AF．又DE=DF，所以AD垂直平分EF，即AD⊥EF．
（2）AD⊥EF．同方法（1）可得AD垂直平分EF，即AD⊥EF．
（3）AD⊥EF．同方法（1）可得AD垂直平分EF，即AD⊥EF．
24．解：（1）如图 3，连接BF，并延长交AC于点H．
因为FG是BE的垂直平分线，所以FE＝FB．所以∠FEB＝∠FBE．所以∠HFE＝2∠FBE．
因为△ABC是等边三角形，AD⊥BC，所以FD是BC的垂直平分线，∠ABC＝60°．
所以FB＝FC．所以∠FBC＝∠FCB．所以∠HFC＝2∠FBC．
所以∠EFC＝∠HFE+∠HFC＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°．
补全图形如图所示，连接BF，CE．同（1）可知FB=FE，FB=FC，所以FE=FC，∠FEB＝∠FBE，∠FBC＝∠FCB．所以∠FEC＝∠FCE．因为AB=AC，AD⊥BC，所以∠BAD＝∠CAD，∠ABC＝∠ACB．
所以∠ABF＝∠ACF．所以∠FEB＝∠ACF．
因为∠FEB+∠AME+∠MAE＝180°，∠ACF+∠FMC+∠EFC＝180°，∠AME＝∠CMF，所以∠EAC＝∠EFC．
因为∠BAD+∠CAD+∠EAC＝180°，∠FEC+∠FCE+∠EFC＝180°，∠BAD＝∠CAD，∠FEC＝∠FCE，所以∠CAD＝∠FCE．
图3
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