鲁教版数学七年级下册 第十章 三角形的有关证明 达标测试卷（一）（含答案）

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第十章 三角形的有关证明达标测试卷（一）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．等腰三角形的底角的度数是70°，则它的顶角的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
2．具备下列条件的两个三角形可以判定它们全等的是（ ）
A．一边和这边的对角对应相等
B．三个角对应相等
C．两边和其中一边的对角对应相等
D．两个直角三角形中的一条直角边及斜边对应相等
3．如图1，在△ABC中，∠C＝90°， AD是△ABC的角平分线，点D到AB的距离DE＝3.8 cm，则DC等于（　　）
A．3.8 cm B．7.6 cm C．1.9 cm D．不能确定
图1 图2 图3 图4
4．如图2，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠BAD＝32°，则∠C的度数是（　　）
A．28° B．30° C．32° D．36°
5．用反证法证明“在△ABC中，AB=AC，则∠B是锐角”，应先假设（　　）
A．在△ABC中，∠B一定是直角 B．在△ABC中，∠B是直角或钝角
C．在△ABC中，∠B是钝角 D．在△ABC中，∠B可能是锐角
6．如图3，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为（　　）
A．35° B．40° C．45° D．50°
7．下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的最短边是底边；④等腰三角形都是锐角三角形；⑤等边三角形的高、中线、角平分线都相等． 其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
如图4，在△ABC中，∠A＝70°，AB＝15 cm，AC＝10 cm，点P从点B出发以3 cm/s的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以2 cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（　　）
A．2 s B．3 s C．4 s D．5 s
9．如图5，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AC，若△BCD的周长是14，BC=6，则AC的长是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．10
10．如图6，AB=AC，AE=EC=CD，∠A=60°，若EF=2，则DF等于 （　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
图6
二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
11．“等腰三角形两底角相等”的逆命题是　 　　 　，它是　 　（填“真”或“假”）命题．
12．一个三角形的三边长分别是6 cm ，7 cm， 8 cm，则这个三角形　 　直角三角形．（填“是”或“不是”）
13．等腰三角形的周长为14，其一边长为4，则它的底边长为 　　 　．
14．如图7，在△ABC中，AB＝3，BC＝5，∠B＝60°，△ABC≌△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，CD的长为　 　．
图7 图8 图9
15． 如图8，A，B两点在3×3的正方形网格的格点上，在格点上找一点C使得△ABC是等腰三角形，那么这样的点C有 个．
16．如图9，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于点E，AD⊥BE于点D．下列结论：①AC－BE=AE：②∠DAE=∠C：③BC=4AD；④点E在线段BC的垂直平分线上．其中正确的有 ． （填序号）
三、解答题（本大题7小题，共52分）
17．（6分）如图10，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
求证：Rt△ABE≌Rt△CBF．
图10
18．（6分）如图11，在等边三角形ABC中，点D为BC延长线上一点，点E为CA延长线上一点，且AE=DC，求证：BE=AD．
19．（7分）如图12，我市拟在两个钢厂A，B与两条公路l1，l2相交的内部修建一个中转站C，要求中转站C到两条公路l1，l2的距离相等，且到两个钢厂A，B的距离也相等，那么中转站C应建在何处？请在图中利用尺规作图作出符合条件的点C．（不写作法，保留作图痕迹）
图12
20．（7分）如图13，在△ABC 中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点 E．
（1）求证：DE=CE；（2）若∠CDE=35°，求∠A 的度数．
21．（8分）如图14，上午8时，一艘轮船从A处出发，以15海里/时的速度向正北航行，在A处测得灯塔C在北偏西30°，9时30分到达B处，测得灯塔C在北偏西60°，若船继续向正北方向航行，求轮船何时到达灯塔C的正东方向D处．
22．（8分）如图15，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E．
（1）若BE是△ABC的角平分线，请求出∠A的度数；
（2）若∠A=30°，且AB=4，求EC的长．
图15
23．（10分）如图16，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
（1）如图16－①，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°．
①求证：AD=BE；②求∠AEB的度数．
（2）如图16－②，若∠ACB=∠DCE=90°，CF为△DCE中DE边上的高，试猜想AE，CF，BE之间的数量关系，并证明你的结论．
图1
附加题（20分，不计入总分）
24．在△ABC中，AB=AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD=AE，设∠BAD=α，∠CDE=β．
（1）如图17－①，若点D在线段BC上，点E在线段AC上，∠ABC=60°，∠ADE=70°，则α= °；β= °．
（2）如图17－②，若点D在线段BC上，点E在线段AC上，则α，β之间有什么关系式？请说明理由．
（3）是否存在不同于（2）中的α，β之间的关系式？若存在，请写出这个关系式并给出证明（写出一种即可）；若不存在，请说明理由．
图17
第十章 三角形的有关证明达标测试卷（一）
一、1．B 2．D 3．A 4．C 5．B 6．A 7．B 8．B 9．C
10．D 提示：过E作EG⊥BC，交BC于点G，易得△ABC是等边三角形，证得∠AFE=90°，利用等腰三角形的“三线合一”的性质及角平分线的性质定理求得EG的长，利用含30°角的直角三角形的性质求得DE的长，进而得出DF的长．
二、11．有两个角相等的三角形是等腰三角形 真 12．不是
13．4或6 14． 2 15．8 16．①②③④
三、17．证明：因为∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，所以∠CBF=180°－90°=90°．
在Rt△ABE和Rt△CBF中，AB=CB，AE=CF，所以Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．
18．证明：因为△ABC是等边三角形，所以AB=CA，∠BAC=∠ACB=60°．所以∠EAB=∠DCA=120°．
在△EAB和△DCA中，AE=CD，∠EAB=∠DCA，AB=CA，所以△EAB≌△DCA（SAS）．所以BE=AD．
19．解：如图1所示，点C即为所求中转站．
提示：连接AB，作线段AB的垂直平分线，作两条公路所夹锐角的平分线，两条线相交于点C．
图1
20．解：（1）因为CD是∠ACB的平分线，所以∠BCD=∠ECD．
因为DE∥BC，所以∠EDC=∠BCD．所以∠EDC=∠ECD，所以DE=CE．
（2）因为∠ECD=∠EDC=35°，所以∠ACB=2∠ECD=70°．
因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB=70°．所以∠A=180°－70°－70°=40°．
21． 解：根据题意，得AB=15×1.5=22.5（海里）．
因为∠DBC=60°，∠A=30°，所以∠BCA=∠DBC－∠A=30°，∠BCD=90°－∠DBC=30°．所以∠BCA=∠A．
所以CB=AB =22.5（海里），DB=CB=11.25（海里）．
11.25÷15=0．75（小时）=45（分钟）．所以轮船10:15到达灯塔C的正东方向D处．
22．解：（1）因为AB=AC ，所以∠ABC=∠C．
又DE垂直平分AB，所以EB=EA．所以∠A=∠ABE．
又BE平分∠ABC，所以∠ABE=∠EBC．所以∠ABC=∠C=2∠A．
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，所以∠A+2∠A+2∠A=180°，解得∠A=36°．
（2）因为DE垂直平分AB，所以AD=AB=2，∠ADE=90°．
在Rt△ADE中，∠A=30°，所以AE=2DE．
因为AD2+DE2=AE2，即2+DE2=（2DE）2，解得DE=2．所以AE=4．
所以EC=AC－AE=AB－AE=4－4．
23．（1）①证明：因为∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，所以∠ACB=∠DCE=180°－2×50°=80°．
因为∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE，所以∠ACD=∠BCE．因为△ACB，△DCE都是等腰三角形，所以AC=BC，DC=EC．所以△ACD≌△BCE．所以AD=BE．
②解：因为△ACD≌△BCE，所以∠ADC=∠BEC．因为点A，D，E在同一直线上，且∠CDE=50°，所以∠ADC=130°．所以∠BEC=130°．因为∠CED=50°，所以∠AEB=80°．
（2）解：猜想：AE=2CF+BE．
理由：因为△ACB，△DCE都是等腰直角三角形，所以∠CDE=∠CED=45°．因为CF⊥DE，所以∠CFD=90°．所以∠DCF=∠CDF=45°．所以DF=CF．同理EF=CF．因为AD=BE，所以AE=AD+DE=BE+2CF．
24．解：（1）20 10
（2）设∠ABC=x°，∠ADE=y°．
因为AB=AC，AD=AE，所以∠ACB=x°，∠AED=y°．
在△DEC中，y=β+x．在△ABD中，α+x=y+β=β+x+β．所以α=2β．
（3）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，如图2．
设∠ABC=x°，∠ADE=y°．因为AB=AC，AD=AE，所以∠ACB=x°，∠E=y°．
在△ABD中，x+α=β－y．在△DEC中，x+y+β=180°．所以α=2β－180°．
②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，如图3，同①的方法可得α=180°－2β．
图5
图11
图13
图14
①
②
① ②
β
α
D
图2 图3
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