(共27张PPT)
北师版 七年级下
第4章 认识三角形
测素质
集训课堂
全等三角形的性质和判定
A
A
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A
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18
19
如图，在生活中，我们经常会看见如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋来加固电线杆，这是利用了三角形的( )
A．稳定性 B．灵活性
C．对称性 D．全等性
1
A
如图，若△ABC≌△DEF，△DEF的周长是24 cm，DE＝9 cm，EF＝10 cm，则AC的长为( )
A．5 cm B．6 cm C．7 cm D．8 cm
2
A
如图，已知AB∥CD，AD∥CB，则△ABC≌△CDA的依据是( )
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
3
B
【中考·安顺】如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于 O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( )
A．∠B＝∠C B．AD＝AE
C．BD＝CE D．BE＝CD
D
4
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，则下列结论中，不正确的是( )
A．BD＋ED＝BC B．DE平分∠ADB
C．DA平分∠EDC D．ED＋AC>AD
5
B
如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为( )
A．a＋c B．b＋c
C．a－b＋c D．a＋b－c
6
D
7
D
如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE与CD相交于点O，且∠1＝∠2，则下列结论正确的个数为( )
①∠B＝∠C；②△ADO≌△AEO；③△BOD≌△COE；④图中有四对三角形全等．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
已知AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝12，AC＝8，则中线AD的取值范围是( )
A．2
C．18
A
如图，△ABC≌△ADE，若∠E＝70°，∠D＝30°，∠CAD＝40°，则∠BAD＝________.
9
40°
【中考·衢州】如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是__________________(只需写一个，不添加辅助线)．
10
AB＝DE(答案不唯一)
如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝________．
11
6
如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝5 cm，DE＝3 cm，则BD等于________．
12
8 cm
如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为________．
13
7
14
【中考·南京】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABO≌△ADO，有下
列结论：①AC⊥BD；②CB＝CD；③△ABC≌△ADC；④DA＝DC.
其中正确结论的序号是________．
①②③
如图，△ABC≌△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，试说明AD＝A′D′的理由．
15
解：因为△ABC≌△A′B′C′，
所以∠B＝∠B′，AB＝A′B′，∠BAC＝∠B′A′C′，
16
【2020·西藏】如图，在△ABC中，D为BC上的一点，AD＝AC，以线段AD为边作△ADE，使得AE＝AB，∠BAE＝∠CAD.试说明：DE＝CB.
解：因为∠BAE＝∠CAD，
所以∠BAE＋∠BAD＝∠CAD＋∠BAD，
即∠DAE＝∠CAB.
17
如图，已知线段a及∠O，只用直尺和圆规，求作△ABC，使BC＝a，∠B＝∠O，∠C＝2∠B.(在指定作图区域作图，保留作图痕迹，不写作法)
解：如图所示：
18
如图，AB＝CD，AD＝BC，E，F是AC上的点，且AE＝CF.
(1)AB∥CD吗？为什么？
(2)试说明：BE＝DF.
解：由(1)知，AB∥CD.
所以∠BAE＝∠DCF，
又因为AB＝CD，AE＝CF，
所以△ABE≌△CDF(SAS)，所以BE＝DF.
19
如图，△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝45°，点E为BC的中点，CN⊥AE交AB于点N，连接EN.
试说明：AE＝CN＋EN.
解：如图，过点B作BM∥AC交CN的延长线于点M.
因为∠CAB＝∠CBA＝45°，
所以∠ACB＝90°，AC＝BC.
因为BM∥AC， 所以∠MBC＝∠ACB＝90°.
所以∠MBN＝∠MBC－∠CBA＝90°－45°＝45°.
所以∠MBN＝∠EBN.
因为CN⊥AE，
所以∠NCE＋∠AEC＝∠EAC＋∠AEC＝90°.
所以∠NCE＝∠EAC.
又因为AC＝BC，∠MBC＝∠ACB＝90°，
所以△AEC≌△CMB(ASA)．所以BM＝CE，AE＝CM.
因为CE＝BE，所以BM＝BE.
又因为BN＝BN， 所以△BNE≌△BNM(SAS)．
所以EN＝MN，所以AE＝CM＝CN＋MN＝CN＋EN.(共24张PPT)
练素养
北师版 七年级下
第4章 认识三角形
集训课堂
三角形全等的五种常见题型
1
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4
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8
【教材P111复习题T9变式】【2021·乐山】如图，已知AB＝DC，∠A＝∠D，AC与DB相交于点O，试说明：∠OBC＝∠OCB.
1
2
【2021·杭州】在①AD＝AE，②∠ABE＝∠ACD，③FB＝FC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在AB边上(不与点A，点B重合)，点E在AC边上(不与点A，点C重合)，连接BE，CD，BE与CD相交于点F.若________，试说明：BE＝CD.
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
3
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过B，C向过点A的直线作垂线，垂足分别为点E，F.
(1)如图①，过点A的直线与斜边BC不相交时，试说明：①△ABE≌△CAF；②EF＝BE＋CF.
解：①因为BE⊥EF，CF⊥EF，
所以∠AEB＝∠CFA＝90°.
所以∠EAB＋∠EBA＝90°.
因为∠BAC＝90°，
所以∠EAB＋∠FAC＝90°.
所以∠EBA＝∠FAC.
在△ABE和△CAF中，
(2)如图②，过点A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变．若BE＝10，CF＝3，试求EF的长．
解：因为BE⊥AF，CF⊥AF，
所以∠AEB＝∠CFA＝90°.
所以∠EAB＋∠EBA＝90°.
因为∠BAC＝90°，
所以∠EAB＋∠FAC＝90°.
所以∠EBA＝∠FAC.
4
试说明：三角形一边的中线小于其他两边和的一半．
5
如图，已知AE∥DF，CE∥BF，AB＝CD.
试说明：BE∥CF.
解：因为AE∥DF，所以∠A＝∠D.
因为CE∥BF，
所以∠ECA＝∠FBD.
因为AB＝CD，
所以AC＝DB.
所以△AEC≌△DFB(ASA)．
所以EC＝BF.
又因为∠ECA＝∠FBD，BC＝CB，
所以△ECB≌△FBC(SAS)．
所以∠EBC＝∠FCB.
所以BE∥CF.
6
两个大小不同的等腰直角三角形的三角板如图①放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC.
(1)请找出图②中的全等三角形，并说明理由；(注：结论中不得含有未标识的字母)
解：题图②中△ABE≌△ACD.
理由：因为△ABC与△AED均为等腰直角三角形，
所以AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°.
所以∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE，
即∠BAE＝∠CAD.
所以△ABE≌△ACD(SAS)．
解：由(1)知△ABE≌△ACD，
则∠ACD＝∠ABE.
又因为∠ABC＋∠ACB＝90°，
所以∠ACD＋∠ACB＝90°＝∠BCD，
即DC⊥BE.
(2)试说明：DC⊥BE.
7
【2020·常州】如图，点A，B，C，D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD.
(1)试说明：∠E＝∠F；
解：因为EA∥FB，所以∠A＝∠FBD.
因为AB＝CD，
所以AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝BD.
又因为EA＝FB，所以△EAC≌△FBD(SAS)．
所以∠E＝∠F.
(2)若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．
解：因为△EAC≌△FBD，∠D＝80°，
所以∠ECA＝∠D＝80°.
因为∠A＝40°，
所以∠E＝180°－40°－80°＝60°.
8
【中考·温州】如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED＝∠B.
(1)试说明：△AED≌△EBC；
解：因为AD∥EC，所以∠A＝∠BEC.
因为E是AB的中点，所以AE＝EB.
又因为∠AED＝∠B，
所以△AED≌△EBC(ASA)．
(2)当AB＝6时，求CD的长．(共16张PPT)
图形的全等
北师版 七年级下
第4章 认识三角形
4.2
目标二 全等三角形的性质
1
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4
5
①②④
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D
D
A
B
如图，△ABE≌△ACF，则下列结论：
①∠1＝∠2；②BE＝CF；③CD＝DN；④∠C＝∠B.
其中正确的有________(填序号)．
①②④
1
2
【教材P94随堂练习T2变式】如图，△ABD≌△ACE，若AB＝6，AE＝4，则CD的长度为( )
A．10 B．6 C．4 D．2
2
D
如图，将△ABC沿BC所在的直线平移到△A′B′C′的位置，则△ABC______△A′B′C′.若图中BC＝10，CC′＝4，则B′C＝________.
3
≌
6
【2020·天津】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对
应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是( )
A．AC＝DE B．BC＝EF
C．∠AEF＝∠D D．AB⊥DF
D
4
由题意得△ABC≌△DEC，所以AC＝DC，BC＝EC，故A，B错误；由△ABC≌△DEC得∠DEC＝∠B，而∠AEF＝∠DEC，所以∠AEF＝∠B，故C错误；由∠ACB＝90°得∠B＋∠A＝90°，所以∠AEF＋∠A＝90°，则∠AFE＝90°，即AB⊥DF，故D正确．
【点拨】
如图，将△ABC折叠，使点A与BC边的中点D重合，折痕为MN.若AB＝9，BC＝6，则△DNB的周长为( )
A．12 B．13 C．14 D．15
5
A
【点拨】
【2021·哈尔滨】如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为( )
A．30° B．25°
C．35° D．65°
6
B
因为△ABC≌△DEC，所以∠ACB＝∠DCE.
所以∠BCE＝∠ACD.
因为∠BCE＝65°，所以∠ACD＝65°.
因为AF⊥CD，所以∠AFC＝90°.
所以∠CAF＋∠ACD＝90°.
所以∠CAF＝90°－65°＝25°.
【点拨】
7
如图，已知点B，D，E，C在同一直线上，△ABE≌△ACD.
(1)说明△ABE经过怎样的变化后可与△ACD重合．
解：略．
(2)∠BAD与∠CAE有何关系？请说明理由．
解：∠BAD＝∠CAE.理由如下：
因为△ABE≌△ACD，
所以∠BAE＝∠CAD.
所以∠BAE－∠DAE＝∠CAD－∠DAE，即∠BAD＝∠CAE.
(3)BD与CE相等吗？为什么？
解：BD与CE相等．理由如下：
因为△ABE≌△ACD，
所以BE＝CD.
所以BE－DE＝CD－DE，
即BD＝CE.
8
如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE.
(1)试说明BD＝DE＋CE.
解：因为△BAD≌△ACE，
所以BD＝AE，AD＝CE.
又因为A，D，E三点在同一直线上，
所以AE＝DE＋AD.
所以BD＝DE＋CE.
(2)问：△ABD满足什么条件时，BD∥CE
解：△ABD满足∠ADB＝90°时，BD∥CE.
因为∠ADB＝90°，所以∠BDE＝90°，
又因为△BAD≌△ACE，
所以∠CEA＝∠ADB＝90°.
所以∠CEA＝∠BDE.
所以BD∥CE.(共28张PPT)
北师版 七年级下
第4章 认识三角形
测素质
集训课堂
与三角形有关的线段和角
C
C
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C
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下列长度的三条线段，能构成三角形的是( )
A．1 cm，2 cm，3 cm B．1 cm，2 cm，4 cm
C．2 cm，2 cm，3 cm D．2 cm，6 cm，3 cm
1
C
在△ABC中，画出边AC上的高，画法正确的是( )
2
C
【中考 柳州】如图，图中直角三角形共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
3
C
【中考·黔东南州】将一副直角三角尺如图放置，若AE∥BC，则∠AFD的度数是( )
A．45° B．50° C．60° D．75°
D
4
若一个三角形的三个内角度数的比为2?：7?：4，那么这个三角形是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
5
C
如图，在△ABC中，∠ACB＝100°，∠A＝20°，D是AB上一点，将△ABC沿CD折叠，使点B落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于( )
A．25° B．30° C．35° D．40°
6
D
7
A
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF⊥AD于点P，交BC的延长线于点M.已知∠ACB＝70°，∠B＝40°，则∠M的度数为( )
A．10° B．15° C．20° D．25°
8
B
已知三角形的两边长分别是2 cm和5 cm，第三边长是奇数，则第三边长是________．
9
5 cm
如图，△ABC中，高BD，CE交于点G，若∠A＝70°，则∠BGC＝________.
10
110°
如图，△ABC中，D，E分别是BC，AD的中点，△ABC的面积是20，则阴影部分的面积是________．
11
5
如图是某建筑工地上的人字架．已知∠1＝120°，那么∠3－∠2的度数为________．
12
60°
如图，∠1＝20°，∠2＝30°，∠BDC＝95°，则∠A的度数是________．
13
45°
14
若AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，则∠BAC的度数为____________．
90°或50°
如图，已知钝角三角形ABC.
(1)作钝角三角形ABC的高AM，CN；
15
解：如图，AM，CN为所作．
(2)若CN＝3，AM＝6，求BC与AB之比．
16
如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE＝3 cm，S△ABC＝12 cm2.求BC和DC的长．
17
如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D.
(1)试说明∠ACD＝∠B；
解：因为∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，
所以∠ACD＋∠BCD＝90°，
∠B＋∠BCD＝90°.
所以∠ACD＝∠B.
(2)若AF平分∠CAB分别交CD，BC于E，F，试说明∠CEF＝∠CFE.
解：在Rt△AFC中，∠CFA＝90°－∠CAF.
在Rt△AED中，∠AED＝90°－∠DAE.
因为AF平分∠CAB， 所以∠CAF＝∠DAE.
所以∠AED＝∠CFE. 又因为∠CEF＝∠AED，
所以∠CEF＝∠CFE.
18
如图，直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接AC，BD交于点E，其中BD平分∠ABC，∠BCD＝80°，∠BEC＝110°，求∠BAC的度数．
解：因为a∥b，
所以∠ABC＋∠BCD＝180°，
又因为∠BCD＝80°，
所以∠ABC＝100°.因为BD平分∠ABC，
19
在△ABC中，∠ACB为最大角且∠ACB≠90°，高BD和CE所在的直线交于点H.
(1)求∠BHC和∠A有 什么关系，写出探究过程；
解：∠BHC＋∠A＝180°或∠BHC＝∠A.
当∠ACB＜90°时，△ABC为锐角三角形，如图①所示．
因为CE⊥AB， 所以∠ABD＋∠BHE＝90°.
因为BD⊥AC，
所以∠ABD＋∠A＝90°.
所以∠A＝∠BHE.
因为∠BHC＋∠BHE＝180°，
所以∠BHC＋∠A＝180°.
当∠ACB＞90°时，△ABC为钝角三角形，如图②所示．
因为CE⊥AB，
所以∠BHC＋∠ABD＝90°.
因为BD⊥AC，
所以∠A＋∠ABD＝90°.
所以∠BHC＝∠A.
(2)探究归纳：非直角三角形的两条边上的高所在的直线所夹的角与第三边所对的角____________；
(3)模型应用：在钝角三角形ABC中，∠A＝45°，高BD和CE所在的直线交于点H，则∠BHC的度数为________．
相等或互补
45°(共14张PPT)
三角形的高
北师版 七年级下
第4章 认识三角形
4.1.4
1
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C
C
C
A
8
【教材P90随堂练习T1变式】画△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是( )
C
1
如图，△ABC中AB边上的高线是( )
A．线段DA B．线段CA
C．线段CD D．线段BD
2
C
【教材P90随堂练习T1变式】如图，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，则图中可以作为三角形“高”的线段有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．5条
3
D
C
4
下列说法中正确的是( )
A．三角形的三条高都在三角形内
B．直角三角形只有一条高
C．锐角三角形的三条高都在三角形内
D．三角形每一边上的高都小于其他两边
如图，AD，BE，CF依次是△ABC的高、中线和角平分线，下列各式中错误的是( )
A．AE＝CE B．∠ADC＝90°
C．∠CAD＝∠CBE D．∠ACB＝2∠ACF
C
5
【中考·黄石】如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋∠ACD＝( )
A．75° B．80° C．85° D．90°
6
A
依据AD是BC边上的高，∠ABC＝60°，即可得到∠BAD＝30°.依据∠BAC＝50°，AE平分∠BAC，即可得到∠BAE＝25°，则∠EAD＝5°.又∠ACD＝180°－∠ABC－∠BAC＝70°，则∠EAD＋∠ACD＝75°.
【点拨】
7
如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，P是BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E.若△ABC的面积为32，问：PD＋PE的值是否确定？若能确定，则PD＋PE的值是多少？若不能确定，请说明理由
解: PD＋PE的值能确定．
8
如图，AD是△ABC的边BC上的中线，BE是△ABD的边AD上的中线．
(1)若∠BAD＝25°，∠AEB＝140°，求∠ABE的度数；
解:在△ABE中，∠ABE＝180°－∠AEB－∠BAD＝180°－140°－25°＝15°.
(2)作出△BDE的边BD上的高EF；
解:略
(3)若△ABC的面积为24 cm2，BD＝4 cm，求△BDE的边BD上的高．(共15张PPT)
用尺规作三角形
北师版 七年级下
第4章 认识三角形
4.4
1
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A
B
B
A
对于尺规作图：已知∠α和线段m，n，求作△ABC，使BC＝m，AB＝n，∠ABC＝∠α，有下列步骤：①在射线BD上截取线段BA＝n；②作一条线段BC＝m；③以B为顶点，以BC为一边，作∠DBC＝∠α；④连接AC，△ABC就是所求作的三角形．作法的合理顺序为________(填序号)．
②③①④
1
2
已知∠AOB，用尺规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的作图痕迹如图所示，则判断∠AOB＝∠A′O′B′所用到的三角形全等的判定方法是( )
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
2
D
【点拨】
【教材P104习题T3变式】如图，小敏做练习册中的试题时，不小心把题目中的三角形用墨水弄污了一部分，她想在一张白纸上作一个完全一样的三角形，然后粘贴在上面，她作图的依据是( )
A．SSS B．SAS
C．ASA D．AAS
3
C
如图①，已知线段a和∠1，求作△ABC，使BC＝a，∠ABC＝∠BCA＝∠1，张蕾的作法如图②所示，则下列说法中一定正确的是( )
A．作△ABC的依据为ASA
B．弧EF是以AC长为半径画的
C．弧MN是以点A为圆心，a为半径画的
D．弧GH是以CP长为半径画的
A
4
△ABC中有3个内角和3条边，只要知道其中的某些内角或边就可以作出这个三角形，根据以下给出的条件，可作出△ABC的有( )
①已知三边；②已知两边及其夹角；③已知两角及其夹边；④已知两角和其中一角的对边．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5
D
①已知三边可利用SSS作出三角形；②已知两边及其夹角可利用SAS作出三角形；③已知两角及其夹边可利用ASA作出三角形；④已知两角和其中一角的对边可利用AAS作出三角形．故选D.
【点拨】
【教材P105做一做变式】如图，已知线段a，b和m，求作△ABC，使BC＝2a，AC＝b，BC边上的中线AD＝m.盈盈想出了一种作法，根据图中她的作图痕迹，你能想出她是怎样作出来的吗？把她的具体作法写下来吧！
6
解：作法：(1)作射线CM，在射线CM上依次截取CD，DB，使DB＝CD＝a；
(2)以点C为圆心，线段b的长为半径画弧；
(3)以点D为圆心，线段m的长为半径画弧，与(2)中的弧交于点A；
(4)连接AC，AD，AB.
△ABC就是所求作的三角形．
7
【2021·常州】如图，B，F，C，E是直线l上的四点，AB∥DE，AB＝DE，BF＝CE.
(1)试说明：△ABC≌△DEF；
解：因为BF＝CE，所以BF＋FC＝CE＋ FC，即BC＝EF.
因为AB∥DE，所以∠ABC＝∠DEF.
(2)将△ABC沿直线l翻折得到△A′BC.
①用直尺和圆规在图中作出△A′BC(保留作图痕迹，不要求写作法)；
解：①如图所示，△A′BC即为所求．
②连接A′D，则直线A′D与l的位置关系是________．
平行(共17张PPT)
三角形的角
北师版 七年级下
第4章 认识三角形
4.1.1
目标一 三角形及其内角和
1
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A
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B
C
【教材P81材料(1)变式】下面各选项都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是( )
C
1
选项A，B，C，D都是由三条线段组成的图形，但A，B，D不是首尾顺次相接，只有C符合三角形的“三要素”．
【点拨】
2
如图，图中三角形的个数有( )
A．7个 B．4个 C．5个 D．6个
2
D
如图，以CD为边的三角形有____________；∠EFB是________的内角；
在△BCE中，BE所对的角是________，∠CBE所对的边是________；
以∠A为内角的三角形有
________________________
____________________．
3
△CDF，△BCD
△BEF
CE
∠BCE
△ABD，△ACE，△ABC
【教材P84习题T1变式】【2021 梧州】在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C等于( )
A．32° B．36° C．40° D．128°
A
4
【2021·陕西】如图，点D，E分别在线段BC，AC上，连接AD，BE.若∠A＝35°，∠B＝25°，∠C＝50°，则∠1的大小为( )
A．60° B．70°
C．75° D．85°
B
5
因为∠A＝35°，∠C＝50°，
所以∠ADC＝180°－(∠A＋∠C)＝180°－(35°＋50°)＝95°.
所以∠ADB＝180°－∠ADC＝180°－95°＝85°.
因为∠B＝25°，
所以由对顶角相等得∠1＝180°－(∠B＋∠ADB)＝180°－(25°＋85°)＝70°.
【点拨】
【2021·常州】如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，∠B＝40°，∠C＝60°，若DE∥AB，则∠AED＝________°.
6
100
7
【2021 黄冈麻城市期中】图中的三角形共有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
C
题图中的三角形有△BED，△AED，△ADC，△ABD，△ABC，共5个．故选C.
【点拨】
8
【教材P84随堂练习T2拓展】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝50°，∠C＝70°.
(1)求∠ADB的度数；
解：因为∠B＝50°，∠C＝70°，
所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝60°.
又因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝30°.
所以∠ADB＝180°－∠BAD－∠B＝100°.
(2)若DE⊥AC于点E，
求∠EDC的度数．
解：因为DE⊥AC，
所以∠DEC＝90°.
所以∠EDC＝180°－∠DEC－∠C＝20°.
9
如图，请猜想∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数，并说明你的理由．
解：猜想：∠A＋∠B＋∠C＋∠D
＋∠E＋∠F＝360°.
理由：因为∠A＋∠B＋∠AMB＝180°，∠AMB＋∠BMP＝180°，所以∠BMP＝∠A＋∠B.
同理可得∠ENM＝∠E＋∠F，∠MPC＝∠C＋∠D.
又因为∠BMP＋∠ENM＋∠MPC＝(180°－∠NMP)＋(180°－∠MNP)＋(180°－∠MPN)＝540°－(∠NMP＋∠MNP＋∠MPN)＝360°，
所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°.
此题不能直接求出每个角的度数，但可将这些角放置在不同三角形中，根据三角形内角和等于180°和补角的定义，得出∠BMP＝∠A＋∠B，∠ENM＝∠E＋∠F，∠MPC＝∠C＋∠D，然后运用这些条件并结合三角形内角和等于180°和补角的定义求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．本题体现了数学中的转化思想和整体思想．
【点拨】(共13张PPT)
三角形的中线、角平分线
北师版 七年级下
第4章 认识三角形
4.1.3
1
2
3
4
5
A
A
6
7
答 案 呈 现
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B
D
C
B
8
【教材P88随堂练习T1变式】若AD是△ABC的中线，下列结论错误的是( )
A．AB＝BC B．BD＝DC
C．AD平分BC D．BC＝2DC
A
1
如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2
B
【教材P89习题T2拓展】如图，已知P是△ABC的重心，连接AP并延长交BC于点D，若△ABC的面积为20，则△ADC的面积为( )
A．10 B．8 C．6 D．5
3
A
因为P是△ABC的重心，所以AD是△ABC的中线．所以△ADC的面积等于△ABC面积的一半．又因为△ABC的面积为20，所以△ADC的面积为10.
【点拨】
D
4
如图，AE是△ABC的角平分线，AD是△AEC的角平分线．若∠BAC＝80°，则∠EAD＝( )
A．30° B．45° C．20° D．60°
C
5
【教材P89习题T3变式】【2021·宿迁】如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，则∠BDE的度数是( )
A．30° B．40° C．50° D．60°
6
B
【点拨】
7
如图，在△ABC中，点D在BC上，且∠BAD＝∠CAD，E是AC的中点，BE交AD于点F.图中哪条线段是哪个三角形的角平分线？哪条线段是哪个三角形的中线？
解: AD是△ABC的角平分线，
AF是△ABE的角平分线；
BE是△ABC的中线，
DE是△ADC的中线．
8
在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长和底边长．(共11张PPT)
用“边角边”判定三角形全等
北师版 七年级下
第4章 认识三角形
4.3.3
1
2
3
4
5
C
6
7
答 案 呈 现
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C
B
【教材P104习题T1变式】【2021·重庆】如图，点B，F，C，E共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是( )
A．AB＝DE B．∠A＝∠D
C．AC＝DF D．AC∥FD
C
1
2
如图，已知AB∥CD，AB＝CD，AE＝FD，则图中的全等三角形有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
2
C
如图，OA＝OC，OB＝OD且OA⊥OB，OC⊥OD，则下列结论：①△AOD≌△COB；②CD＝AB；③∠CDA＝∠ABC.其中正确的是( )
A．①② B．①②③
C．①③ D．②③
3
B
【2021·大连】如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF.试说明：BC＝EF.
4
如图，已知BC＝DC，AC＝EC，要用“SAS”来说明△ABC≌△EDC，应补充条件
_______________________________．
5
∠ACB＝∠ECD或∠BCD＝∠ACE
本题已知两组边对应相等，要说明三
角形全等，应找第三组边对应相等或
夹角相等．题目要求用“SAS”，因此
需要补充有关夹角相等的条件．
【点拨】
【2020·镇江】如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E，F分别在AB，BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF.
(1)试说明：∠D＝∠2；
6
(2)若EF∥AC，∠D＝78°，
求∠BAC的度数．
解：因为∠D＝∠2，∠D＝78°，
所以∠2＝78°.
因为EF∥AC，
所以∠BAC＝∠2＝78°.
7
【2021·百色】如图，点D，E分别是AB，AC的中点，BE，CD相交于点O，∠B＝∠C，BD＝CE.
试说明：(1)OD＝OE；
(2)△ABE≌△ACD.(共14张PPT)
用“两角一边”判定三角形全等
北师版 七年级下
第4章 认识三角形
4.3.2
目标一 “角边角”判定三角形全等
1
2
3
4
5
B
6
7
8
答 案 呈 现
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A
C
B
如图，已知△ABC三条边、三个角，则甲、乙两个三角形中和△ABC全等的图形是( )
A．甲 B．乙
C．甲和乙都是 D．都不是
B
1
2
如图，AC＝DF，∠1＝∠2，如果根据“ASA”判定△ABC≌△DEF，那么需要补充的条件是( )
A．∠A＝∠D
B．AB＝DE
C．∠A＝∠E
D．∠B＝∠E
2
A
【2020·铜仁】如图，∠B＝∠E，BF＝EC，AC∥DF.试说明△ABC≌△DEF.
3
【教材P101想一想拓展】【中考·临沂】如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF＝3，则BD的长是( )
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
B
4
如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，BE与AD交于点F，AD＝BD＝5，则AF＋CD的长度为( )
A．10 B．6 C．5 D．4.5
5
C
【2021·吉林】如图，点D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，试说明：AD＝AE.
6
7
【2020·黄石】如图，AB＝AE，AB∥DE，∠DAB＝70°，∠E＝40°.
(1)求∠DAE的度数；
解：因为AB∥DE，∠E＝40°，
所以∠EAB＝∠E＝40°.
因为∠DAB＝70°，
所以∠DAE＝∠DAB－∠EAB＝70°－40°＝30°.
(2)若∠B＝30°，试说明AD＝BC.
8
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，延长AE交BC的延长线于点F.
(1)判断FC与AD的数量关系，并说明理由；
解：FC＝AD.理由如下：
因为AD∥BC，
所以∠D＝∠FCE.
(2)若AB＝BC＋AD，判断BE与AF的位置关系，并说明理由．
所以△ABE≌△FBE(SSS)．
所以∠AEB＝∠FEB.
又因为∠AEB＋∠FEB＝180°，
所以∠AEB＝∠FEB＝90°，
即BE⊥AF.(共13张PPT)
用“两角一边”判定三角形全等
北师版 七年级下
第4章 认识三角形
4.3.2
目标二 “角角边”判定三角形全等
1
2
3
4
5
D
6
7
答 案 呈 现
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A
B
D
已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，∠C＝∠C′，则有△ABC≌△A′B′C′的根据是( )
A．SAS B．SSA C．ASA D．AAS
D
1
2
如图，已知∠ABC＝∠DCB，要使△ABC≌△DCB，则下列条件中正确的是( )
A．∠A＝∠D
B．AC＝BD
C．∠DBC＝∠DCF
D．AF＝FD
2
A
【教材P102习题T3变式】如图，已知AB＝AD，∠C＝∠E，CD，BE相交于点O，下列结论：①BC＝DE；②CD＝BE；③△BOC≌△DOE.
其中正确的结论有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
3
D
如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，有下列结论：①∠EAC＝∠FAB；②CM＝BN；③CD＝DN；④△ACN≌△ABM.其中正确的有( )
A．4个 B.3个 C.2个 D.1个
B
4
因为∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，
所以△ABE≌△ACF(AAS)．
所以∠FAC＝∠EAB，AC＝AB.
所以∠EAC＝∠FAB，故①正确．
因为∠E＝∠F＝90°，AE＝AF，
∠EAM＝∠FAN，
所以△EAM≌△FAN(ASA)．
【点拨】
所以AM＝AN. 因为AC＝AB，
所以CM＝BN，故②正确．
因为∠MAN为公共角，∠B＝∠C，AC＝AB，
所以△ACN≌△ABM(ASA)，故④正确．
因为MC＝BN，∠B＝∠C，∠CDM＝∠BDN，
所以△DMC≌△DNB(AAS)．
所以DC＝DB，故③错误． 故选B.
【2021·广州】如图，点E，F在线段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF，试说明：AE＝DF.
5
【2021·无锡】已知：如图，AC，DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO.
试说明：(1)△ABO≌△DCO；
6
(2)∠OBC＝∠OCB.
解：由(1)知，△ABO≌△DCO，
所以OB＝OC.
所以∠OBC＝∠OCB.
7
【2021·黄石】如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF.
(1)试说明：△ADE≌△CFE；
(2)若AB＝5，CF＝4，求BD的长．
解：因为△ADE≌△CFE，
所以AD＝CF＝4.
所以BD＝AB－AD＝5－4＝1.
(共28张PPT)
练素养
北师版 七年级下
第4章 认识三角形
集训课堂
构造全等三角形的四大技法
1
2
3
4
5
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6
7
8
如图，AB＝AC，BD＝CD.
(1)试说明：∠B＝∠C；
1
解：连接AD并延长至E，如图所示．
(2)若∠A＝2∠B，试说明：∠BDC＝4∠C.
解：因为∠BDE＝∠BAD＋∠B，∠CDE＝∠CAD＋∠C，
所以∠BDC＝∠BDE＋∠CDE＝∠BAD＋∠CAD＋∠B＋∠C， 即∠BDC＝∠BAC＋∠B＋∠C.
因为∠BAC＝2∠B，∠B＝∠C， 所以∠BDC＝4∠C.
2
如图，在一个风筝ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，分别在AB，AD的中点E，F处挂两根彩线EC，FC.
试说明：EC＝FC.
解：如图，连接AC.
3
如图，已知AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上．试说明：BC＝AB＋CD.
解：如图，在BC上取一点F，使BF＝BA，连接EF.
4
5
如图，已知CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC.试说明：CD＝2CE.
解：如图，延长CE到点F，使EF＝CE，连接FB，则CF＝2CE.
6
如图，△ABC中，点E，D在BC边上，CD＝AB，∠BAD＝∠BDA，点E是BD的中点．试说明：∠C＝∠BAE.
解：如图，延长AE至F，使EF＝AE，连接DF.
解：因为点E为BD的中点，
所以BE＝DE.
又因为∠BEA＝∠DEF，AE＝FE，
所以△ABE≌△FDE(SAS)．
所以AB＝DF，∠B＝∠BDF，∠BAE＝∠F.
因为CD＝AB，
所以DF＝DC.
因为∠ADC＝∠B＋∠BAD，∠ADF＝∠BDA＋∠BDF，∠BAD＝∠BDA，∠B＝∠BDF，
所以∠ADC＝∠ADF.
又因为DF＝DC，AD＝AD，
所以△ADF≌△ADC(SAS)． 所以∠C＝∠F.
又因为∠BAE＝∠F，
所以∠C＝∠BAE.
7
如图，△ABC中，∠C＝90°，过点B作BE⊥AB于B，BD⊥BC于B，且BE＝BA，BD＝BC，连接DE，延长CB交DE于点F.试说明：EF＝DF.
解：如图，过点E作EG⊥BF，交BF的延长线于点G.
解：因为BE⊥AB，∠C＝90°，
所以∠A＋∠ABC＝90°，∠ABC＋∠EBG＝90°.
所以∠EBG＝∠A.
又因为BE＝AB，∠G＝∠C＝90°，
所以△EBG≌△BAC(AAS)．
所以EG＝BC.
因为BD＝BC， 所以EG＝BD.
因为BD⊥BC，
所以∠DBF＝90°.所以∠DBF＝∠G.
又因为∠EFG＝∠DFB，
所以△EFG≌△DFB(AAS)．
所以EF＝DF.
8
如图，已知∠BAC＝90°，AB＝AC，M为AC边的中点，AD⊥BM于点E，交BC于点D，连接DM.
试说明：∠AMB＝∠CMD.
解：作∠BAC的平分线AG交BM于点G，如图所示．(共18张PPT)
三角形的角
北师版 七年级下
第4章 认识三角形
4.1.1
目标二 直角三角形
1
2
3
4
5
A
C
6
7
8
答 案 呈 现
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9
D
B
C
B
B
已知∠A＝37°，∠B＝56°，则△ABC为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上都有可能
A
1
2
D
【教材P82议一议变式】下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是( )
3
C
A. 最大内角是锐角，是锐角三角形；
B．最大内角是直角，是直角三角形；
D．最大内角是钝角，是钝角三角形；
C．无法确定最大内角的种类，故无法判断三角形类型．
【点拨】
如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
B
4
【2021·乐山】如图，已知直线l1，l2，l3两两相交，且l1⊥l3，若α＝50°，则β的度数为( )
A．120° B．130° C．140° D．150°
C
5
【2020·沈阳】如图，AB∥CD，且AC⊥CB于点C，若∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为( )
A．65° B．55° C．45° D．35°
6
B
因为AC⊥CB，
所以∠ACB＝90°.
所以∠ABC＝90°－∠BAC＝55°.
因为AB∥CD，
所以∠BCD＝∠ABC＝55°.
【点拨】
7
【2021·毕节】将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为( )
A．70° B．75° C．80° D．85°
B
如图所示．
因为∠2＝90°－30°＝60°，
所以∠3＝180°－45°－60°＝75°.
因为a∥b，
所以∠1＝∠3＝75°.
【点拨】
8
根据下列条件，判断△ABC的形状：
(1)【教材P84随堂练习T2变式】若∠A＝40°，∠B＝80°，则△ABC是______三角形；
锐角
(2)若∠A?：∠B?：∠C＝2?：3?：7，则△ABC是________三角形．
钝角
本题按角判断三角形类型时，易出现没按最大角进行判断的错误
【点拨】
9
如图①，△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E.
(1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由；
解：∠1＝∠2.理由如下：
因为AD⊥BC，CE⊥AB，
所以△ABD和△BCE都是直角三角形．
所以∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°.
所以∠1＝∠2.
解：结论仍然成立．理由如下：
因为AD⊥BC，CE⊥AB，
所以∠D＝∠E＝90°.
所以∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°.
因为∠3＝∠4，
所以∠1＝∠2.
(2)如果∠ABC是钝角，如图②，(1)中的结论是否还成立？请说明理由．
(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，图中有与∠A相等的角吗？为什么？
解：有．
理由：因为CD⊥AB，
所以∠B＋∠BCD＝90°.
因为∠ACB＝90°，
所以∠B＋∠A＝90°.
所以∠BCD＝∠A.
10
解：有．
理由：因为ED⊥AB，
所以∠B＋∠BED＝90°.
因为∠ACB＝90°，
所以∠B＋∠A＝90°.
所以∠BED＝∠A.
(2)如图②，把图①中的D点向右移动，作ED⊥AB交BC于E，图中还有与∠A相等的角吗？为什么？(共38张PPT)
全章热门考点整合应用
北师版 七年级下
第4章 认识三角形
C
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D
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答 案 呈 现
13
14
15
如图所示．
(1)图中共有几个三角形？请分别表示出来．
(2)以∠AEC为内角的三角形有哪些？
解：图中共有8个三角形，分别是△ABC，△ABD，△AEO，△AEC，△ADC，△AOC，△ODC，△EBC.
1
解：以∠AEC为内角的三角形有△AEO，
△AEC.
(3)以∠ADC为内角的三角形有哪些？
(4)以BD为边的三角形有哪些？
解：以∠ADC为内角的三角形有△ADC，△ODC.
解：以BD为边的三角形只有△ABD.
用字母表示一个三角形时，不要漏写符号“△”．在复杂图形中数三角形个数的方法：(1)按图形形成的过程去数(即重新画一遍图形，按照三角形形成的先后顺序去数)；(2)按组成三角形的图形个数去数；(3)可从图中的某一条边开始沿着一定方向去数；(4)先固定一个顶点，按照一定的顺序不断变换另外两个顶点去数．
【点拨】
如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AD⊥BC于点D，AE平分∠DAC，∠B＝60°，求∠DAE的度数．
2
解：因为AD⊥BC，
所以∠BDA＝90°.
因为∠B＝60°，
所以∠BAD＝180°－90°－60°＝30°.
下列图形中，是全等图形的有( )
A．2组 B．3组 C．4组 D．5组
3
C
如图，已知△ABE与△ACD全等，∠1＝∠2，∠B＝∠C.指出全等三角形中的对应边和对应角．
4
解：AB与AC，AE与AD，BE与CD是对应边；∠B与∠C，∠2与∠1，∠BAE与∠CAD是对应角．
A，B，C，D四个工艺品厂的位置如图所示，准备修建一个公共展厅来展销这四个厂的产品，公共展厅建在何处，才能使四个工艺品厂到公共展厅的距离之和最短，并说明理由．
5
解：如图，连接AC，BD，交于点O，公共展厅建在O处，才能使四个工艺品厂到公共展厅的距离之和最短．
理由如下：
在平面上任取一点P，P与O不重合，连接PA，PB，PC，PD，
则PA＋PC>AC，PB＋PD>BD，
即PA＋PC＋PB＋PD>AC＋BD＝AO＋BO＋CO＋DO，
所以建在点O处，四个工艺品厂到公共展厅的距离之和最短．
将实际问题转化为数学模型，利用数学知识解决．
【点拨】
6
【2020·宁夏】如图摆放的一副学生用直角三角尺，∠F＝30°，∠C＝45°，AB与DE相交于点G，当EF∥BC时，∠EGB的度数是( )
A．135°
B．120°
C．115°
D．105°
D
过点G作GH∥BC，则GH∥EF，所以∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E.又因为△DEF和△ABC都是直角三角形，∠F＝30°，∠C＝45°，所以∠E＝60°，∠B＝45°，则由∠EGB＝∠HGE＋∠HGB即可得出答案．
【点拨】
7
解：因为△BCD≌△ACE，
所以S△BCD＝S△ACE.
又因为S四边形AECD＝S△ACE＋S△ACD，
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，且AC＝BC＝4 cm.已知△BCD≌△ACE，求四边形AECD的面积．
由△BCD≌△ACE，得S△BCD＝S△ACE.从而得到S四边形AECD＝S△ACB.
【点拨】
如图，已知AB＝DC，AD＝BC，O是DB的中点，过点O的直线分别交DA和BC的延长线于点E，F.
试说明：∠E＝∠F.
8
9
【2020·黄石】如图，AB＝AE，AB∥DE，∠DAB＝70°，∠E＝40°.
(1)求∠DAE的度数；
解：因为AB∥DE，∠E＝40°，
所以∠EAB＝∠E＝40°.
因为∠DAB＝70°，
所以∠DAE＝∠DAB－∠EAB＝70°－40°＝30°.
(2)若∠B＝30°，试说明：AD＝BC.
10
【2020·内江】如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D.
(1)试说明：AB＝CD；
解：因为AB∥CD，
所以∠B＝∠C.
又因为∠A＝∠D，AE＝DF，
所以△ABE≌△DCF(AAS)．
所以AB＝CD.
(2)若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．
11
如图，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM，试说明：∠B＝∠ANM.
解：解：因为∠BAC＝∠DAM，
所以∠BAD＋∠DAC＝∠DAC＋∠NAM，
所以∠BAD＝∠NAM.
12
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于点D，过点C作BD的垂线交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F.试说明：
(1)BF＝BC；
解：因为BE平分∠ABC，
所以∠FBE＝∠CBE.
因为CE⊥BE，
12
所以∠FEB＝∠CEB＝90°.
又因为BE＝BE，
所以△FBE≌△CBE(ASA)．
所以BF＝BC.
(2)BD＝2CE.
解：因为∠BAC＝∠FAC＝90°，∠FEB＝90°，
所以∠ABD＋∠F＝∠ACF＋∠F＝90°.
所以∠ABD＝∠ACF.又因为AB＝AC，∠BAD＝∠CAF，
所以△BDA≌△CFA(ASA)． 所以BD＝CF.
又因为△FBE≌△CBE， 所以EF＝EC，即CF＝2EC.
所以BD＝2CE.
解答第(2)小题时，BD与CE不在同一条直线上，也不在同一个三角形中，要说明它们成倍数关系，就要联想到将其中一条线段转化到与另一条线段有关的线段上．
【点拨】
13
如图，AB＝DC，∠A＝∠D.
试说明：∠ABC＝∠DCB.
解：如图，分别取AD，BC的中点N，M，连接BN，CN，MN，
则有AN＝ND，BM＝MC.
所以△NBM≌△NCM(SSS)．
所以∠NBM＝∠NCM.
所以∠NBM＋∠ABN＝∠NCM＋∠DCN.
所以∠ABC＝∠DCB.
说明三角形全等时常需添加适当的辅助线，辅助线的添加以能创造已知条件为上策．如本题取AD，BC的中点就是把中点作为已知条件，这也是几何说明中的一种常用技巧．
【点拨】
如图，在△ABC中，∠BAC＝4∠ABC＝4∠C，BD⊥CA交CA的延长线于点D，求∠ABD的度数．
14
解：设∠C＝x°，则∠ABC＝x°，∠BAC＝4x°.
在△ABC中，x＋x＋4x＝180，
解得x＝30.
所以∠BAC＝120°.所以∠DAB＝60°.
因为BD⊥AC，
所以∠ABD＝90°－∠DAB＝90°－60°＝30°.
已知条件中告诉了角的倍分关系时，我们一般用方程求解角的度数较简便．
【点拨】
农科所有一块五边形的试验田如图所示，已知在五边形ABCDE中，∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝20 m，求这块试验田的面积．
15
解：如图，延长DE至点F，使EF＝BC，连接AC，AD，AF.
易得CD＝FD.
由于五边形试验田是一个不规则的多边形，要直接求其面积不容易，故运用转化思想把五边形转化为规则的图形再求面积．
【点拨】(共17张PPT)
三角形的边
北师版 七年级下
第4章 认识三角形
4.1.2
目标二 三角形的三边关系
1
2
3
4
5
B
C
6
7
答 案 呈 现
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C
4
C
8
9
10
B
D
B
【教材P86习题T1变式】下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A．3，4，8 B．5，6，10
C．5，5，11 D．5，6，11
B
1
2
C
【2021 宜宾】若长度分别是a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是( )
A．1 B．2 C．4 D．8
【中考 自贡】已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
3
C
设第三边长为x.
根据三角形的三边关系，得4－1＜x＜4＋1，即3＜x＜5.
因为x为整数，所以x的值为4.
所以三角形的周长为1＋4＋4＝9.
【点拨】
【2021 淮安】一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是________．
4
4
已知n是正整数，若一个三角形的三边长分别是2，8，n，则满足条件的n的值有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
5
如图所示是一个直三棱柱的表面展开图，其中AD＝10，CD＝2，则下列可作为AB长的是( )
A．5 B．4
C．3 D．2
6
B
AB＋BC＋CD＝AD，且AB，BC，CD的长要满足三角形三边关系．
【点拨】
7
【2021 南京】下列长度的三条线段与长度为5的线段首尾依次相连能组成四边形的是( )
A．1，1，1 B．1，1，8
C．1，2，2 D．2，2，2
D
8
【2020 毕节】【教材P87习题T2拓展】已知等腰三角形两边的长分别为3和7, 则此等腰三角形的周长为( )
A．13 B．17
C．13或17 D．13或10
B
分两种情况讨论．
若底边长为3，腰长为7，则此等腰三角形的周长为3＋7＋7＝17；
若底边长为7，腰长为3，因为3＋3＜7，不符合三角形的三边关系，所以此等腰三角形不存在．
本题易忽视组成三角形的条件而错选C.
【点拨】
9
已知△ABC的三边长分别为a，b，c.
(1)若a，b，c满足(a－b)2＋(b－c)2＝0，试判断△ABC的形状；
解：因为(a－b)2＋(b－c)2＝0，所以a－b＝0，b－c＝0，即a＝b＝c，所以△ABC是等边三角形．
(2)若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值及最小值．
解：由三角形三边关系可知5－2＜c＜5＋2，即3＜c＜7，因为c为整数，所以cmax＝6，cmin＝4，所以△ABC周长的最大值为13，最小值为11.
如图，P是△ABC内部的一点．
(1)度量AB，AC，PB，PC的长，根据度量结果比较AB＋AC与PB＋PC的大小；
10
解：度量结果略．AB＋AC>PB＋PC.
(2)改变点P的位置，上述结论还成立吗？
解：成立．
(3)你能说明上述结论为什么成立吗？
解：如图，延长BP交AC于点D.
在△ABD中，AB＋AD>PB＋PD；①
在△PDC中，PD＋DC>PC.②
①＋②，得AB＋AD＋PD＋DC>PB＋PD＋PC，
即AB＋AC>PB＋PC.(共12张PPT)
图形的全等
北师版 七年级下
第4章 认识三角形
4.2
目标一 全等三角形的定义
1
2
3
4
5
B
6
7
8
答 案 呈 现
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C
C
下列图形中与已知图形全等的是( )
B
1
2
下列说法中正确的有( )
①用一张底片冲洗出来的10张1寸相片是全等形；
②我国国旗上的4颗小五角星是全等形；
③所有的正方形是全等形；
④全等形的面积一定相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2
C
如图，△AOC≌△BOD，点A与点B，点C与点D是对应点，下列结论中错误的是( )
A．∠A与∠B是对应角
B．∠AOC与∠BOD是对应角
C．OC与OB是对应边
D．OC与OD是对应边
3
C
如图，沿直线AC对折，△ABC与△ADC重合，则△ABC≌________，AB的对应边是________，∠BCA的对应角是________．
△ADC
4
AD
∠DCA
【原创题】如图，△AOC和△BOD全等，且C与D为对应顶点，∠AOC和∠BOD为对应角．
(1)表示这两个三角形全等：_____________________；
(2)OC的对应边是________；
(3)∠D的对应角是________．
△AOC≌△BOD
5
OD
∠C
如图，△ABC≌△CDA，下列结论：
①AB与AD是对应边；
②AC与CA是对应边；
③∠BAC与∠DAC是对应角；
④∠CAB与∠ACD是对应角．
其中正确的是________(填序号)．
6
②④
找准对应顶点是关键．由△ABC≌△CDA可知，点B与点D，点C与点A是对应顶点，从而得出AB与CD是对应边，AC与CA是对应边，∠BCA与∠DAC是对应角，∠CAB与∠ACD是对应角，故②④正确，①③错误．
【点拨】
7
如图，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB和AC是对应边，写出其他对应边和对应角．
解：其他对应边有AN和AM，BN和CM，其他对应角有∠BAN和∠CAM，∠ANB和∠AMC.
8
如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M.
(1)表示这两个三角形全等；
解：△ABF≌△DCE.
(2)写出对应边及对应角．
解：对应边有AB与DC，AF与DE，BF与CE；对应角有∠A与∠D，∠B与∠C，∠AFB与∠DEC.(共16张PPT)
三角形的边
北师版 七年级下
第4章 认识三角形
4.1.2
目标一 认识等腰三角形
1
2
3
4
5
C
A
6
7
答 案 呈 现
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B
D
C
如图，在△ABC中，BC＝BA，点D在AB上，且AC＝CD＝DB，则图中的等腰三角形有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．0个
C
1
2
B
【教材P85材料变式】下列说法：
①有两边不等的三角形一定不是等腰三角形；
②等边三角形是特殊的等腰三角形；
③等腰三角形是特殊的等边三角形；
④有两边相等的三角形一定是等腰三角形．
其中，正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
①底和腰不等的等腰三角形满足两边不等，错误；②等边三角形是特殊的等腰三角形，正确；由②知③错误；④有两边相等的三角形一定是等腰三角形，正确．
故选B.
【点拨】
【原创题】一个三角形的三边长之比是2?:2?:1，周长是10，此三角形按边分是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．不等边三角形 D．以上都不对
3
A
下列说法正确的是( )
①等腰三角形是等边三角形；②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；③等腰三角形至少有两条边相等．
A．①②③ B．②③ C．①③ D．③
D
4
等腰三角形包含等边三角形，三角形按边分类可分为等腰三角形和不等边三角形．分清等腰三角形和等边三角形的关系是解题关键．
【点拨】
给出下列说法：
①等边三角形是等腰三角形；②等腰三角形也可能是直角三角形；③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
5
三角形按边分类时，易把等腰三角形与等边三角形分成两类而出现重复致错．
【点拨】
如图，过A，B，C，D，E五个点中的三点画三角形．
(1)在图中画出以AB为边的三角形；
6
解：所画三角形如图所示．
(2)量一量，说出(1)中所画的等腰三角形和不等边三角形．
解：等腰三角形有△ABD，不等边三角形有△ABC，△ABE.
7
如图，第1个图形是一个等边三角形，分别连接这个三角形三条边的中点得到第2个图形，再分别连接第2个图形中间的小三角形三条边的中点得到第3个图形……按此方法继续下去，请你根据每个图形中三角形的个数的规律，完成下列问题：
(1)将下表填写完整：
13
17
(2)第n个图形中有________个三角形(用含n的代数式表示)．
(4n－3)
分析图形，知第2个图形在第1个图形的基础上增加4个三角形，第3个图形在第2个图形的基础上又增加4个三角形，以此类推，每操作一次，增加4个三角形，因此第4个图形比第3个图形多4个三角形，
【点拨】
即9＋4＝13(个)；第5个图形比第4个图形多4个三角形，即13＋4＝17(个)．则第n个图形比第1个图形多4(n－1)个三角形，即第n个图形中有4(n－1)＋1＝4n－3(个)三角形．(共16张PPT)
练素养
北师版 七年级下
第4章 认识三角形
集训课堂
三角形三边关系的六种常见类型
1
2
3
4
5
答 案 呈 现
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6
B
【教材P86习题T1变式】【中考 长沙】下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A．4 cm，5 cm，9 cm
B．8 cm，8 cm，15 cm
C．5 cm，5 cm，10 cm
D．6 cm，7 cm，14 cm
1
B
2
小明准备用长20 cm，90 cm，100 cm的三根木条钉成一个三角形架，由于不小心，将长100 cm的一根折去了一部分，怎么也钉不成三角形架．
(1)小明把长100 cm的木条至少折去了多长？
解：设把长100 cm的木条折去x cm，可以钉成三角形架，则90－20＜100－x＜90＋20，
解得－10＜x＜30，则0＜x＜30.
所以把长100 cm的木条至少折去30 cm时，钉不成三角形架．
即小明把长100 cm的木条至少折去了30 cm.
(2)如果把长100 cm的木条折去了40 cm，你能通过截木条的办法，帮助小明钉成一个三角形架吗？
解：100－40＝60(cm)． 设将长90 cm的木条截去y cm可以钉成三角形架， 则60－20＜90－y＜60＋20，解得10＜y＜50. 因此，将长90 cm的木条截去一段，使其截去长度在10 cm～50 cm之间(不包括10 cm和50 cm)，就能钉成三角形架．
3
【教材P87习题T2变式】等腰三角形的周长为21 cm.
(1)若已知腰长是底边长的3倍，求各边长；
解：设底边长为x cm，则腰长为3x cm.
列方程，得x＋3x＋3x＝21，解得x＝3，
所以3x＝9.
因为3＋9＞9，所以能构成三角形．
所以三角形的三边长分别是3 cm，9 cm，9 cm.
(2)若已知一边长为5 cm，求其他两边长．
解：①当5 cm为腰长时，底边长为21－5－5＝11(cm)，
三边长是5 cm，5 cm，11 cm.
因为5＋5＜11， 所以不能构成三角形．
4
在平面内，分别用3根、5根、6根……火柴棒首尾顺次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下：
(1)用4根火柴棒能搭成三角形吗？
解：用4根火柴棒不能搭成三角形．
解：用8根火柴棒能搭成一种三角形，示意图如图①所示；
用12根火柴棒能搭成三种不同形状的三角形，即：(4，4，4)，(5，5，2)，(3，4，5)，示意图如图②所示．
(2)用8根、12根火柴棒分别能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示意图．
5
已知a，b，c是△ABC的三边长，b，c满足(b－2)2＋|c－3|＝0，且a为方程|x－4|＝2的解，求△ABC的周长．
解：因为(b－2)2≥0，|c－3|≥0，且(b－2)2＋|c－3|＝0，
所以(b－2)2＝0，|c－3|＝0，
解得b＝2，c＝3.
由a为方程|x－4|＝2的解，可知a－4＝2或a－4＝－2，即a＝6或a＝2.
当a＝6时，有2＋3＜6，不能组成三角形，故舍去；
当a＝2时，有2＋2＞3，符合三角形的三边关系．
所以a＝2，b＝2，c＝3.
所以△ABC的周长为2＋2＋3＝7.
6(共24张PPT)
利用三角形全等测距离
北师版 七年级下
第4章 认识三角形
4.5
1
2
3
4
5
B
A
6
7
答 案 呈 现
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B
D
2.5 m
8
9
10
【教材P109习题T1变式】如图，为了测量出A，B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定点D，使CD＝BC，那么只要测量出AD的长度也就得到了A，B两点之间的距离，这样测量的依据是( )
A．AAS B．SAS
C．ASA D．SSS
B
1
因为AC⊥BD，所以∠ACB＝∠ACD＝90°.在△ACB和△ACD中，AC＝AC，∠ACB＝∠ACD，CB＝CD，所以△ACB≌△ACD(SAS)．所以AB＝AD(全等三角形的对应边相等)．
【点拨】
【教材P109习题T2变式】如图，A，B在一水池两侧，若BE＝DE，∠B＝∠D＝90°，CD＝10 m，则水池长AB为( )
A．8 m B．10 m C．12 m D.无法确定
2
B
【点拨】
如图，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使AA′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，由三角形全等得出A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是( )
A．边角边 B．角边角
C．边边边 D．角角边
3
A
如图，某校学生为测量B点到河对面的目标A之间的距离，他们在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝70°，∠ACB＝40°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝70°，那么他们还应做什么才能测得A，B之间的距离？( )
A．直接测量BM
B．测量BC
C．测量∠A的度数
D．作∠BCN＝40°交MB于点N
D
4
由题意知，∠ABC＝∠CBM，BC为公共边，选项D符合“ASA”判定条件．
【点拨】
如图，有两个滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，左边滑梯水平方向的长度AB与右边滑梯的高度DE相等，测得BC＝2.5 m，则EF＝__________．
2.5 m
5
由题意得AC＝DF，AB＝DE.又因为∠BAC＝∠EDF，所以△BAC≌△EDF(SAS)．所以EF＝BC＝2.5 m.
【点拨】
如图是由两根钢丝固定的高压电线杆，按要求当两根钢丝与电线杆的夹角相同时，固定效果最好．现已知两根钢丝触地点到电线杆的距离相等，那么请你判断图中两根钢丝的固定效果是否最好，并说明理由．(电线杆的粗细忽略不计)
6
本题易误认为AB＝AC，由BO＝CO，AO＝AO判定△ABO≌△ACO而出错．
【点拨】
7
如图，小刚站在河边的点A处，在河的对面(小刚的正北方向)的点B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树点C处，接着再向前走了30步到达点D处，然后他左转90°直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线上时，他共走了140步．
(1)根据题意，画出示意图；
(2)如果小刚一步大约50 cm，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离，并说明理由．
解:所画示意图如图所示．
解:小刚在点A处时他与电线塔的距离约为40 m．
理由如下：
8
【教材P108想一想变式】【2021·柳州】如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题的说明．
CA
∠DCE＝∠ACB
CB
DE＝AB
9
如图，某市新开发了一个旅游景点，湖心有一个小岛C，现需要在湖心小岛C上修建一个度假村，因此要测量景点A，B与C的距离．设计人员拟出下列方案：画出∠BAM＝∠CAB，∠ABN＝∠ABC，射线AM与射线BN交于点D，于是只需量出AD，BD的长，就知道AC，BC的长．这个方法可行吗？根据是什么？你还能设计出其他方案吗？
解：这个方法可行．
根据“ASA”可得△ABC≌△ABD，则AC＝AD，BC＝BD.其他方案略．
某校七年级同学到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙两名同学分别设计如下两种方案：
甲：如图①，先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至点D，延长BC至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的长就是A，B的距离．
10
乙：如图②，过点B作BD⊥AB，在AB的延长线上取一点C，使∠BDC＝∠BDA，这时测出BC的长就是A，B的距离．
以上两名同学所设计的方案可行吗？为什么？
解：两名同学所设计的方案可行．
理由：两名同学作出的都是全等三角形，甲同学利用的是“边角边”，乙同学利用的是“角边角”，都是根据全等三角形的对应边相等测量的，所以都是可行的．(共13张PPT)
用“边边边”判定三角形全等
北师版 七年级下
第4章 认识三角形
4.3.1
目标二 三角形的稳定性
1
2
3
4
5
D
6
7
8
答 案 呈 现
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A
B
B
A
下列图形中具有稳定性的是( )
A．正方形 B．长方形
C．平行四边形 D．直角三角形
D
1
2
【中考 河北】下列图形具有稳定性的是( )
2
A
下列图形中不具有稳定性的是( )
3
B
【中考 茂名】如图所示，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，
这是应用了三角形的哪个性质？答：________．(填“稳定性”或“不稳定性”)
稳定性
4
【教材P99习题T1变式】如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边上的中点，为了使它更加稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在( )
A．A，C两点之间 B．E，G两点之间
C．B，F两点之间 D．G，H两点之间
5
B
如图所示的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接而构成的，它的形状不稳定．如果用在图中木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，那么至少需要添加螺栓( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6
A
7
根据所了解的平面图形的特性说明下列设计中的数学原理：
(1)用两个钉子把木条固定在墙上；
解：两点确定一条直线．
(2)有一个不稳当的凳子，一名同学找来两根木条钉成如图①所示的样子；
解：三角形具有稳定性．
(3)如图②，用三个边长相同的四边形做成的挂衣架．
解：四边形具有不稳定性．
8
【教材P98材料变式】如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条．要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使六边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，又至少要钉多少根木条？
(2)要使十二边形木架不变形，至少要钉______根木条；
(3)有一个多边形木架，至少要钉18根木条才能使它不变形，则这个多边形的边数是________．
2
3
n－3
9
21(共11张PPT)
用“边边边”判定三角形全等
北师版 七年级下
第4章 认识三角形
4.3.1
目标一 “边边边”判定三角形全等
1
2
3
4
5
C
6
答 案 呈 现
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D
B
如图，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CE，则直接由“SSS”可以判定( )
A．△ABD≌△ACD B．△BDE≌△CDE
C．△ABE≌△ACE D．以上都不对
C
1
2
D
如图，已知AE＝AD，AB＝AC，EC＝DB，有下列结论：①∠C＝∠B；②∠D＝∠E；③∠EAD＝∠BAC；④∠B＝∠E.其中错误的是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．④
【2021·云南】如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC＝BD，AC与BD相交于点E.试说明：∠DAC＝∠CBD.
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如图，已知AB＝AC，AE＝AD，点B，D，E，C在同一条直线上，要利用“SSS”推理得出△ABE≌△ACD，还需要添加的一个条件可以是( )
A．BD＝DE B．BD＝CE
C．DE＝CE D．以上都不对
B
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如图，已知线段AB，CD相交于点O，AD，CB的延长线交于点E，OA＝OC，EA＝EC.
(1)试说明∠A＝∠C；
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(2)在(1)的解答过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？
解：构造全等三角形．
本题运用了构造法，通过连接OE，构造△OAE和△OCE，将欲说明相等的∠A，∠C分别置于这两个三角形中，然后通过说明这两个三角形全等可得∠A＝∠C.
【点拨】
如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上的一点，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F.若CE＝BF，AE＝EF＋BF，试判断AC与BC的位置关系，并说明理由．
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解：AC⊥BC.理由如下：
因为CE＝BF，AE＝EF＋BF，CF＝CE＋EF，
所以AE＝CF.