(共14张PPT)
轴对称现象
北师版 七年级下
第5章 生活中的轴对称
5.1
1
2
3
4
5
B
D
6
7
答 案 呈 现
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A
B
B
C
8
【教材P117习题T3变式】【2021 鄂州】“国士无双”是人民对“杂交水稻之父”袁隆平院士的赞誉．下列四个汉字中是轴对称图形的是( )
B
1
【教材P116随堂练习变式】【2021 衡阳】在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )
2
A
【2021 枣庄】将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为轴对称图形的是( )
3
D
B
4
如图，关于虚线成轴对称的有( )个．
A．1 B．2 C．3 D．4
下列各组图形中，右边的图形与左边的图形成轴对称的有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
B
5
【中考 广州】如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有( )
A．1条 B．3条
C．5条 D．无数条
6
C
五角星共有5条对称轴，如图所示．
【点拨】
7
在学习“轴对称现象”内容时，邱老师让同学们寻找身边的轴对称图形，小明有一副三角尺和一个量角器(如图所示)．
(1)小明的这些文具中，可以看成轴对称图形的是________(填字母代号)；
B,C
(2)请用这些文具中的两个拼成一个轴对称图案，画出草图(只需画出一种)．
解：答案不唯一，如图所示(任选一种)．
8
认真观察图①中的四个图中阴影部分构成的图案，其中每个小正方形的边长为1，回答下列问题：
(1)请写出这四个图案都具有的两个特征．
特征1：___________________________________；
特征2：___________________________________.
都是轴对称图形；
面积都是4(合理即可)
(2)请在图②中设计一个你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征．
解：答案不唯一，只要画出一个满足条件的图案即可．如图所示．(共32张PPT)
北师版 七年级下
第5章 生活中的轴对称
测素质
集训课堂
轴对称
D
B
1
2
3
4
5
B
A
6
7
8
D
答 案 呈 现
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9
B
10
11
12
C
B
130°
2
80°
4
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答 案 呈 现
13
14
15
16
17
18
19
6
【中考 湘西州】下列四个图形中，是轴对称图形的是( )
1
D
如图，CD是线段AB的垂直平分线，若AC＝1.6 cm，BD＝2.3 cm，则四边形ACBD的周长是( )
A．3.9 cm B．7.8 cm C．4 cm D．4.6 cm
2
B
如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3
B
如图，已知DE∥BC，AB＝AC，∠1＝125°，则∠C的度数是( )
A．55° B．45° C．35° D．65°
A
4
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，那么下列结论不一定成立的是( )
A．△ABD≌△ACD
B．AD是△ABC的高线
C．AD是△ABC的角平分线
D．△ABC是等边三角形
5
D
6
B
如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝24°.线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE等于( )
A．78° B．60° C．54° D．50°
7
C
如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F.下列说法：
①DE＝DF；②AE＝AF；③DA平分∠EDF；
④AD⊥BC；⑤图中共有3对全等三角形．
其中正确的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8
B
如图是小明制作的风筝，为了平衡做成了轴对称图形．已知OC所在直线是对称轴，∠A＝35°，∠BCO＝30°，那么∠AOB＝________．
9
130°
如图，从标有数字1，2，3，4的四个小正方形中拿走一个，使剩余部分成为一个轴对称图形，则应该拿走的小正方形的标号是________．
10
2
如图，在△ADC中，B是AC上一点，AD＝BD＝BC，若∠C＝25°，则∠ADB＝________.
11
80°
如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E.若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距离为________．
12
4
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6 cm，则△BED的周长是________．
13
6 cm
14
如图，AD是等边三角形ABC的BC边上的高，AD＝6，M是AD上的动点，E是AC边的中点，则EM＋CM的最小值为________．
6
【中考·天门】请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
(1)如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，画出四边形ABCD的对称轴m；
15
解：如图①，直线m即为所求．
(2)如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D，画出BC边的垂直平分线n.
解：如图②，直线n即为所求．
16
如图，点D是△ABC中BC边上的一点，且AB＝AC＝CD，AD＝BD，求∠BAC的度数．
解：因为AD＝BD， 所以∠BAD＝∠DBA.
设∠BAD＝∠DBA＝x°.
因为AB＝AC＝CD，
所以∠CAD＝∠CDA＝180°－∠BDA＝∠BAD＋∠DBA＝2x°，∠DBA＝∠C＝x°.
所以∠BAC＝∠CAD＋∠BAD＝3x°.
因为∠ABC＋∠BAC＋∠C＝180°，
所以5x＝180.
所以x＝36.
所以∠BAC＝108°.
17
【中考·福建】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点，并说明AP＝AQ.
(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
解：如图，BQ就是∠ABC的平分线．
如图，作AM⊥PQ于点M，
则∠AMP＝∠AMQ＝90°.
因为AD⊥BC，
所以∠ADB＝90°.
所以∠BPD＋∠PBD＝90°.
因为∠BAC＝90°，
所以∠AQP＋∠ABQ＝90°.
因为∠ABQ＝∠PBD，
所以∠BPD＝∠AQP.
因为∠BPD＝∠APQ，
所以∠APQ＝∠AQP.
18
【2021·成都青羊模拟】如图，在△ABD中，AB＝AD，AC平分∠BAD，交BD于点E.
(1)试说明：△BCD是等腰三角形；
(2)若∠ABD＝50°，∠BCD＝130°，求∠ABC的度数．
19
在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F.
(1)如图①，当点D在BC的什么位置时，DE＝DF？并说明你的结论．
解：当点D在BC的中点时，DE＝DF.
说明如下：连接AD.
因为AB＝AC，D为BC的中点，
所以AD平分∠BAC.
因为DE⊥AB，DF⊥AC，
所以DE＝DF.
(2)如图②，过点C作AB边上的高CG，则DE，DF，CG的长之间存在怎样的等量关系？并加以说明．(共20张PPT)
等腰三角形的性质
北师版 七年级下
第5章 生活中的轴对称
5.3.1
目标三 等边三角形的性质
1
2
3
4
5
C
C
6
7
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A
A
C
1
如图，△ABC是等边三角形，高BD与CE交于点O，则∠BOC等于( )
A．60° B．90° C．120° D．150°
如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
2
A
易知∠ACD＝60°，∠ECD＝45°，
所以∠ACE＝∠ACD－∠ECD＝60°－45°＝15°.
【点拨】
如图，点D在等边△ABC的边CB的延长线上，点E在线段BC上，连接AD，AE，若DA＝DE，且∠DAB＝20°，那么∠EAC的度数为( )
A．20° B．15° C．10° D．5°
3
C
因为△ABC为等边三角形，
所以∠ABC＝∠BAC＝60°.
因为∠ABC＝180°－∠ABD＝∠D＋∠DAB，
所以∠D＝60°－20°＝40°.
因为DA＝DE，
所以∠DAE＝∠DEA.
【点拨】
如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于( )
A．15° B．20° C．25° D．30°
A
4
【点拨】
因为AD＝AE，
所以∠ADE＝∠AED.
因为∠AED＋∠ADE＋∠CAD＝180°，
所以∠ADE＝75°.
所以∠EDC＝90°－75°＝15°.
故选A.
等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴有( )
A．1条 B．2条
C．1条或3条 D．不确定
5
错解：A
诊断：等腰三角形包括底和腰不相等的等腰三角形和等边三角形，等边三角形是等腰三角形的特殊情形，在解决有关问题时，往往因为忽略这种特殊情形而漏解．等边三角形有3条对称轴．
正解：C
【2020·凉山州】如图，点P，Q分别是等边三角形ABC的边AB，BC上的动点(端点除外)，点P、点Q以相同的速度，同时分别从点A、点B出发．
(1)如图①，连接AQ，CP.试说明：△ABQ≌△CAP.
6
解：因为△ABC是等边三角形，
所以∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA.
因为点P，Q同时出发且运动速度相同，
所以AP＝BQ.
所以△ABQ≌△CAP(SAS)．
(2)如图①，当点P，Q分别在AB，BC边上运动时，AQ，CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
解：点P，Q分别在AB，BC边上运动时，
∠QMC的大小不变． 因为△ABQ≌△CAP，
所以∠BAQ＝∠ACP. 因为∠QMC是△ACM的一个外角，
所以∠QMC＝∠ACP＋∠MAC＝∠BAQ＋∠MAC＝∠BAC. 因为∠BAC＝60°， 所以∠QMC＝60°.
(3)如图②，当点P，Q分别在AB，BC的延长线上运动时，直线AQ，CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
解：当点P，Q分别在AB，BC的延长线上运动时，∠QMC的大小不变． 易得△ABQ≌△CAP，
所以∠BAQ＝∠ACP. 因为∠QMC是△APM的一个外角，
所以∠QMC＝∠BAQ＋∠APM.
所以∠QMC＝∠ACP＋∠APM＝180°－∠PAC
＝180°－60°＝120°.
7
如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°.
(1)若∠1＝50°，求∠2的度数；
解：因为△ABC是等边三角形，
所以∠B＝∠A＝∠C＝60°，
因为∠B＋∠1＋∠DEB＝180°，
∠DEB＋∠DEF＋∠2＝180°，
∠DEF＋60°＝∠B， 所以∠2＝∠1＝50°.
(2)连接DF，若DF∥BC，求证：∠1＝∠3.
解：证明：因为DF∥BC，
所以∠FDE＝∠DEB，
因为∠B＋∠1＋∠DEB＝180°，
∠FDE＋∠3＋∠DEF＝180°，∠B＝60°，∠DEF＝60°，
所以∠1＝∠3.(共12张PPT)
等腰三角形的性质
北师版 七年级下
第5章 生活中的轴对称
5.3.1
目标二 等腰三角形的“三线合一”性质
1
2
3
4
5
D
D
6
7
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B
C
D
1
【2020·福建】如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于( )
A．10 B．5 C．4 D．3
2
B
如图，将一张长方形纸按图中虚线AD对折，再沿直线l剪开，再把它展开后得到△ABC，则下列结论错误的是( )
A．AD⊥BC B．BD＝CD
C．∠B＝∠C D．AB＝CB
3
D
如图，在△ABE中，BA＝BE，F为AE的中点．若∠ABC＝34°，∠C＝50°，则∠ADB的度数为( )
A．60° B．63°
C．67° D．70°
C
4
如图，在等腰△ABC中，AB＝CD，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，求证：∠DEF＝∠DFE.
解：证明：如图，连接AD，因为D是BC的中点，
5
所以BD＝CD，又因为AB＝AC，
所以AD是∠BAC的平分线，
又因为DE⊥AB，DF⊥AC，
所以DE＝DF， 所以∠DEF＝∠DFE.
【中考·重庆】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D.
(1)若∠C＝42°，求∠BAD的度数；
6
解：因为AB＝AC，AD⊥BC于点D，
所以∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°.
因为∠C＝42°，
所以∠BAD＝∠CAD＝90°－42°＝48°.
(2)若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F，试说明：AE＝FE.
解：因为EF∥AC， 所以∠F＝∠CAD.
由(1)知∠BAD＝∠CAD， 所以∠BAD＝∠F.
过点E作EG⊥AF于点G，
由“AAS”可得△AEG≌△FEG，
所以AE＝FE.
7
【中考·黄石】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AB＝AE，D为线段 BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF，EF相交于点F.
(1)试说明：∠C＝∠BAD；
解：因为AB＝AE，D为线段BE的中点，
所以AD⊥BC.所以∠C＋∠DAC＝90°.
因为∠BAC＝90°，所以∠BAD＋∠DAC
＝90°.所以∠C＝∠BAD.
(2)试说明：AC＝EF.
解：因为AF∥BC， 所以∠EAF＝∠AEB.
因为AB＝AE， 所以∠B＝∠AEB.
所以∠B＝∠EAF.
又因为AB＝AE，∠BAC＝∠AEF＝90°，
所以△BAC≌△AEF(ASA)．
所以AC＝EF.(共24张PPT)
练素养
北师版 七年级下
第5章 生活中的轴对称
集训课堂
轴对称及其性质的六种应用
1
2
3
4
5
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6
7
8
C
B
9
【教材P117习题T3变式】【2020 天津】在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( )
1
C
2
如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．
(1)指出图中的两对对称点；
解：B和D，C和E.(答案不唯一)
(2)指出图中相等的线段；
(3)指出图中其他关于直线MN对称的三角形．
解：AC＝AE，AB＝AD，BC＝DE，BF＝DF，CF＝EF.
解：△AFB和△AFD，△AEF和△ACF.
3
如图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，∠ABC＝125°，∠A＋∠D＝155°，AB＝3 cm，EH＝4 cm.
(1)试写出EF，AD的长度；
解：因为四边形ABCD与
四边形EFGH关于直线MN对称，AB＝3 cm，EH＝4 cm，
所以EF＝AB＝3 cm，AD＝EH＝4 cm.
解：因为∠ABC＝125°，∠A＋∠D＝155°，
所以∠C＝360°－155°－125°＝80°.
所以∠G＝∠C＝80°.
(2)求∠G的度数；
解：因为对称轴垂直平分对称点的连线，
所以直线MN垂直平分BF.
(3)连接BF，线段BF与直线MN有什么关系？
4
【教材P118材料变式】已知直线AB和△DEF，作△DEF关于直线AB的对称图形，将作图步骤补充完整(如图所示)．
(1)分别过点D，E，F作直线AB的垂线段，垂足分别是点____________；
M，P，N
(2)分别延长DM，EP，FN至点________，使________＝________，________＝________，________＝________；
(3)连接________，________，________，得△DEF关于直线AB的对称图形△GHI.
G，H，I
MG
DM
PH
EP
NI
FN
GH
HI
IG
5
【2020·吉林】图①、图②、图③都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格点，在给定的网格中，按下列要求画图：
(1)在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点；
解：如图①，MN即为所求．(答案不唯一)
(2)在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P，Q为格点；
解：如图②，PQ即为所求．(答案不唯一)
(3)在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于 某条直线对称，且D，E，F为格点．
解：如图③，△DEF即为所求．(答案不唯一)
6
如图，O为△ABC内部一点，OB＝3，P，R分别为O关于直线AB，BC的对称点．
(1)请指出当∠ABC为多少度时，会使得PR的长度等于6，并说明理由．
解：当∠ABC＝90°时，PR＝6.
理由：如图，连接OP，OR，PB，RB.
因为P，R分别为O关于直线AB，BC的对称点，
所以PB＝OB＝3，RB＝OB＝3，
∠ABP＝∠ABO，∠CBR＝∠CBO.
因为∠ABC＝90°，
所以∠ABP＋∠CBR＝∠ABO＋∠CBO＝∠ABC＝90°.
所以∠PBR＝180°.
所以点P，B，R共线．
所以PR＝PB＋RB＝6.
解：PR的长度小于6.理由如下：
因为∠ABC≠90°，
所以点P，B，R不在同一直线上．
所以PB＋BR＞PR.
因为PB＋BR＝3＋3＝6，
所以PR＜6.
(2)承(1)小题，请判断当∠ABC不是你指出的角度时，PR的长度是小于6还是大于6？并说明理由．
7
将长方形纸片ABCD(如图①)按如下步骤操作：
(1)以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与原BC边交于点E(如图②)；
(2)以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在EC边上，折痕EF交原AD边于点F(如图③)．
那么∠AFE的度数为( )
A．60° B．67.5° C．72° D．75°
B
8
如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6 cm.
(1)求BC的长；
解：因为l1，l2分别是线段AB，AC的垂直平分 线，
所以AD＝BD，AE＝CE.
所以AD＋DE＋AE＝BD＋DE＋CE＝BC.
因为△ADE的周长为6 cm，
即AD＋DE＋AE＝6 cm，
所以BC＝6 cm.
(2)分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16 cm，求OA的长．
解：如图所示．
因为AB边的垂直平分线l1交BC于点D，
AC边的垂直平分线l2交BC于点E， 所以OA＝OC＝OB.
因为△OBC的周长为16 cm，即OC＋OB＋BC＝16 cm，
所以OC＋OB＝16－6＝10(cm)． 所以OA＝OC＝5 cm.
9(共19张PPT)
线段的垂直平分线的性质
北师版 七年级下
第5章 生活中的轴对称
5.3.2
1
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5
C
C
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C
B
8
C
A
C
1
如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是( )
A．AB＝AD B．CA平分∠BCD
C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC
如图，AD垂直平分BC，AC＝CE，点B，D，C，E在同一直线上，则AB＋DB与DE的关系是( )
A．AB＋DB>DE B．AB＋DB
C．AB＋DB＝DE D．不能确定
2
C
【2021·淮安】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
3
C
【2020·益阳】如图，在△ABC中，AC的垂直
平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为( )
A．25° B．30° C．35° D．40°
B
4
【2021·梧州】如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，分别交边AB，BC于点D，E，且AB＝9，AC＝6，则△ACD的周长是( )
A．10.5 B．12 C．15 D．18
5
C
因为DE是△ABC的边BC的垂直平分线，
所以DB＝DC.
所以△ACD的周长＝AD＋AC＋CD＝AD＋BD＋AC＝AB＋AC.
因为AB＝9，AC＝6，
所以△ACD的周长＝9＋6＝15.
故选C.
【点拨】
【2020·宜昌】如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是( )
A．l是线段EH的垂直平分线
B．l是线段EQ的垂直平分线
C．l是线段FH的垂直平分线
D．EH是l的垂直平分线
6
A
如图．
A．因为直线l为线段FG的垂直
平分线，所以FO＝GO，l⊥FG.
因为EF＝GH，所以EF＋FO＝OG＋GH，
即EO＝OH.
所以l为线段EH的垂直平分线，故此选项正确．
【点拨】
B．因为EO≠OQ，所以l不是线段EQ的垂直平分线，故此选项错误．
C．因为FO≠OH，所以l不是线段FH的垂直平分线，故此选项错误．
D．因为l为直线，直线没有垂直平分线，
所以此选项错误．
故选A.
7
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F.
(1)试说明：CF＝AD.
解：因为AD∥BC，
所以∠ECF＝∠ADE.
因为E为CD的中点，
所以CE＝DE.
(2)若AD＝2，AB＝8，当BC的长为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上？为什么？
解：当BC＝6时，点B在线段AF的垂直平分线上．
理由如下： 因为BC＝6，AD＝2，AB＝8，
所以AB＝BC＋AD.
又因为CF＝AD，BC＋CF＝BF， 所以AB＝BF.
所以点B在线段AF的垂直平分线上．
8
如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M.
(1)若∠A＝40°，求∠M的度数．
又因为MN为AB的垂直平分线，
所以MN⊥AB，所以∠MNB＝90°，
所以∠M＝180°－90°－∠B＝90°－70°＝20°.
(2)如果将(1)中∠A的度数改为70°，其余条件不变，求∠M的度数．
解：过程同(1)可求得∠M＝35°.
(3)由(1)(2)你发现了什么规律？并说明理由．(共14张PPT)
探索轴对称的性质
北师版 七年级下
第5章 生活中的轴对称
5.2
目标二 画轴对称图形
1
2
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4
5
B
B
6
7
答 案 呈 现
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D
C
B
B
8
下列说法正确的是( )
A．全等的两个图形是由其中一个经过轴对称变换得到的
B．轴对称变换得到的图形与原图形全等
C．轴对称变换中的两个图形，每一对对应点所连线段都被这两个图形之间的直线垂直平分
D．轴对称变换得到的图形也可以由原图形经过平移得到
B
1
如图，△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC，则以下结论中不正确的是( )
A．∠1＝∠2
B．∠3＝∠4
C．l垂直平分AB，且l垂直平分CD
D．AC与BD互相平分
2
D
【教材P120习题T4变式】如图所示是一条停泊在平静水面上的小船，它的“倒影”应是( )
3
B
下列图形中，分别以直线l为对称轴作轴对称，其中错误的是( )
C
4
下面是四名同学作△ABC关于直线MN的轴对称图形，其中正确的是( )
B
5
【2021 江西】如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形(忽略拼接线)小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左、下、右的位置(摆放时无缝隙不重叠)，还能拼接成不同轴对称图形的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
6
B
如图，能拼接成不同轴对称图形的个数为3个．
【点拨】
7
如图，正三角形网格中，已有两个小三角形被涂黑．
(1)再将图①中其余小三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形(画出两种不同的)；
解：如图①所示．(答案不唯一)
(2)再将图②中其余小三角形涂黑两个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形(画出两种不同的)．
解：如图②所示．(答案不唯一)
8
【教材P120习题T3变式】【2021 深圳】如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度．
(1)请画出四边形ABCD关于直线m的对称图形；
解：如图所示，四边形A′B′C′D′即为所求．
(2)求四边形ABCD的面积．(共15张PPT)
角平分线的性质
北师版 七年级下
第5章 生活中的轴对称
5.3.3
1
2
3
4
5
B
A
6
7
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2.4
B
A
【教材P126例2变式】【2020·河北】如图①，已知∠ABC，用尺规作它的平分线．如图②，步骤如下：
第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；第三步：画射线BP.射线BP即为所求．
下列正确的是( )
B
1
【点拨】
【2021·长沙】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为________．
2
2.4
因为AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∠C＝90°，所以CD＝DE.
因为DE＝1.6，所以CD＝1.6.
所以BD＝BC－CD＝4－1.6＝2.4.
【点拨】
3
A
【2021·青海】如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为( )
A．8 B．7.5 C．15 D.无法确定
B
4
【2021·长春】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC.用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是( )
5
A
A.由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，本选项符合题意．
B．由作图可知CA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．
C．由作图可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．
D．由作图可知BD＝CD，可推出AD＝DC＝BD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．
【点拨】
【2020·鞍山】如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF.试说明：CB＝CD.
6
解：如图，连接AC.
7
如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E.若AB＝10 cm，求△DBE的周长．
解：因为AD平分∠CAB，且∠C＝90°，
DE⊥AB，所以DC＝DE，∠CAD＝∠EAD，
∠C＝∠DEA＝90°.
所以△ACD≌△AED.
所以AC＝AE.
又因为AC＝BC，所以AC＝AE＝BC.
所以DE＋EB＋BD＝DC＋EB＋BD＝BC＋EB＝AE＋EB＝AB.
又因为AB＝10 cm，所以△DBE的周长为10 cm.(共16张PPT)
等腰三角形的性质
北师版 七年级下
第5章 生活中的轴对称
5.3.1
目标一 等腰三角形的边角性质
1
2
3
4
5
B
B
6
7
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D
33°
D
【2021·赤峰】如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE.若∠ABC＝30°，则∠D的度数为( )
A．85° B．75° C．65° D．30°
B
1
因为AB∥CD，所以∠C＝∠ABC＝30°.
因为CD＝CE，所以∠D＝∠CED.
因为∠C＋∠D＋∠CED＝180°，所以30°＋2∠D＝180°.所以∠D＝75°.
【点拨】
【2020·自贡】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是( )
A．50° B．40°
C．30° D．20°
2
D
如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，
BD＝BE，∠A＝100°，则∠DEC＝( )
A．90° B．100° C．105° D．110°
3
B
【2021·广州】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝38°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当B′D∥AC时，则∠BCD的度数为________．
33°
4
【点拨】
【教材P122随堂练习T3变式】【2020·青海】等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是( )
A．55°，55° B．70°，40°或70°，55°
C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°
D
5
【2020·绍兴】问题：如图，在△ABD中，BA＝BD.在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC.若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的读书. 答案：∠DAC＝45°.
思考：(1)如果把以上“问题”中的条件
“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，
那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．
6
解：∠DAC的度数不会改变．
理由：因为EA＝EC，
所以∠EAC＝∠C.
因为∠BAE＝90°，
所以∠B＝180°－∠BAE－∠EAC－∠C＝90°－2∠C.
因为BA＝BD，
所以∠BAD＝∠BDA.
(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．
7
【2021·温州】如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取一点D，使DB＝DE.
(1)试说明：DE∥BC；
解：因为BE是△ABC的角平分线，
所以∠DBE＝∠EBC.
因为DB＝DE，所以∠DEB＝∠DBE.
所以∠DEB＝∠EBC.所以DE∥BC.
(2)若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数．(共32张PPT)
练素养
北师版 七年级下
第5章 生活中的轴对称
集训课堂
等腰三角形中作辅助线的七种常用方法
1
2
3
4
5
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6
7
8
如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF.试说明：
(1)DE＝DF；
1
解：如图，连接AD.
(2)DE⊥DF.
解:因为△BED≌△AFD，
所以∠BDE＝∠ADF.
所以∠BDE＋∠EDA＝∠EDA＋∠ADF＝90°.
所以∠EDF＝90°.
所以DE⊥DF.
2
如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC.试说明：EB⊥AB.
解：作EF⊥AC于点F.
因为EA＝EC，
所以AF＝FC.
因为AC＝2AB，
所以AF＝AB.
因为AD平分∠BAC，
所以∠BAE＝∠FAE.
又因为AE＝AE，
所以△ABE≌△AFE(SAS)．
所以∠ABE＝∠AFE＝90°.
所以EB⊥AB.
3
如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动(点P与A，B不重合)，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.
(1)试说明：PD＝QD.
解：如图，过点P作PF∥AC交BC于点F.
因为点P和点Q同时出发，且速度相同，所以BP＝CQ.
因为PF∥AQ，
所以∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠CQD.
又因为AB＝AC，
所以∠B＝∠ACB.
所以∠B＝∠PFB.
解：ED的长度保持不变．
理由：由(1)知PB＝PF.
因为PE⊥BF，所以BE＝EF.
由(1)知△PFD≌△QCD，
所以FD＝CD.
(2)过点P作直线BC的垂线，垂足为E，P，Q在移动的过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．
4
如图，等边三角形ABC中，D是边AC延长线上一点，延长BC至E，使CE＝AD，DG⊥BE于G.
试说明：BG＝EG.
解：如图，过点D作DF∥BE，交AB的延长线于F，所以∠ABC＝∠F，
∠ACB＝∠ADF.
因为△ABC是等边三角形，
所以AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠AFD＝∠ADF＝∠A＝60°.
所以△ADF是等边三角形．
所以AD＝DF＝AF.
所以CD＝BF.
因为AD＝CE，
所以FD＝CE.
5
如图，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝AB＋CD.试说明：
(1)BE＝CE；
解：如图，延长AB，DE交于点F.
因为AB∥CD，
所以∠2＝∠F.
又因为∠1＝∠2，
所以∠1＝∠2＝∠F.
所以AD＝AF.
因为AD＝AB＋CD，AF＝AB＋BF，
所以DC＝BF.
因为∠DEC＝∠FEB，
所以△DCE≌△FBE(AAS)．
所以BE＝CE.
(2)AE⊥DE；
解：由(1)知△DCE≌△FBE，AD＝AF，
所以DE＝EF.
所以AE⊥DE.
(3)AE平分∠DAB.
解：因为DE＝EF，AD＝AF，
所以AE平分∠DAB.
6
如图，△ABC中，AD为中线，点E为AB上一点，AD，CE交于点F，且AE＝EF.试说明：AB＝CF.
解：如图，延长AD至点G，使DG＝AD，连接CG.
因为BD＝CD，∠ADB＝∠GDC，
所以△ABD≌△GCD(SAS)．
所以AB＝CG，∠G＝∠EAF.
因为AE＝EF，
所以∠EAF＝∠EFA.
又因为∠EFA＝∠CFG，
所以∠G＝∠GFC.
所以CG＝CF.
所以AB＝CF.
7
如图，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，CD平分∠ACB交AB于点D.试说明：AC＋AD＝BC.
解：解法一：如图①，延长CA至点E，
使EA＝AD，连接DE，则∠E＝∠ADE.
所以∠BAC＝180°－∠DAE＝∠E＋∠ADE
＝2∠E.
因为∠BAC＝2∠B，所以∠E＝∠B.
因为CD平分∠ACB，
所以∠ECD＝∠BCD.
又因为CD＝CD，
所以△CDE≌△CDB(AAS)．
所以CE＝CB.
因为CE＝AC＋AE＝AC＋AD，
所以AC＋AD＝BC.
解法二：如图②，在BC上截取CE＝CA，连接DE.
因为CD平分∠ACB，
所以∠ACD＝∠ECD.
又因为CD＝CD，
所以△ACD≌△ECD(SAS)．
所以AD＝DE，∠BAC＝∠DEC.
因为∠BAC＝2∠B，
∠DEC＝180°－∠BED＝∠B＋∠BDE，
所以∠BDE＝∠B.
所以DE＝BE.
所以AC＋AD＝CE＋BE＝BC.
8
如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BE平分∠ABC交AC于点E.
(1)试说明：BC＝BE＋AE.
解：在BC上截取BD＝BE，连接DE，如图所示．
因为AB＝AC，∠BAC＝100°，
所以∠ABC＝∠C＝(180°－100°)÷2＝40°.
因为BE平分∠ABC，
所以∠CBE＝∠ABE＝20°.
又因为BD＝BE，
所以∠BDE＝∠BED＝(180°－20°)÷2＝80°.
因为∠BDE＝180°－∠CDE＝∠C＋∠CED，∠C＝40°，
所以∠CED＝40°＝∠C.
所以DE＝DC.
过点E作EM⊥BA交BA的延长线于点M，EN⊥BC于点N.
因为BE平分∠ABC，EM⊥BA，EN⊥BC，
所以EM＝EN.
因为∠BAC＝100°，
所以∠CAM＝180°－100°＝80°.
(2)探究：若∠A＝108°，则BC的长等于哪两条线段长的和呢？试说明理由．
解：BC＝CE＋AB.理由如下：
在CB上截取CP＝CE，连接PE，如图所示．
因为AB＝AC，∠A＝108°，
所以∠ABC＝∠C＝(180°－108°)÷2＝36°.
因为CP＝CE，
所以∠CPE＝(180°－36°)÷2＝72°.
所以∠BPE＝180°－72°＝108°.
所以∠BPE＝∠A.
因为BE平分∠ABC，
所以∠ABE＝∠PBE.(共17张PPT)
探索轴对称的性质
北师版 七年级下
第5章 生活中的轴对称
5.2
目标一 轴对称的性质
1
2
3
4
5
C
A
6
7
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D
B
B
D
8
如图，∠A＝30°，∠C′＝60°，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
C
1
【中考·天津】如图，将一张三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则下列结论一定正确的是( )
A．AD＝BD B．AE＝AC
C．ED＋EB＝DB D．AE＋CB＝AB
2
D
先根据图形翻折变换的性质得出BE＝BC，再根据线段的和差可得AE＋BE＝AB，最后根据等量代换可得答案．
【点拨】
【2020·哈尔滨】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB′关于直线AD对称，点B的对称点是点B′，则∠CAB′的度数为( )
A．10° B．20° C．30° D．40°
3
A
因为∠BAC＝90°，∠B＝50°，
所以∠C＝90°－50°＝40°.因为△ADB与△ADB′关于直线AD对称，所以∠AB′B＝∠B＝50°.所以∠CAB′＝50°－40°＝10°.
【点拨】
如图，在四边形ABCD中，AB与AD关于直线AC对称，则下列结论正确的是( )
①CA平分∠BCD；②AC平分∠BAD；③BD⊥AC；④BD平分AC.
A．①② B．①②③
C．②③④ D．①②③④
B
4
因为AB与AD关于AC对称，所以AC垂直平分BD.所以CA平分∠BCD，AC平分∠BAD，BD⊥AC，无法判断BD是否平分AC.
综上所述，结论正确的是①②③.
【点拨】
【教材P118做一做变式】如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法中不一定正确的是( )
A．AC＝A′C′ B．AB∥B′C′
C．AA′⊥MN D．BO＝B′O
B
5
小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近8时整的是( )
6
D
镜子中看到的钟面与实际情况是左右对称的，利用这一点可判断出D中时间为8：05，最接近8时整．
【点拨】
7
如图，点P在∠AOB的内部，点M，N分别是点P关于直线OA，OB的对称点，线段MN分别交OA，OB于点E，F.
(1)若MN＝20 cm，求△PEF的周长；
解：因为点M，N分别是点P关于直线OA，OB的对称点， 所以ME＝PE，NF＝PF.
所以PE＋EF＋PF＝ME＋EF＋NF＝MN＝20 cm， 即△PEF的周长是20 cm.
(2)若∠AOB＝35°，求∠EPF的度数．
解：如图，设MP与OA相交于点R，
PN与OB相交于点T.
由(1)知ME＝PE，NF＝PF，
所以∠M＝∠EPM，∠N＝∠FPN.
所以∠PEF＝2∠M，∠PFE＝2∠N.
因为∠PRE＝∠PTF＝90°，
所以在四边形OTPR中，∠MPN＋∠AOB＝180°.
因为∠MPN＋∠M＋∠N＝180°，
所以∠M＋∠N＝∠AOB＝35°.
所以∠EPF＝180°－(∠PEF＋∠PFE)＝180°－2(∠M＋∠N)＝180°－35°×2＝110°.
8
如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处．
(1)试说明：△FGC≌△EBC；
解：由题意知∠GCF＋∠FCE＝90°，
∠FCE＋∠BCE＝90°， 所以∠GCF＝∠BCE.
又因为∠G＝∠D＝∠B＝90°，GC＝AD＝BC，
所以△FGC≌△EBC(ASA)．
(2)若AB＝8，AD＝4，求四边形ECGF(阴影部分)的面积．(共28张PPT)
全章热门考点整合应用
北师版 七年级下
第5章 生活中的轴对称
D
1
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4
5
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7
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12
C
A
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13
【教材P116议一议变式】观察图①～④中的左右两个图形，它们是否成轴对称？如果是，请画出其对称轴．
1
解：题图①②③中的左右两个图形成轴对称，题图④中的左右两个图形不成轴对称．题图①②③中成轴对称的两个图形的对称轴如图所示．
【教材P131复习题T1变式】【中考 重庆】下列图形中是轴对称图形的是( )
2
D
如图，将四边形纸片ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的点F处，若△AFD的周长为24 cm，△ECF的周长为8 cm，求四边形纸片ABCD的周长．
3
解：由题意可知，△ABE和△AFE关于直线AE成轴对称，所以AB＝AF，BE＝FE.
因为△AFD的周长为24 cm，△ECF的周长为8 cm，即AD＋DF＋AF＝24 cm，FC＋CE＋FE＝8 cm，
所以四边形纸片ABCD的周长为AD＋DC＋BC＋AB＝AD＋DF＋FC＋CE＋BE＋AB＝(AD＋DF＋AF)＋(FC＋CE＋FE)＝24＋8＝32(cm)．
【2020·自贡】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是( )
A．50° B．40° C．30° D．20°
4
C
【2020·苏州】如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′.若点B′恰好落在BC边上，且AB′＝CB′，则∠C′的度数为( )
A．18° B．20° C．24° D．28°
5
C
6
【中考·重庆】如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F.
(1)若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
解：因为AB＝AC， 所以∠C＝∠ABC.
因为∠C＝36°. 所以∠ABC＝36°.
因为BD＝CD，AB＝AC，
所以AD⊥BC.
所以∠ADB＝90°.
所以∠BAD＝90°－36°＝54°.
(2)试说明：FB＝FE.
7
解：因为△ABC，△BDE均为等边三角形，
所以BE＝BD＝ED，AB＝CB，
∠ABC＝∠EBD＝60°.
所以∠ABE＋∠EBC＝∠CBD＋∠EBC.
所以∠ABE＝∠CBD.
如图，已知△ABC和△BDE均为等边三角形．
试说明：BD＋CD＝AD.
8
C
9
【2020·怀化】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为( )
A．3 B. C．2 D．6
A
10
如图，A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学的问题，计划新建一所小学，要使学校到三个村庄的距离相等，请你在图中确定学校的位置．(简要说明作法)
解：如图所示．
连接AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线，交于点P，则点P就是所要确定的学校的位置．
11
【教材P123习题T5变式】如图，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A，B的距离之差最大，并说明理由．
解：如图，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B并延长交l于点C，则点C即为所求．
理由如下：
在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.
因为点A，A′关于直线l对称，
所以直线l为线段AA′的垂直平分线， 则有CA＝CA′.
所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.
又因为点C′在l上， 所以C′A＝C′A′.
在△A′BC′中，C′A′－C′B12
如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，在△ABC外部分别作等边三角形ADB和等边三角形ACE.若∠DAE＝∠DBC，求△ABC三个内角的度数．
解：因为△ADB和△ACE都是等边三角形，
所以∠DAB＝∠CAE＝∠DBA＝60°.
12
所以∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝60°＋∠BAC＋60°＝120°＋∠BAC，
∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°＋∠ABC.
因为∠DAE＝∠DBC，
所以120°＋∠BAC＝60°＋∠ABC，
即∠ABC＝60°＋∠BAC.
又因为△ABC是等腰三角形，AB＝AC，
12
所以∠ABC＝∠ACB＝60°＋∠BAC.
设∠BAC＝x°，因为∠BAC＋2∠ABC＝180°，
则x＋2(x＋60)＝180，
解得x＝20. 所以∠ACB＝∠ABC＝60°＋∠BAC＝60°＋20°＝80°.
所以△ABC三个内角的度数分别为20°，80°，80°.
12
在等腰三角形中，只已知一些角之间的关系，没有明确告诉角的度数时，通常可以建立方程求解与角度有关的问题．
【点拨】
13
在等腰三角形ABC中，∠A比∠B的2倍少50°，求∠B的度数．
解：设∠B为x°.
因为∠A比∠B的2倍少50°， 所以∠A为2x°－50°.
因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，
所以∠C＝180°－(2x°－50°)－x°＝230°－3x°.
当AB＝AC时(如图①)，有∠B＝∠C，
则x＝230－3x，解得x＝57.5.
当AB＝BC时(如图②)，有∠A＝∠C，
则2x－50＝230－3x，解得x＝56.
当AC＝BC时(如图③)，有∠A＝∠B，
则2x－50＝x，解得x＝50.
综上所述，∠B为57.5°或56°或50°.
本题要求的是等腰三角形的内角，这类问题通常要分类讨论．怎样讨论是解题的重点和难点．本题巧妙地采用设未知数的方法，使得三个角都能用含未知数的代数式来表示，再根据等腰三角形顶角、底角的情况进行分类讨论．
【点拨】(共14张PPT)
利用轴对称进行设计
北师版 七年级下
第5章 生活中的轴对称
5.4
1
2
3
4
5
B
A
6
7
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C
C
B
【教材P131复习题T2变式】用一张正方形的红纸沿一条对角线对折后，得到一个等腰直角三角形，再沿斜边上的高对折，得到的又是等腰直角三角形，在此三角形上剪出一些花纹，然后打开折叠的纸，将它铺平，小明一下子就猜出了这个图案至少有( )条对称轴
A．0 B．2 C．4 D．6
B
1
剪纸是中国的民间艺术，剪纸的方法有很多，下面是一种剪纸的方法．如图，先将纸折叠，然后剪出图形，再展开，即可得到图案．
下面四个图案中，不能用上述方法剪出的是( )
2
C
要在一块长方形的空地上修建一个花坛，要求花坛图案(阴影部分)为轴对称图形，图中的设计符合要求的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3
A
如图，在3×3的正方形网格中已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的办法有( )种.
A．3 B．4 C．5 D．6
C
4
除右上角和左下角两个小正方形，其余均可以．
【点拨】
如图，图⑥是由图①～⑤中五种基本图形中的两种拼接而成的，则这两种基本图形是( )
A．①② B．①③ C．①④ D．③⑤
5
B
以给出的图形“○○，△△，===”(两个圆、两个三角形、两条平行线)为构件，设计一个构思独特且有意义的轴对称图形．举例：如图①是符合要求的一个图形，你还能构思出其他的图形吗？请在图②中画出与之不同的一个图形，并写出一两句贴切的解说词．
6
解: 能．答案不唯一，如图所示．
7
将一个正方形按照下列要求分割成4部分：
(1)分割后的整个图形必须是轴对称图形；
(2)所分得的4部分是全等图形．
请你按照上述两个要求，分别在如图①②③中的正方形中画出3种不同的分割方法(分割线画成虚线，不写画法)．
解：答案不唯一，如图所示．