北师大版九下数学第三章《圆》单元测试题（word版，含解析）
文档属性
| 名称 | 北师大版九下数学第三章《圆》单元测试题（word版，含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 345.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-13 15:18:03 | ||
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文档简介
第三章 圆单元测试卷
一、单选题(共10题；共20分)
1．已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P（ ）
A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．无法确定
2．如图，是的直径，点、是上的点，若，则的度数为（ ）
A．65° B．55° C．60° D．75°
3．如图，点A，B，C在⊙O上，已知∠ABC＝130°，则∠AOC的度数是（ ）
A．100° B．110° C．115° D．130°
4．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，若大圆的半径是13，小圆的半径是5，则AB的长为（ ）
A．10 B．12 C．20 D．24
5． 如图，PA、PB切⊙O于点A、B，点C是⊙O上一点，且∠P＝36°，则∠ACB为（ ）
A．54° B．72° C．108° D．144°
6．如图，已知的直径AB的延长线与过C点的切线PC交于点P，若为20°，则直径与弦AC的夹角等于（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
7．如图， MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=40°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．圆内接正方形的面积为a，则圆的面积为（ ）
A． B．2πa C． D．πa2
9．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，点P在经过点A（﹣3，0），B（0，4）的直线上，PQ切⊙O于点Q，则切线长PQ的最小值为（ ）
A． B．2.4 C． D．3
10．如图，AB为半圆O的直径， ，点C为半圆上动点，以BC为边向形外作正方形BCDE，连接OD，则OD的最大值为
A．2 B． C． D．
二、填空题(共10题；共30分)
11．一个扇形的圆心角为 ，面积为 ，则此扇形的半径长为 cm.
12．如图，BC是 的弦，AD过圆心O，且 .若 ，则 的度数为 .
13．如图，点A，B，C在圆O上，OC⊥AB，垂足为D，若⊙O的半径是10cm，AB=12cm，则CD= cm．
14．平面上一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为 .
15．如图，PB与⊙O相切于点B，OP与⊙O相交于点A，若⊙O的半径为2，∠P＝30°，则OP的长为 ．
16．已知：如图， 是 的直径，弦 交 于E点， ， ， ，则 的长为 ．
17．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为 ．
18．如图，已知圆O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，且∠C=90°，AB=13，BC=12，则圆O的半径为 。
19．如图，△ABC中，AB＝4，∠ACB＝75°，∠ABC＝45°，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则EF的最小值为 .
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足 ，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE、CE，若CF＝2，AF＝3，给出下列结论：
①△ADF∽△AED； ②FG＝2； ③tan∠AED＝ ；④CD平分∠ADE；⑤S△DEF＝4 .
其中正确的是 .（填序号）
三、解答题(共6题；共50分)
21．（6分）如图所示，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．
22．（6分）赵州桥（如图）建于1400年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形，桥的跨度（弧所对的弦长）为 ，拱高（弧的中点到弦的距离）为 ，求赵州桥桥拱所在圆的半径．（精确到 ）
23（8分）．在△ABC中， ，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圈与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F
（1）如图①，连接AD，若 ，求∠B的大小；
（2）如图②，若点F为 的中点， 的半径为2，求AB的长．
24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，且CD平分∠ACB，交AB于点E.
（1）求证：∠ABD＝∠BCD；
（2）若DE＝13，AE＝17，求⊙O的半径；
（3）DF⊥AC于点F，试探究线段AF、DF、BC之间的数量关系，并说明理由.
25．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求证：PC 是⊙O 的切线；
（2）求证： ；
（3）点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N，若AB=8，求MN MC 的值．
26．（10分）如图1，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作圆O
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）已知AO交圆O于点E，延长AO交圆O于点D，tan∠D= ，求 的值；
（3）如图2，在（2）条件下，若AB与⊙O的切点为点F，连接CF交AD于点G，设⊙O的半径为3，求CF的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4，
∴d＞r，
∴点P与⊙O的位置关系是：点在圆外.
故答案为：C.
【分析】若点A到圆心的距离为d，圆的半径而r，当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d2．【答案】A
【解析】【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=25°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=65°，
∴∠ADC=∠ABC=65°.
故答案为：A.
【分析】由直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，则∠ABC=90°-∠CAB=65°，然后根据同弧所对的圆周角相等进行求解.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：在优弧AC上取点D，连接AD，CD，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ABC＝130°，
∴∠D＝180° 130°＝50°.
∵∠D与∠AOC是同弧所对的圆周角与圆心角，
∴∠AOC＝2∠D＝100°.
故答案为：A.
【分析】在优弧AC上取点D，连接AD，CD，由圆内接四边形的对角互补可得∠ABC+∠D＝180°，结合∠ABC的度数可得∠D的度数，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠AOC＝2∠D，据此求解.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：连接OA、OC，如图，
∵AB为小圆的切线，
∴OC⊥AB，
∴AC＝BC，
在Rt△OAC中，∵OA＝13，OC＝5，
∴AC＝＝12，
∴AB＝2AC＝24．
故答案为：D．
【分析】连接OA、OC，先利用勾股定理求出AC的长，再利用垂径定理可得AB＝2AC＝24．
5．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OB，
∵PA、PB切⊙O于点A、B，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠P＝36°，
∴∠AOB=144°，
∴∠ACB=∠AOB=72°，
故答案为：B.
【分析】连接OA，OB，根据切线的性质得出∠PAO=∠PBO=90°，从而得出∠AOB=144°，根据圆周角定理得出∠ACB=∠AOB=72°，即可得出答案.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：如图所示，连接OC，
∵PC与相切，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的外角，
∴，
故答案为：D．
【分析】连接OC，根据切线的性质可得，再利用三角形的内角和可得，再利用三角形的外角和及AO=OC，即可得到。
7．【答案】B
【解析】【解答】解：作点B关于MN的对称点C，则点C在圆O上，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点．
此时PA+PB最小，且等于AC的长．
连接OA，OC，
∵∠AMN=40°，
∴∠AON=80°，
∵B为弧AN的中点，
∴∠AOB=∠BON=40°，
根据垂径定理得，
∴∠CON=∠BON=40°，
∴∠AOC=120°，
∵MN=2，
∴OA=OC=1，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
过点O作OG⊥AC于点G，
∴AG=CG，OG=OA=，
∴AG=CG=，
∴AC=．
故答案为：B．
【分析】先求出AG=CG，OG=OA=，再利用勾股定理计算求解即可。
8．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，四边形为的正方形，
为的直径，
又
即
故答案为：C
【分析】先求出AC为的直径，再求出最后求解即可。
9．【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示：连接OP、OQ，
PQ切⊙O于点Q，
， 为直角三角形，
由勾股定理可知： ，
故当OP有最小值时，PQ也有最小值，
根据点到直线距离，垂线段最短可知：当 ，OP有最小值，
如下图所示：过点O向AB作垂线，垂足为P，并在圆上找到对应切点Q，连接PQ与OQ.
点A（﹣3，0），B（0，4），
， ，
在 中，由勾股定理可得： ，
利用等面积法可得： 解得：
故 .
故答案为：C.
【分析】连接OP、OQ，易得△OPQ为直角三角形，由勾股定理可得：当OP有最小值时，PQ也有最小值，根据垂线段最短可知：当PO⊥AB时，OP有最小值，过点O向AB作垂线，垂足为P，并在圆上找到对应切点Q，连接PQ与OQ，根据点A、B的坐标可得OA=3，OB=4，由勾股定理求出AB，然后根据等面积法求出OP，接下来根据勾股定理求解即可.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：通过旋转观察如图，可知当 时，DO最长，设DO与 交于点M，连接CM，BD，OC.
理由： ， 都是等腰直角三角形，
，
，
，
∽ ，
： ： ，
，
点D的运动轨迹是以M为圆心 为半径的圆，
当D，M，O共线，即 时，DO最长.
，
，
四边形BCDE是正方形，
、M、E共线， ，
在 和 中，
，
≌ ，
，
的最大值 .
故答案为：C.
【分析】易知当DO⊥AB时，DO最长，设DO与⊙O交于点M，连接CM，BD，OC，由等腰直角三角形的性质可得∠OBM=∠CBD=45°，进而推出∠OBC=∠MBD，证明△OBC∽△MBD，由相似三角形的性质可得MD，当D，M，O共线时，DO最长，由圆周角定理可得∠MCB=45°，由正方形的性质可得∠DEM=∠BEM，证明△MED≌△MEB，由勾股定理可得DM=BM，据此求解.
11．【答案】
【解析】【解答】解：设该扇形的半径为R，则 =15π，
解得R= .
故答案为： .
【分析】设该扇形的半径为R，根据扇形的面积公式S=可列方程，求解即可.
12．【答案】20
【解析】【解答】解：如图，连接
， ，
故答案为：20°.
【分析】连接OB，根据等腰三角形的性质可得∠OBC=∠OCB=50°，根据直角三角形的两锐角互余得∠BOD=40°，然后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半进行求解.
13．【答案】2
【解析】【解答】解：∵OC是⊙O的半径且OC⊥AB，垂足为D，
∴OA=OC=10cm，AD= AB= ×12=6cm，
∵在Rt△AOD中，OA=10cm，AD=6cm，
∴OD= cm，
∴CD=OC﹣OD=10﹣8=2cm．
故答案为2．
【分析】在直角三角形AOD中利用勾股定理求出OD的值，然后利用CD=OC﹣OD即可求解。
14．【答案】4或2cm
【解析】【解答】解：（1）当点在圆外时，⊙O外一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则圆的直径为4cm，那么半径为2cm.
（2）当点在圆内时，⊙O外一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则圆的直径为8cm，那么半径为4cm.
故答案为：4或2cm.
【分析】当点在圆外时，易得圆的直径为6-2=cm，据此可得半径；当点在圆内时，易得圆的直径为6+2=8cm，据此可得半径.
15．【答案】4
【解析】【解答】解：如图所示，连接OB，
∵PB是圆O的切线，
∴∠OBP=90°，
∵∠P=30°，
∴OP=2OB=4，
故答案为：4．
【分析】连接OB，根据切线的性质可得∠OBP=90°，再利用含30°角的性质可得OP=2OB=4。
16．【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，过点O作OF⊥CD于F，连接OD，
∴∠OFE=90°， ，
∵∠AEC=30°，
∴ ，
∵BE=1，AE=5，
∴AB=BE+AE=6，
∵AB是直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】过点O作OF⊥CD于F，连接OD，根据，可得，在直角△DOF中求得DF的长即可求解。
17．【答案】
【解析】【解答】解：根据圆周角定理可得∠AED=∠ABC，所以tan∠AED=tan∠ABC=．
故答案为：．
【分析】根据圆周角的性质可得∠AED=∠ABC，再利用正切值的定义求解即可。
18．【答案】2
【解析】【解答】解：如图，连接OD，OE，OF，设半径为r，
∴OE⊥AC，OD⊥AB，OF⊥BC，
∵ ∠C=90°， OD=OE=OF，
∴四边形OFCE是正方形，
∴CE=CF=r，
∵∠C=90°，AB=13，BC=12，
∴AC=5，
∴BF=BD=12-r，AD=AE=5-r，
∴5-r+12-r=13，
∴r=2，
∴ 圆O的半径为2.
【分析】连接OD，OE，OF，设半径为r，证出四边形OFCE是正方形，得出CE=CF=r，再根据切线长定理得出BF=BD=12-r，AD=AE=5-r，根据勾股定理得出AB=13，从而得出5-r+12-r=13，得出r的值，即可得出答案.
19．【答案】
【解析】【解答】解：连接OE、OF，过O点作OM⊥EF，如图，则EM＝FM，
∵∠ACB＝75°，∠ABC＝45°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠EOF＝2∠EAF＝120°，
∵OE＝OF，
∴∠OEF＝∠OFE＝30°，
∴OM＝ OE，
∴EM＝ OM＝ OE，
∴EF＝ OE，
当OE的值最小时，EF的值最小，
∵D是线段BC上的一个动点，AD为直径，
∴当AD垂直BC时，AD的值最小，
过A点作AH⊥BC于H，
∵∠ABH＝45°，
∴AH＝ AB＝ ×4＝2 ，
即AD的最小值为2 ，
∴OE的最小值为 ，
∴EF的最小值为 × ＝ .
故答案为： .
【分析】连接OE、OF，过O点作OM⊥EF，如图，则EM＝FM，求出EF＝ OE，当OE的值最小时，EF的值最小，由于D是线段BC上的一个动点，AD为直径，可知当AD垂直BC时，AD的值最小，求出此时AD的长，即可求解.
20．【答案】①②⑤
【解析】【解答】解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴ ，DG=CG，
∴∠ADF=∠AED，
∵∠FAD=∠DAE（公共角），
∴△ADF∽△AED；故①正确；
②∵ ，CF=2，
∴FD=6，
∴CD=DF+CF=8，
∴CG=DG=4，
∴FG=CG-CF=2；故②正确；
③∵AF=3，FG=2，
∴AG= ，
∴在Rt△AGD中，tan∠ADG= ，
∴tan∠AED= ；故③错误；
④∵∠AFD=∠CFE，∠ADC=∠AEC
∴△AFD∽△CFE
∴ ，即 ，解得：
∴EF≠DF
则∠AED≠∠CDE，而∠ADC=∠AED
∴∠ADC≠∠CDE
∴CD并不平分∠ADE，故④错误
⑤∵DF=DG+FG=6，AD=
∴S△ADF= DF AG= ×6× =3 ，
∵△ADF∽△AED，
∴
∴ ，
∴S△AED=7 ，
∴S△DEF=S△AED-S△ADF=4 ；故⑤正确.
故答案为：①②⑤.
【分析】①、由题意可得 ，DG=CG，进而推出△ADF∽△AED；
②、由题意可得FD=6，进而求出CD、CG、FG的值；
③、由勾股定理可得AG的值，然后求出tan∠ADG的值，进而得到tan∠AED的值；
④、易证△AFD∽△CFE，由相似三角形对应边成比例可得EF的值，得到EF≠DF，据此进行判断即可；
⑤、由勾股定理可得AD的值，然后求出S△ADF，由相似三角形的面积比等于相似比的平方可得S△AED的值，进而求得S△DEF的值.
21．【答案】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，AB＝10cm，AC＝6cm，
∴BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64，
∴BC＝ ＝8（cm），
又CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴ ，
∴AD＝BD ，
又在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，
∴AD2＋BD2＝102，
∴AD＝BD＝ ＝5 （cm）.
【解析】【分析】先求出 BC＝ ＝8（cm）， 再求出 AD＝BD ， 最后利用勾股定理计算求解即可。
22．【答案】解：设O为圆心，作 于D，交弧AB于C，则 ，如图所示：
拱桥的跨度 ，拱高 ，
，
在 中，
，
即 ， 解得：
即圆弧半径为 ．
答：赵州桥的主桥拱半径为 ．
【解析】【分析】 设O为圆心，作 于D，交弧AB于C，则 ，根据垂径定理可得，在 中，利用勾股定理求出AO的长.
23．【答案】（1）解：如解图①,连接OD,
∵BC切⊙O于点D,
∴∠ODB=90°,
∵∠C=90°,
∴AC∥OD,
∴∠CAD=∠ADO,
∵OA=OD,
∴∠DAO=∠ADO=∠CAD=25°,
∴∠DOB=∠CAO=∠CAD＋∠DAO=50°,
∵∠ODB=90°,
∴∠B=90°－∠DOB=90°－50°=40°;
（2）如解图②,连接OF,OD,
∵AC∥OD,
∴∠OFA=∠FOD,
∵点F为弧AD的中点,
∴∠AOF=∠FOD,
∴∠OFA=∠AOF,
∴AF=OA,
∵OA=OF,
∴△AOF为等边三角形,
∴∠FAO=60°,则∠DOB=60°,
∴∠B=30°,
∵在Rt△ODB中,OD=2,
∴OB=4,
∴AB=AO＋OB=2＋4=6.
【解析】【分析】（1）连接OD, 由切线的性质可得∠ODB=90°, 由∠C=90°,可得AC∥OD, 从而可得∠DAO=
∠ADO=∠CAD=25°,继而得出∠DOB的度数，利用∠B=90°－∠DOB即得结论；
（2）连接OF,OD,求出△AOF为等边三角形,可得∠FAO=60°,则∠DOB=60°,从而得出∠B=30°, 利用直角三角形的性质求出 OB=2OD=4, 利用AB=AO＋OB计算即可.
24．【答案】（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵∠ACD＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠BCD；
（2）解：如图1，过点E作EM⊥AD于点M，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝∠BCD＝45°，
∵AE＝17，
∴ME＝AM＝17× ＝ ，
∵DE＝13，
∴DM＝ ＝ ＝ ，
∴AD＝AM+DM＝12 ，
∴AB＝ AD＝12 ＝24，
∴AO＝ ＝12；
（3）解：AF+BC＝DF.理由如下：
如图2，过点D作DN⊥CB，交CB的延长线于点N，
∵四边形DACB内接于圆，
∴∠DBN＝∠DAF，
∵DF⊥AC，DN⊥CB，CD平分∠ACB，
∴∠AFD＝∠DNB＝90°，DF＝DN，
∴△DAF≌△DBN（AAS），
∴AF＝BN，CF＝CN，
∵∠FCD＝45°，
∴DF＝CF，
∴CN＝BN+BC＝AF+BC＝DF.
即AF+BC＝DF.
【解析】【分析】（1）由角平分线的概念可得∠ACD＝∠BCD，由圆周角定理可得∠ACD＝∠ABD，据此证明；
（2）过点E作EM⊥AD于点M，由圆周角定理可得∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，则∠DAB＝∠BCD＝45°，求出ME、AM的值，利用勾股定理求出DM，进而可得AD、AB、AO；
（3）过点D作DN⊥CB，交CB的延长线于点N，易得∠DBN＝∠DAF，由角平分线的性质可得DF＝DN，证明△DAF≌△DBN，得到AF＝BN，CF＝CN，推出DF＝CF，据此解答.
25．【答案】（1）证明：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO．
又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB．
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB=90°．
∴∠PCB+∠OCB=90°．
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径．
∴PC是⊙O的切线．
（2）证明：∵AC=PC，
∴∠A=∠P，
∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．
又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，
∴∠COB=∠CBO，
∴BC=OC=OB．
∴BC= AB．
（3）解：连接MA，MB，∵点M是 弧AB的中点，∴弧AM=弧BM， ∴∠ACM=∠BCM．∵∠ACM=∠ABM，∴∠BCM=∠ABM．∵∠BMN=∠BMC，∴△MBN∽△MCB．∴．∴BM2=MN MC．又∵AB是⊙O的直径，弧AM=弧BM，
∴∠AMB=90°，AM=BM．
∵AB=8，∴BM=4 ． ∴MN MC=BM2=32．
【解析】【分析】（1）根据圆的半径相等得到∠COB=2∠A又∠COB=2∠PCB，从而得到∠A=∠ACO=∠PCB．由直径所对的圆周角为直角，等量代换得到∠OCP为直角；（2）等角对等边；（3）连接MA，MB，由MN MC=BM2转化为，可得要证明△MBN∽△MCB．
26．【答案】（1）证明：如图，过点O作OF⊥AB于点F
∵AO平分∠CAB，
OC⊥AC，OF⊥AB，
∴OC=OF，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接CE，
∵ED是⊙O的直径，
∴∠ECD=90°，
∴∠ECO+∠OCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠ECO=90°，
∴∠ACE=∠OCD，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ACE=∠ODC，
∵∠CAE=∠CAE，
∴△ACE∽△ADC，
∴ ，
∵tan ，
∴ ；
（3）解：由（2）可知： ，
∴设AE=x，AC=2x，
∵△ACE∽△ADC，
∴ ，
∴AC2=AE AD，
∴（2x）2=x（x+6），
解得：x=2或x=0（不合题意，舍去），
∴AE=2，AC=4，
∴AO=AE+OE=2+3=5，
如图，连接CF交AD于点M
∵AC，AF是⊙O的切线，
∴AC=AF，∠CAO=∠OAF，
∴CF⊥AO，
∴∠ACO=∠CMO=90°，
∵∠COM=∠AOC，
∴△CMO∽△ACO，
∴ ，
∴OC2=OM OA，
∴OM= ，
∴CM= = ，
∴ .
【解析】【分析】（1）由题可过点O作OF⊥AB于点F，然后结合已知证OC＝OF即可求解；
（2）连接CE，先证∠ACE＝∠ODC，然后可证△ACE∽△ADC，于是可得比例式，由锐角三角函数tan∠D＝即可求解；
（3）由（2）可设AE=x，AC=2x，由相似三角形的性质得AC2＝AE AD，于是可求出AE，AC的长，则AO=AE+OE可求得AO的值；连接CF交AD于点M，证△CMO∽△ACO，可得OC2＝OM OA，求出OM、CM的值，则CF＝2CM可求解
一、单选题(共10题；共20分)
1．已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P（ ）
A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．无法确定
2．如图，是的直径，点、是上的点，若，则的度数为（ ）
A．65° B．55° C．60° D．75°
3．如图，点A，B，C在⊙O上，已知∠ABC＝130°，则∠AOC的度数是（ ）
A．100° B．110° C．115° D．130°
4．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，若大圆的半径是13，小圆的半径是5，则AB的长为（ ）
A．10 B．12 C．20 D．24
5． 如图，PA、PB切⊙O于点A、B，点C是⊙O上一点，且∠P＝36°，则∠ACB为（ ）
A．54° B．72° C．108° D．144°
6．如图，已知的直径AB的延长线与过C点的切线PC交于点P，若为20°，则直径与弦AC的夹角等于（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
7．如图， MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=40°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．圆内接正方形的面积为a，则圆的面积为（ ）
A． B．2πa C． D．πa2
9．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，点P在经过点A（﹣3，0），B（0，4）的直线上，PQ切⊙O于点Q，则切线长PQ的最小值为（ ）
A． B．2.4 C． D．3
10．如图，AB为半圆O的直径， ，点C为半圆上动点，以BC为边向形外作正方形BCDE，连接OD，则OD的最大值为
A．2 B． C． D．
二、填空题(共10题；共30分)
11．一个扇形的圆心角为 ，面积为 ，则此扇形的半径长为 cm.
12．如图，BC是 的弦，AD过圆心O，且 .若 ，则 的度数为 .
13．如图，点A，B，C在圆O上，OC⊥AB，垂足为D，若⊙O的半径是10cm，AB=12cm，则CD= cm．
14．平面上一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为 .
15．如图，PB与⊙O相切于点B，OP与⊙O相交于点A，若⊙O的半径为2，∠P＝30°，则OP的长为 ．
16．已知：如图， 是 的直径，弦 交 于E点， ， ， ，则 的长为 ．
17．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为 ．
18．如图，已知圆O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，且∠C=90°，AB=13，BC=12，则圆O的半径为 。
19．如图，△ABC中，AB＝4，∠ACB＝75°，∠ABC＝45°，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则EF的最小值为 .
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足 ，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE、CE，若CF＝2，AF＝3，给出下列结论：
①△ADF∽△AED； ②FG＝2； ③tan∠AED＝ ；④CD平分∠ADE；⑤S△DEF＝4 .
其中正确的是 .（填序号）
三、解答题(共6题；共50分)
21．（6分）如图所示，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．
22．（6分）赵州桥（如图）建于1400年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形，桥的跨度（弧所对的弦长）为 ，拱高（弧的中点到弦的距离）为 ，求赵州桥桥拱所在圆的半径．（精确到 ）
23（8分）．在△ABC中， ，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圈与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F
（1）如图①，连接AD，若 ，求∠B的大小；
（2）如图②，若点F为 的中点， 的半径为2，求AB的长．
24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，且CD平分∠ACB，交AB于点E.
（1）求证：∠ABD＝∠BCD；
（2）若DE＝13，AE＝17，求⊙O的半径；
（3）DF⊥AC于点F，试探究线段AF、DF、BC之间的数量关系，并说明理由.
25．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求证：PC 是⊙O 的切线；
（2）求证： ；
（3）点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N，若AB=8，求MN MC 的值．
26．（10分）如图1，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作圆O
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）已知AO交圆O于点E，延长AO交圆O于点D，tan∠D= ，求 的值；
（3）如图2，在（2）条件下，若AB与⊙O的切点为点F，连接CF交AD于点G，设⊙O的半径为3，求CF的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4，
∴d＞r，
∴点P与⊙O的位置关系是：点在圆外.
故答案为：C.
【分析】若点A到圆心的距离为d，圆的半径而r，当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d
【解析】【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=25°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=65°，
∴∠ADC=∠ABC=65°.
故答案为：A.
【分析】由直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，则∠ABC=90°-∠CAB=65°，然后根据同弧所对的圆周角相等进行求解.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：在优弧AC上取点D，连接AD，CD，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ABC＝130°，
∴∠D＝180° 130°＝50°.
∵∠D与∠AOC是同弧所对的圆周角与圆心角，
∴∠AOC＝2∠D＝100°.
故答案为：A.
【分析】在优弧AC上取点D，连接AD，CD，由圆内接四边形的对角互补可得∠ABC+∠D＝180°，结合∠ABC的度数可得∠D的度数，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠AOC＝2∠D，据此求解.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：连接OA、OC，如图，
∵AB为小圆的切线，
∴OC⊥AB，
∴AC＝BC，
在Rt△OAC中，∵OA＝13，OC＝5，
∴AC＝＝12，
∴AB＝2AC＝24．
故答案为：D．
【分析】连接OA、OC，先利用勾股定理求出AC的长，再利用垂径定理可得AB＝2AC＝24．
5．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OB，
∵PA、PB切⊙O于点A、B，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠P＝36°，
∴∠AOB=144°，
∴∠ACB=∠AOB=72°，
故答案为：B.
【分析】连接OA，OB，根据切线的性质得出∠PAO=∠PBO=90°，从而得出∠AOB=144°，根据圆周角定理得出∠ACB=∠AOB=72°，即可得出答案.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：如图所示，连接OC，
∵PC与相切，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的外角，
∴，
故答案为：D．
【分析】连接OC，根据切线的性质可得，再利用三角形的内角和可得，再利用三角形的外角和及AO=OC，即可得到。
7．【答案】B
【解析】【解答】解：作点B关于MN的对称点C，则点C在圆O上，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点．
此时PA+PB最小，且等于AC的长．
连接OA，OC，
∵∠AMN=40°，
∴∠AON=80°，
∵B为弧AN的中点，
∴∠AOB=∠BON=40°，
根据垂径定理得，
∴∠CON=∠BON=40°，
∴∠AOC=120°，
∵MN=2，
∴OA=OC=1，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
过点O作OG⊥AC于点G，
∴AG=CG，OG=OA=，
∴AG=CG=，
∴AC=．
故答案为：B．
【分析】先求出AG=CG，OG=OA=，再利用勾股定理计算求解即可。
8．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，四边形为的正方形，
为的直径，
又
即
故答案为：C
【分析】先求出AC为的直径，再求出最后求解即可。
9．【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示：连接OP、OQ，
PQ切⊙O于点Q，
， 为直角三角形，
由勾股定理可知： ，
故当OP有最小值时，PQ也有最小值，
根据点到直线距离，垂线段最短可知：当 ，OP有最小值，
如下图所示：过点O向AB作垂线，垂足为P，并在圆上找到对应切点Q，连接PQ与OQ.
点A（﹣3，0），B（0，4），
， ，
在 中，由勾股定理可得： ，
利用等面积法可得： 解得：
故 .
故答案为：C.
【分析】连接OP、OQ，易得△OPQ为直角三角形，由勾股定理可得：当OP有最小值时，PQ也有最小值，根据垂线段最短可知：当PO⊥AB时，OP有最小值，过点O向AB作垂线，垂足为P，并在圆上找到对应切点Q，连接PQ与OQ，根据点A、B的坐标可得OA=3，OB=4，由勾股定理求出AB，然后根据等面积法求出OP，接下来根据勾股定理求解即可.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：通过旋转观察如图，可知当 时，DO最长，设DO与 交于点M，连接CM，BD，OC.
理由： ， 都是等腰直角三角形，
，
，
，
∽ ，
： ： ，
，
点D的运动轨迹是以M为圆心 为半径的圆，
当D，M，O共线，即 时，DO最长.
，
，
四边形BCDE是正方形，
、M、E共线， ，
在 和 中，
，
≌ ，
，
的最大值 .
故答案为：C.
【分析】易知当DO⊥AB时，DO最长，设DO与⊙O交于点M，连接CM，BD，OC，由等腰直角三角形的性质可得∠OBM=∠CBD=45°，进而推出∠OBC=∠MBD，证明△OBC∽△MBD，由相似三角形的性质可得MD，当D，M，O共线时，DO最长，由圆周角定理可得∠MCB=45°，由正方形的性质可得∠DEM=∠BEM，证明△MED≌△MEB，由勾股定理可得DM=BM，据此求解.
11．【答案】
【解析】【解答】解：设该扇形的半径为R，则 =15π，
解得R= .
故答案为： .
【分析】设该扇形的半径为R，根据扇形的面积公式S=可列方程，求解即可.
12．【答案】20
【解析】【解答】解：如图，连接
， ，
故答案为：20°.
【分析】连接OB，根据等腰三角形的性质可得∠OBC=∠OCB=50°，根据直角三角形的两锐角互余得∠BOD=40°，然后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半进行求解.
13．【答案】2
【解析】【解答】解：∵OC是⊙O的半径且OC⊥AB，垂足为D，
∴OA=OC=10cm，AD= AB= ×12=6cm，
∵在Rt△AOD中，OA=10cm，AD=6cm，
∴OD= cm，
∴CD=OC﹣OD=10﹣8=2cm．
故答案为2．
【分析】在直角三角形AOD中利用勾股定理求出OD的值，然后利用CD=OC﹣OD即可求解。
14．【答案】4或2cm
【解析】【解答】解：（1）当点在圆外时，⊙O外一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则圆的直径为4cm，那么半径为2cm.
（2）当点在圆内时，⊙O外一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则圆的直径为8cm，那么半径为4cm.
故答案为：4或2cm.
【分析】当点在圆外时，易得圆的直径为6-2=cm，据此可得半径；当点在圆内时，易得圆的直径为6+2=8cm，据此可得半径.
15．【答案】4
【解析】【解答】解：如图所示，连接OB，
∵PB是圆O的切线，
∴∠OBP=90°，
∵∠P=30°，
∴OP=2OB=4，
故答案为：4．
【分析】连接OB，根据切线的性质可得∠OBP=90°，再利用含30°角的性质可得OP=2OB=4。
16．【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，过点O作OF⊥CD于F，连接OD，
∴∠OFE=90°， ，
∵∠AEC=30°，
∴ ，
∵BE=1，AE=5，
∴AB=BE+AE=6，
∵AB是直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】过点O作OF⊥CD于F，连接OD，根据，可得，在直角△DOF中求得DF的长即可求解。
17．【答案】
【解析】【解答】解：根据圆周角定理可得∠AED=∠ABC，所以tan∠AED=tan∠ABC=．
故答案为：．
【分析】根据圆周角的性质可得∠AED=∠ABC，再利用正切值的定义求解即可。
18．【答案】2
【解析】【解答】解：如图，连接OD，OE，OF，设半径为r，
∴OE⊥AC，OD⊥AB，OF⊥BC，
∵ ∠C=90°， OD=OE=OF，
∴四边形OFCE是正方形，
∴CE=CF=r，
∵∠C=90°，AB=13，BC=12，
∴AC=5，
∴BF=BD=12-r，AD=AE=5-r，
∴5-r+12-r=13，
∴r=2，
∴ 圆O的半径为2.
【分析】连接OD，OE，OF，设半径为r，证出四边形OFCE是正方形，得出CE=CF=r，再根据切线长定理得出BF=BD=12-r，AD=AE=5-r，根据勾股定理得出AB=13，从而得出5-r+12-r=13，得出r的值，即可得出答案.
19．【答案】
【解析】【解答】解：连接OE、OF，过O点作OM⊥EF，如图，则EM＝FM，
∵∠ACB＝75°，∠ABC＝45°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠EOF＝2∠EAF＝120°，
∵OE＝OF，
∴∠OEF＝∠OFE＝30°，
∴OM＝ OE，
∴EM＝ OM＝ OE，
∴EF＝ OE，
当OE的值最小时，EF的值最小，
∵D是线段BC上的一个动点，AD为直径，
∴当AD垂直BC时，AD的值最小，
过A点作AH⊥BC于H，
∵∠ABH＝45°，
∴AH＝ AB＝ ×4＝2 ，
即AD的最小值为2 ，
∴OE的最小值为 ，
∴EF的最小值为 × ＝ .
故答案为： .
【分析】连接OE、OF，过O点作OM⊥EF，如图，则EM＝FM，求出EF＝ OE，当OE的值最小时，EF的值最小，由于D是线段BC上的一个动点，AD为直径，可知当AD垂直BC时，AD的值最小，求出此时AD的长，即可求解.
20．【答案】①②⑤
【解析】【解答】解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴ ，DG=CG，
∴∠ADF=∠AED，
∵∠FAD=∠DAE（公共角），
∴△ADF∽△AED；故①正确；
②∵ ，CF=2，
∴FD=6，
∴CD=DF+CF=8，
∴CG=DG=4，
∴FG=CG-CF=2；故②正确；
③∵AF=3，FG=2，
∴AG= ，
∴在Rt△AGD中，tan∠ADG= ，
∴tan∠AED= ；故③错误；
④∵∠AFD=∠CFE，∠ADC=∠AEC
∴△AFD∽△CFE
∴ ，即 ，解得：
∴EF≠DF
则∠AED≠∠CDE，而∠ADC=∠AED
∴∠ADC≠∠CDE
∴CD并不平分∠ADE，故④错误
⑤∵DF=DG+FG=6，AD=
∴S△ADF= DF AG= ×6× =3 ，
∵△ADF∽△AED，
∴
∴ ，
∴S△AED=7 ，
∴S△DEF=S△AED-S△ADF=4 ；故⑤正确.
故答案为：①②⑤.
【分析】①、由题意可得 ，DG=CG，进而推出△ADF∽△AED；
②、由题意可得FD=6，进而求出CD、CG、FG的值；
③、由勾股定理可得AG的值，然后求出tan∠ADG的值，进而得到tan∠AED的值；
④、易证△AFD∽△CFE，由相似三角形对应边成比例可得EF的值，得到EF≠DF，据此进行判断即可；
⑤、由勾股定理可得AD的值，然后求出S△ADF，由相似三角形的面积比等于相似比的平方可得S△AED的值，进而求得S△DEF的值.
21．【答案】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，AB＝10cm，AC＝6cm，
∴BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64，
∴BC＝ ＝8（cm），
又CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴ ，
∴AD＝BD ，
又在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，
∴AD2＋BD2＝102，
∴AD＝BD＝ ＝5 （cm）.
【解析】【分析】先求出 BC＝ ＝8（cm）， 再求出 AD＝BD ， 最后利用勾股定理计算求解即可。
22．【答案】解：设O为圆心，作 于D，交弧AB于C，则 ，如图所示：
拱桥的跨度 ，拱高 ，
，
在 中，
，
即 ， 解得：
即圆弧半径为 ．
答：赵州桥的主桥拱半径为 ．
【解析】【分析】 设O为圆心，作 于D，交弧AB于C，则 ，根据垂径定理可得，在 中，利用勾股定理求出AO的长.
23．【答案】（1）解：如解图①,连接OD,
∵BC切⊙O于点D,
∴∠ODB=90°,
∵∠C=90°,
∴AC∥OD,
∴∠CAD=∠ADO,
∵OA=OD,
∴∠DAO=∠ADO=∠CAD=25°,
∴∠DOB=∠CAO=∠CAD＋∠DAO=50°,
∵∠ODB=90°,
∴∠B=90°－∠DOB=90°－50°=40°;
（2）如解图②,连接OF,OD,
∵AC∥OD,
∴∠OFA=∠FOD,
∵点F为弧AD的中点,
∴∠AOF=∠FOD,
∴∠OFA=∠AOF,
∴AF=OA,
∵OA=OF,
∴△AOF为等边三角形,
∴∠FAO=60°,则∠DOB=60°,
∴∠B=30°,
∵在Rt△ODB中,OD=2,
∴OB=4,
∴AB=AO＋OB=2＋4=6.
【解析】【分析】（1）连接OD, 由切线的性质可得∠ODB=90°, 由∠C=90°,可得AC∥OD, 从而可得∠DAO=
∠ADO=∠CAD=25°,继而得出∠DOB的度数，利用∠B=90°－∠DOB即得结论；
（2）连接OF,OD,求出△AOF为等边三角形,可得∠FAO=60°,则∠DOB=60°,从而得出∠B=30°, 利用直角三角形的性质求出 OB=2OD=4, 利用AB=AO＋OB计算即可.
24．【答案】（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵∠ACD＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠BCD；
（2）解：如图1，过点E作EM⊥AD于点M，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝∠BCD＝45°，
∵AE＝17，
∴ME＝AM＝17× ＝ ，
∵DE＝13，
∴DM＝ ＝ ＝ ，
∴AD＝AM+DM＝12 ，
∴AB＝ AD＝12 ＝24，
∴AO＝ ＝12；
（3）解：AF+BC＝DF.理由如下：
如图2，过点D作DN⊥CB，交CB的延长线于点N，
∵四边形DACB内接于圆，
∴∠DBN＝∠DAF，
∵DF⊥AC，DN⊥CB，CD平分∠ACB，
∴∠AFD＝∠DNB＝90°，DF＝DN，
∴△DAF≌△DBN（AAS），
∴AF＝BN，CF＝CN，
∵∠FCD＝45°，
∴DF＝CF，
∴CN＝BN+BC＝AF+BC＝DF.
即AF+BC＝DF.
【解析】【分析】（1）由角平分线的概念可得∠ACD＝∠BCD，由圆周角定理可得∠ACD＝∠ABD，据此证明；
（2）过点E作EM⊥AD于点M，由圆周角定理可得∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，则∠DAB＝∠BCD＝45°，求出ME、AM的值，利用勾股定理求出DM，进而可得AD、AB、AO；
（3）过点D作DN⊥CB，交CB的延长线于点N，易得∠DBN＝∠DAF，由角平分线的性质可得DF＝DN，证明△DAF≌△DBN，得到AF＝BN，CF＝CN，推出DF＝CF，据此解答.
25．【答案】（1）证明：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO．
又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB．
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB=90°．
∴∠PCB+∠OCB=90°．
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径．
∴PC是⊙O的切线．
（2）证明：∵AC=PC，
∴∠A=∠P，
∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．
又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，
∴∠COB=∠CBO，
∴BC=OC=OB．
∴BC= AB．
（3）解：连接MA，MB，∵点M是 弧AB的中点，∴弧AM=弧BM， ∴∠ACM=∠BCM．∵∠ACM=∠ABM，∴∠BCM=∠ABM．∵∠BMN=∠BMC，∴△MBN∽△MCB．∴．∴BM2=MN MC．又∵AB是⊙O的直径，弧AM=弧BM，
∴∠AMB=90°，AM=BM．
∵AB=8，∴BM=4 ． ∴MN MC=BM2=32．
【解析】【分析】（1）根据圆的半径相等得到∠COB=2∠A又∠COB=2∠PCB，从而得到∠A=∠ACO=∠PCB．由直径所对的圆周角为直角，等量代换得到∠OCP为直角；（2）等角对等边；（3）连接MA，MB，由MN MC=BM2转化为，可得要证明△MBN∽△MCB．
26．【答案】（1）证明：如图，过点O作OF⊥AB于点F
∵AO平分∠CAB，
OC⊥AC，OF⊥AB，
∴OC=OF，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接CE，
∵ED是⊙O的直径，
∴∠ECD=90°，
∴∠ECO+∠OCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠ECO=90°，
∴∠ACE=∠OCD，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ACE=∠ODC，
∵∠CAE=∠CAE，
∴△ACE∽△ADC，
∴ ，
∵tan ，
∴ ；
（3）解：由（2）可知： ，
∴设AE=x，AC=2x，
∵△ACE∽△ADC，
∴ ，
∴AC2=AE AD，
∴（2x）2=x（x+6），
解得：x=2或x=0（不合题意，舍去），
∴AE=2，AC=4，
∴AO=AE+OE=2+3=5，
如图，连接CF交AD于点M
∵AC，AF是⊙O的切线，
∴AC=AF，∠CAO=∠OAF，
∴CF⊥AO，
∴∠ACO=∠CMO=90°，
∵∠COM=∠AOC，
∴△CMO∽△ACO，
∴ ，
∴OC2=OM OA，
∴OM= ，
∴CM= = ，
∴ .
【解析】【分析】（1）由题可过点O作OF⊥AB于点F，然后结合已知证OC＝OF即可求解；
（2）连接CE，先证∠ACE＝∠ODC，然后可证△ACE∽△ADC，于是可得比例式，由锐角三角函数tan∠D＝即可求解；
（3）由（2）可设AE=x，AC=2x，由相似三角形的性质得AC2＝AE AD，于是可求出AE，AC的长，则AO=AE+OE可求得AO的值；连接CF交AD于点M，证△CMO∽△ACO，可得OC2＝OM OA，求出OM、CM的值，则CF＝2CM可求解