安徽省淮北市高一下学期开学考试数学试题（word版含解析）

安徽省淮北市高一下学期开学考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列四组函数，表示同一函数的是（ ）
A． B．，
C．， D．，
3．当时，函数的零点所在的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数对任意满足，且在上递增，若，且，则实数的范围为( )
A． B． C． D．
5．已知集合，则下列式子表示正确的有
① ② ③ ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知sin＝，则cos＝（ ）
A． B．－
C． D．－
7．若扇形的面积为，圆心角为，则该扇形的弧长为（ ）.
A．4 B．8 C．12 D．16
8．若函数的图像关于直线对称，则的最小值为
A．0 B．-15 C．-16 D．-18
9．“至多有三个”的否定是
A．至少有三个 B．至少有四个
C．恰有三个 D．一个也没有
10．设，，，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
11．函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
12．如图所示的四个容器高度都相同．将水从容器项部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度和时间之间的关系，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．甲和乙两个箱子各装有10个球，其中甲箱中有5个红球 5个白球，乙箱中有8个红球 2个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果出现点数为1或2，从甲箱子随机摸出一个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子随机摸出一个球.则摸出红球的概率为___________.
14．工艺扇面是中国书画一种常见的表现形式．高一某班级想用布料制作一 面如图所示的扇面参加元旦晚会．已知此扇面的中心角为，外圆半径为60，内圆半径为30． 则制作这样一面扇面需要的布料为_________.
15．若函数f(x)＝则f(f(－1))＝_____
16．若命题“”为假命题，则满足条件的一个自然数的值为______
四、解答题
17．设函数，其中a为常数．
(1)若对任意，，当时，，求实数a的取值范围；
(2)在（1）的条件下，求在区间[1，3]上的最小值，并求的最小值．
18．某校100名学生期末考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：.
(Ⅰ)求图中的值；
(Ⅱ)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
(Ⅲ)若成绩在的学生中男生比女生多一人，且从成绩在的学生中任选2人，求此2人都是男生的概率.
19．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，若角的终边交单位圆于点，且，求出点的坐标以及的值.
20．世纪年代，里克特（C.F.Richter）制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为：，其中，是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.（以下数据供参考：，，）
（1）根据中国地震台网测定，年月日时分，新疆巴音郭楞蒙古自治州若羌县发生地震，一个距离震中千米的测震仪记录的地震最大振幅是，此时标准地震的振幅是，计算这次地震的震级（精确到）；
（2）年月日时分秒在我国四川省汶川地区发生特大地震，根据中华人民共和国地震局的数据，此次地震的里氏震级达，地震烈度达到度.此次地震的地震波已确认共环绕了地球圈.地震波及大半个中国及亚洲多个国家和地区，北至辽宁，东至上海，南至香港、澳门、泰国、越南，西至巴基斯坦均有震感.请计算汶川地震的最大振幅是级地震的最大振幅的多少倍？
21．已知函数，集合.
（1）当时，解不等式；
（2）若，且，求实数的取值范围；
（3）当时，若函数的定义域为，求函数的值域.
22．已知函数．
（1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明其结论；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值．
试卷第页，共页
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参考答案：
1．D
【解析】
根据对数的真数大于零，以及偶次根式下被开方数大于等于零，即可列出不等式组解出．
【详解】
由题可得，，解得．所以函数的定义域是．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查函数定义域的求法以及对数函数的性质应用，属于容易题．
2．D
【解析】
【分析】
根据相等函数概念，逐一分析定义域和对应法则，即可求解.
【详解】
中，定义域，定义域为，则不是同一函数；
中，定义域，定义域为，则不是同一函数；
中，定义域，定义域为，则不是同一函数；
中，定义域，定义域，则是同一函数；
故选：
【点睛】
本题考查相等函数的概念，属于基础题.
3．C
【解析】
根据零点存在定理判断．
【详解】
，，，，
∴零点在上．
故选：C．
【点睛】
本题考查零点存在定理．属于基础题．一方面零点存在定理只是说明有一个零点，并没有说明只有一个，另一方面函数在区间上有零点，并不一定有．
4．A
【解析】
【详解】
∵函数f(x)对 x∈R满足，
∴f(x)的图象关于点(2,0)对称，
∵,f(x)在[2,+∞)上递增
∴g(x)也为奇函数,并且在[0,+∞)是增函数，
∵，
∴3 3g(0)
即 0
解得：0故选A.
5．C
【解析】
【详解】
解：因为集合，则说明A={1,-1},因此利用元素与集合的关系，以及集合与集合的关系得到①,成立，③ ④也成立，选项C
6．B
【解析】
【分析】
首先将，再利用诱导公式计算的值即可.
【详解】
由题意知，.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查三角函数的诱导公式，同时考查学生分析问题的能力，属于中档题.
7．B
【解析】
直接利用扇形面积公式计算得到，再计算弧长得到答案.
【详解】
，
故选：
【点睛】
本题考查了扇形面积，弧长的计算，意在考查学生的计算能力.
8．C
【解析】
【详解】
函数的图像关于直线对称，
故得到 ，
，令
原函数在 函数关于直线对称，且=-16.
故最小值为-16.
故答案为C．
点睛：这个题目考查到了函数的对称性的应用，以及导数在函数的最值和单调性中的应用．导数是一个很有用的工具，在研究函数极值最值，单调性，和零点问题中，都是非常常见的手段，一般研究函数最值都需要先研究函数的变化趋势，根据图像得到最值．
9．B
【解析】
【分析】
先明确命题含义,再写否定.
【详解】
“至多有三个”的含义是“一个也没有或有一个或有两个或有三个”，其否定为“至少有四个”．选B.
【点睛】
本题考查命题的否定，属基础题.
10．B
【解析】
将每个数据与1或0进行比较，再综合结果即可.
【详解】
因为，且 ，
，
，
故：.
故选：B.
【点睛】
本题考查指数式、对数式比较大小，一般地，我们将数据和1或0进行比较，从而区分大小关系.
11．A
【解析】
【分析】
先判断函奇偶性，排除BD，再用特殊值排除C选项.
【详解】
定义域为R，且，所以为偶函数，故排除BD，当时，，故 排除C，答案为A.
故选：A
12．BCD
【解析】
根据几何体的形状判断每增加一个高度需要的水是越多那么增加的比较平缓，每增加一个高度需要的水越少，那么增加的比较快，比较图象判断选项.
【详解】
对于第一幅图，不难得知水面高度的增加应是均匀的，因此A不正确；
对于第二幅图，随着时间的增加，越往上，增加同一个高度，需要的水越多，因此趋势愈加平稳，所以B正确；
对于第三幅图，开始是下面窄，上面宽，增加同一个高度需要的水越多，因此趋势愈加平稳，过了一半以后，越往上面越窄，增加同一个高度需要的水越少，因此趋势越快，所以C正确；
对于第四幅图，开始下面宽，上面窄，随着时间的增加，越往上，增加同一个高度，需要的水越少，因此趋势越快，过了一半以后，越往上面越宽，增加同一个高度，需要的水水越多，因此趋势越平稳，所以D正确.
故选：BCD
【点睛】
本题考查根据实际问题判断函数的图象，重点考查理解能力，属于中档题型.
13．0.7
【解析】
【分析】
根据相互独立事件的概率乘法公式分别求出从甲箱，乙箱摸出红球的概率，再根据互斥事件的概率加法公式，即可求解．
【详解】
解：掷到点数为1，2的概率为，从甲箱子摸到红球的概率为，
掷到点数为3，4，5，6的概率为，从乙箱子摸到红球的概率为，
故摸出红球的概率．
故答案为：0.7.
14．
【解析】
【详解】
由扇形的面积公式,可得制作这样一面扇面需要的布料为.
故答案为.
15．
【解析】
【分析】
根据分段函数解析式，先求出再求.
【详解】
解：
故答案为：
【点睛】
本题考查分段函数求值，属于基础题.
16．答案不唯一，0，1，2都可以
【解析】
【分析】
由可求得答案.
【详解】
解：因为，又命题 “”为假命题，所以，因为m为自然数，所以m为0，1，2都可以.
故答案为：答案不唯一，0，1，2都可以.
17．(1)
(2)，的最小值为－36.
【解析】
【分析】
(1)结合已知条件可知在定义域上为增函数，然后结合一元二次函数和一次函数的性质即可求解；(2)结合(1)的结论，对参数分类讨论并结合一元二次函数的单调性即可求解.
(1)
因为的对称轴为，且开口向上，
由题意可知，函数在定义域上为增函数，
则实数a应满足，解得，
故实数a的取值范围为.
(2)
，其图像的对称轴为直线，且开口向下，
由(1)得，
①当，即时，，
因为在上单调递减，
此时；
②当，即时，在上单调递减，
此时，
综上所述，，且的最小值为－36．
18．（1）（2）73 （3）
【解析】
【详解】
试题分析:(1)利用小长方形的面积和为,求得.(2)用每组中点值乘以频率后相加,可估计出平均分.(3)利用列举法可求得相应的概率.
试题解析:(1).(2)平均分的估计值为.(3)共有人,其中男生人,女生人,分别记为,选出两人,基本事件有共种,其中都是男生的有共种,故概率为.
19．，
【解析】
【分析】
首先根据，，设出点坐标，由单位圆可求出点坐标，再根据的定义即可求的值出.
【详解】
因为，.
所以设，由题知：
，解得：.
所以.
.
【点睛】
本题主要考查三角函数的定义，同时考查了学生的转化能力，运算能力，属于简单题.
20．（1）约为里氏级的地震（2）倍
【解析】
【分析】
（1）把最大振幅和标准振幅直接代入公式M＝lgA﹣lgA0求解；
（2）利用对数式和指数式的互化由M＝lgA﹣lgA0得，把M＝8.0和M＝5.0分别代入公式作比后即可得到答案．
【详解】
（1）
因此，这是一次约为里氏级的地震.
（2）由可得
则
当时，地震的最大振幅为
当时，地震的最大振幅为
所以，两次地震的最大振幅之比是
答：级地震的最大振幅大约是级地震的最大振幅的倍.
【点睛】
本题考查了函数模型的选择与应用，训练了对数式和指数式的互化，解答的关键是对题意的理解，是中档题．
21．（1）；（2）；（3）当时，的值域为；
当时，的值域为；当时，的值域为．
【解析】
【详解】
分析：（1）先根据一元二次方程解得ex＞3，再解对数不等式得解集，（2）解一元二次不等式得集合A,再根据，得log2f(x)≥1在0≤x≤1上有解，利用变量分离法得a≥3ex－e2x在0≤x≤1上有解，即a≥[3ex－e2x]min.最后根据二次函数性质求最值得结果,（3）先转化为对勾函数，再根据拐点与定义区间位置关系，分类讨论，结合单调性确定函数值域.
详解：（1）当a＝－3时，由f(x)＞1得ex－3e-x－1＞1，
所以e2x－2ex－3＞0，即(ex－3) (ex＋1)＞0，
所以ex＞3，故x＞ln3，
所以不等式的解集为(ln3，+∞).
（2）由x2－x≤0，得0≤x≤1，所以A＝{x|0≤x≤1}.
因为A∩B≠，所以log2f(x)≥1在0≤x≤1上有解，
即 f(x)≥2在0≤x≤1上有解，
即ex＋ae-x－3≥0在0≤x≤1上有解，
所以a≥3ex－e2x在0≤x≤1上有解，即a≥[3ex－e2x]min.
由0≤x≤1得1≤ex≤e，
所以3ex－e2x＝－(ex－)2＋∈[3e－e2，]，
所以a≥3e－e2.
（3）设t＝ex，由（2）知1≤t≤e，
记g(t)＝t＋－1(1≤t≤e，a＞1)，则，
t (1，) (，＋∞)
g′(t) － 0 ＋
g(t) ↘ 极小值 ↗
①当≥e时，即a≥e2时，
g(t)在1≤t≤e上递减，所以g(e)≤g(t)≤g(1)，即．
所以f(x)的值域为.
②当1＜＜e时，即1＜a＜e2时，
g(t)min= g()＝2－1，g(t)max=max{ g(1)，g(e)} =max{ a，}．
1°若a，即e＜a＜e2时，g(t)max= g(1)= a；
所以f(x)的值域为；
2°若a，即1＜a≤e时，g(t)max= g(e) =，
所以f(x)的值域为．
综上所述，当1＜a≤e时，f(x)的值域为；
当e＜a＜e2时，f(x)的值域为；
当a≥e2时，f(x)的值域为．
点睛：不等式有解是含参数的不等式存在性问题时，只要求存在满足条件的即可；不等式的解集为R是指不等式的恒成立，而不等式的解集的对立面（如的解集是空集，则恒成立）)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即恒成立 ，恒成立 .
22．（1）证明见解析；（2）最大值为；小值为
【解析】
【详解】
试题分析：（1）利用单调性的定义，任取，且，比较和0即可得单调性；
（2）由函数的单调性即可得函数最值.
试题解析：
（1）解：在区间上是增函数.
证明如下：
任取，且，
.
∵，
∴，即.
∴函数在区间上是增函数.
（2）由（1）知函数在区间上是增函数，
故函数在区间上的最大值为，
最小值为.
点睛： 本题考查利用函数的奇偶性求函数解析式,判断并证明函数的单调性,属于中档题目.证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差： ，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：和0比较；
（4）下结论.
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