安徽省六安市高一下学期开学考试数学试题（word版含解析）

安徽省六安市高一下学期开学考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若是钝角，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．函数的部分图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数的部分图象如图所示，则
A． B． C． D．
5．已知函数方程有个不同的实根，则取值范围
A． B． C． D．
6．已知扇形的圆心角为弧度，半径为，则扇形的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．函数，则的最小正周期和最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数f(x)＝若f(1－x)＝2，则x的取值范围是（ ）
A． B．[0,2]
C．[－2,0] D．{－1}∪[0,2]
9．已知函数的最小值为2，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数为奇函数，当时，，且，则（ ）
A． B． C． D．
11．若函数在R上单调递增，则实数的取值范围是.
A． B． C． D．
12．设集合，,则下列关系正确的是: （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．设是定义域在R上的偶函数，对，都有，且当时，，若在区间内关于x的方程有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是_________.
14．定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，则不等式f(logx)>0的解集为________．
15．已知函数对任意都有，若在上的取值范围是，则实数的取值范围是__________．
16．若函数的最小正周期为，则正数的值为___________
三、解答题
17．设函数，为函数的导函数.
(1)讨论函数的单调性并写出单调区间；
(2)若存在，使得函数不存在零点，求的取值范围；
(3)若函数有两个不同的零点，求证：.
18．对于函数，求出其定义域，值域，最小正周期，以及单调性．
19．定义函数为“正余弦”函数.结合学过的相关知识，我们可以得到该函数的性质：
1.我们知道，正弦函数和余弦函数的定义域均为，故函数的定义域为.
2.我们知道，正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数，对，，可得：函数为偶函数.
3.我们知道，正弦函数和余弦函数的最小正周期均为，对，，可知为该函数的周期，是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们来研究在区间上的单调性，在区间上，余弦函数单调递减，正弦函数在上单调递增，在上单调递减，故我们需要分这两个区间来讨论.当时，设，因正弦函数在上单调递增，故，令，，可得，而在区间上，余弦函数单调递减，故：即：从而，时，函数单调递减.同理可证，时，函数单调递增.可得，函数在上单调递减，在上单调递增.结合.可以确定：的最小正周期为.这样，我们可以求出该函数的值域了：显然：，而，故的值域为，定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题：
（1）求该函数的定义域；
（2）判断该函数的奇偶性；
（3）探究该函数的单调性及最小正周期，并求其值域.
20．求值：（1）一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数；
（2）已知，计算.
21．已知函数，集合.
（1）当时，解不等式；
（2）若，且，求实数的取值范围；
（3）当时，若函数的定义域为，求函数的值域.
22．已知函数.
（1）当时，求的值域；
（2）若，且，求的值；
（3）若，求的值
试卷第页，共页
试卷第页，共页
参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
根据诱导公式以及同角三角函数关系求得结果.
【详解】
,
又是钝角，，所以
因此，
故选：D
【点睛】
本题考查诱导公式以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.
2．A
【解析】
【分析】
求出集合、，利用交集的定义可求得集合.
【详解】
，，因此，.
故选：A.
【点睛】
本题考查交集的运算，同时也考查了对数不等式和函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.
3．C
【解析】
【分析】
对自变量分段讨论，根据指数函数和正弦函数的性质即可判断，正弦函数满足
【详解】
当时，，则，故选项和选项均错误
当时，，则，故选项错误，而选项正确
故选：
4．C
【解析】
【分析】
根据图像最低点求得，根据函数图像上两个特殊点求得的值，由此求得函数解析式，进而求得的值.
【详解】
根据图像可知，函数图像最低点为，故，所以，将点代入解析式得，解得，故，所以，故选C.
【点睛】
本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，并求三角函数值，属于中档题.
5．D
【解析】
【详解】
由题意可画出y=f(x)的图像如图，f(0)=1,f(2)=1，注意y=1是图像的一条渐近线，令t=f(x), ,由图像可知，
当时,方程f(x)=t 有4个解，
当和时，方程f(x)=t 有2个解，
当时，方程f(x)=t 有1个解，
当t=1时，方程f(x)=t 有3个解
当t<0时，方程f(x)=t 有0个解
复合方程有6个根，一定是4+2，
即，的两个根分别在，
令，所以
其对应的平面区域如下图所示：
故当a=3，b=2时，3a+b取最大值11，
当a=1，b=0时，3a+b取最小值3，
则3a+b的取值范围是(3,11)
故选D.
点睛：本题考查复合函数零点的个数问题，以及二次函数根的分布，解决本题的关键是利用换元，将复合函数转化为我们熟悉的二次函数，换元是解决这类问题的关键；先将函数进行换元，转化为一元二次函数问题，同时利用函数的图象结合数形结合思想及一元二次函数根的分布问题，确定的取值范围.
6．D
【解析】
【分析】
利用扇形面积公式（为扇形的圆心角的弧度数，为扇形的半径），可计算出扇形的面积.
【详解】
由题意可知，扇形的面积为，故选D.
【点睛】
本题考查扇形面积的计算，意在考查扇形公式的理解与应用，考查计算能力，属于基础题.
7．B
【解析】
【分析】
化简已知得，即得函数的最小正周期和最大值.
【详解】
解：函数
则的最小正周期为，最大值为.
故选：B
8．D
【解析】
【分析】
对1-x按分段函数的区间进行分类求解即可．
【详解】
解：当－1≤1－x≤1，即0≤x≤2时，f(1－x)＝2，满足条件，
所以0≤x≤2，
当1－x<－1或1－x>1即x<0或x>2时，f(1－x)＝4－(1－x)＝x＋3＝2，解得x＝－1，满足条件，
综上有0≤x≤2或x＝－1.
故选：D.
9．D
【解析】
【分析】
将函数分离变量得到，画出图象，数形结合即得解
【详解】
由作出图象，
如图，由图象可得要取得最小值2，则；
∵在区间上单调递减，则时，取得最小值为2，即，可得，
∴a的取值范围为
故选：D
【点睛】
本题考查了一次比一次型的分式函数的最值问题，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算能力，属于中档题
10．B
【解析】
【分析】
由奇函数对称性可得，代入已知解析式解得.
【详解】
函数为奇函数，.
又，则，解得.
故选：B.
【点睛】
图象具有对称性的函数求值题型关键在于区间转化，将未知区间的问题利用对称性转化到已知区间上求解.
11．B
【解析】
【分析】
分段函数在R上单调递增，只需要每段函数单调递增且在临界点处的函数值左边小于等于右边，列出不等式即可．
【详解】
因为函数在R上单调递增，
所以；
对称轴，即；
临界点处，即或；
综上所述：
故选B
【点睛】
此题考查分段函数单调性问题，每段各自单调和临界点处左右单调是解题的关键点，属于较易题目．
12．D
【解析】
【分析】
由题意，可得是集合M的元素即可得出结论
【详解】
由题意可知：成立
所以，
故选D
【点睛】
本题主要考查了元素与集合的关系和集合与集合的基本关系，属于基础题．
13．
【解析】
【分析】
首先结合已知条件，判断函数的周期，由已知可得函数的周期，作出函数的图象，数形结合得答案．
【详解】
由，得，
又是定义域在上的偶函数，，
可得是周期为2的周期函数．
当时，，
作出函数在区间内的图象如图，
方程有4个不同的实数根，
即与的图象在区间内有4个不同交点．
当过时，解得，
又随着的减小抛物线的开口变大，可得
若在区间内关于的方程有4个不同的实数根，
则实数的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】
方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.
14．
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性和函数的单调性的性质，将不等式进行转化，即可求出不等式的解集．
【详解】
∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)在(0，＋∞)上递增．
∴y＝f(x)在(－∞，0)上也是增函数，
又f＝0，知f＝－f＝0．
故原不等式f(logx)>0可化为
f(logx)>f或f(logx)>f，
∴logx>或－解得0所以原不等式的解集为．
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性和函数的单调性的应用，以及不等关系式的解法，其中利用函数的奇偶性和单调性，转化为对数不等式是解答本题的关键，着重考查了转化思想的应用，以及分析问题和解答问题的能力．
15．
【解析】
【分析】
由辅助角公式可得，由题意可知的最大值为，可求得，然后结合已知函数的值域及正弦函数的图象的性质可求实数的取值范围．
【详解】
解：，其中，
因为函数对任意，都有，
所以的最大值为，所以，即，，所以，
所以，
因为，所以，
若在，上的值域为，
所以
结合正弦函数的性质可知，，
解得，
即实数的取值范围是，．
故答案为：，．
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是利用函数对任意，都有求得函数的最大值，从而求得的值，才能解决函数的解析式，利用三角函数性质解决问题.
16．3
【解析】
【详解】
由正弦型函数的最小正周期公式可得： .
17．(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
小问1先求导分和两种情况讨论；
小问2转化为求函数的值域，结合函数的值域来求出的范围；
小问3通过构造新函数，研究新函数的单调性得到证明.
(1)
.
当时，，函数的单调递增区间是.
当时，令，得，令，得.
所以，函数的单调增区间为，单调减区间是.
(2)
当时，由（1）知，的单调增区间是，
易知.又，故可得
又，且函数的图像连续，所以存在一个零点，不满足题意.
当时，因为，函数的图像不间断，若存在，使函数不存在零点，则对任意恒成立.
由（1）知，能成立，即能成立令，则，
，则，令，得，
当时，，单调递减，时，，单调递增.
所以，所以
综上，的取值范围是.
另：当时，有零点，不满足；
当时，由，得
记，再讨论的单调性也可得.
(3)
因为函数有两个不同的零点，
则由（1）知，且，，消去得.
设，则，可解得，.
方法1：.
设，，则，
所以在上单调递增，所以，
故，
所以，所以.
又因为.
设，，则
所以在上单调递增，所以，所以.
综上，.
方法2：，，
.
设，，则.
设，，
则，在上单调递减，所以，在上单调递增，
所以.
设，，则，所以在上单调递增，
所以.
所以，故.
18．定义域为R；值域是；最小正周期是；增区间是 ，减区间是 .
【解析】
【分析】
利用正弦函数的性质求解.
【详解】
函数的定义域为R，
因为，
所以，
所以函数值域是；最小正周期是；
令，
解得，
所以函数的增区间是 ，
令，
解得，
所以函数的减区间是 .
19．（1）；（2）偶函数；（3）单调递减区间为：，单调递增区间为：，最小正周期：，值域为：.
【解析】
（1）由阅读材料中，即可求出的定义域；
（2）由函数奇偶性的定义即可判断；
（3）根据阅读材料求出的一个周期，再类比先证函数在上的单调性，再证在上的单调性，同理可得在上的单调性，即可求出最小正周期以及值域.
【详解】
解：（1）正弦函数和余弦函数的定义域均为，故函数的定义域为；
（2）的定义域为，关于原点对称，
且，
故函数为偶函数；
（3），
，
即为函数的一个周期；
对函数，
①当，设，
由余弦函数在上单调递减，得：，
令，，可得：，
而在区间上，正弦函数单调递增，
故，
从而，时，函数单调递减；
②当时，设，
由余弦函数在在上单调递减，得：，
令，，可得：，
而在区间上，正弦函数单调递增，
故，
从而，时，函数单调递减；
同理可证：时，函数单调递增；
时，函数单调递增；
综上所述：当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增；
可得：为函数的最小正周期；
故，
而，
故的值域为：.
【点睛】
方法点睛：本题解题的关键是理解题意，利用定义证明函数的单调性，定义法判定函数在区间上的单调性的一般步骤：
1.取值：任取，，规定，
2.作差：计算；
3.定号：确定的正负；
4.得出结论：根据同增异减得出结论.
20．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设出扇形的半径为，弧长为，利用面积、周长的值，得到关于的方程；
（2）由已知条件得到，再代入所求的式子进行约分求值.
【详解】
（1）设扇形的半径为，弧长为，则解得：
所以圆心角的弧度数.
（2）因为，所以，
所以.
【点睛】
若三个中，只要知道其中一个，则另外两个都可求出，即知一求二.
21．（1）；（2）；（3）当时，的值域为；
当时，的值域为；当时，的值域为．
【解析】
【详解】
分析：（1）先根据一元二次方程解得ex＞3，再解对数不等式得解集，（2）解一元二次不等式得集合A,再根据，得log2f(x)≥1在0≤x≤1上有解，利用变量分离法得a≥3ex－e2x在0≤x≤1上有解，即a≥[3ex－e2x]min.最后根据二次函数性质求最值得结果,（3）先转化为对勾函数，再根据拐点与定义区间位置关系，分类讨论，结合单调性确定函数值域.
详解：（1）当a＝－3时，由f(x)＞1得ex－3e-x－1＞1，
所以e2x－2ex－3＞0，即(ex－3) (ex＋1)＞0，
所以ex＞3，故x＞ln3，
所以不等式的解集为(ln3，+∞).
（2）由x2－x≤0，得0≤x≤1，所以A＝{x|0≤x≤1}.
因为A∩B≠，所以log2f(x)≥1在0≤x≤1上有解，
即 f(x)≥2在0≤x≤1上有解，
即ex＋ae-x－3≥0在0≤x≤1上有解，
所以a≥3ex－e2x在0≤x≤1上有解，即a≥[3ex－e2x]min.
由0≤x≤1得1≤ex≤e，
所以3ex－e2x＝－(ex－)2＋∈[3e－e2，]，
所以a≥3e－e2.
（3）设t＝ex，由（2）知1≤t≤e，
记g(t)＝t＋－1(1≤t≤e，a＞1)，则，
t (1，) (，＋∞)
g′(t) － 0 ＋
g(t) ↘ 极小值 ↗
①当≥e时，即a≥e2时，
g(t)在1≤t≤e上递减，所以g(e)≤g(t)≤g(1)，即．
所以f(x)的值域为.
②当1＜＜e时，即1＜a＜e2时，
g(t)min= g()＝2－1，g(t)max=max{ g(1)，g(e)} =max{ a，}．
1°若a，即e＜a＜e2时，g(t)max= g(1)= a；
所以f(x)的值域为；
2°若a，即1＜a≤e时，g(t)max= g(e) =，
所以f(x)的值域为．
综上所述，当1＜a≤e时，f(x)的值域为；
当e＜a＜e2时，f(x)的值域为；
当a≥e2时，f(x)的值域为．
点睛：不等式有解是含参数的不等式存在性问题时，只要求存在满足条件的即可；不等式的解集为R是指不等式的恒成立，而不等式的解集的对立面（如的解集是空集，则恒成立）)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即恒成立 ，恒成立 .
22．(1)；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）由两角和的正弦公式得，结合，求值域即可；（2）先拼凑角，再结合两角差的余弦公式即可得解；
（3）由降幂公式，，再利用已知条件求解即可.
【详解】
解：（1）.，，
，
当时，的值域为.
（2），，
又，，，
故.
（3），，，
.
【点睛】
本题考查了两角和的正弦公式及两角差的余弦公式，重点考查了降幂公式，属中档题.
试卷第页，共页
试卷第页，共页