福建省漳州市高一下学期期初考试数学试题（word版含解析）

福建省漳州市高一下学期期初考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知定义在上的函数的最大值为，则正实数的取值个数最多为（ ）
A． B． C． D．
2．已知与函数相切，则不等式组确定的平面区域在内的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．若，则下列一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．命题“x∈A，2x∈B”的否定是（ ）．A．x∈A，2xB B．xA，2xB
C．x0A，2x0∈B D．x0∈A，2x0B
5．“”是的“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．下列函数中为偶函数，且在上单调递增的是
A． B． C． D．
7．已知函数是奇函数，当时，，则
A． B．
C． D．
8．，，则=
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列函数是奇函数的有（ ）
A． B．
C． D．
10．若，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．定义域为的奇函数，当时，，下列结论正确的有（ ）
A．对且，恒有
B．对，恒有
C．函数与的图象共有4个交点
D．若时，的最大值为，则
12．下列转化结果正确的有（ ）
A． B．
C．-150°化成弧度是 D．化成度是75°
三、填空题
13．若，，且，则的值等于______.
14．在中，，，，则______.
15．，，则a的取值范围是________．
16．设函数，若对所有都有，则的取值范围为__________．
四、解答题
17．已知函数，其中.
（1）求的单调递增区间；
（2）若在区间上的最大值为6，求实数的值.
18．已知集合，，.
（1）若与同时成立，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围.
19．某公司决定采用增加广告投入和技术改造投入两项措施来获得更大的收益．通过对市场的预测，当对两项投入都不大于3(百万元)时，每投入(百万元)广告费，增加的销售额可近似的用函数(百万元)来计算；每投入x(百万元)技术改造费用，增加的销售额可近似的用函数(百万元)来计算．现该公司准备共投入3(百万元)，分别用于广告投入和技术改造投入，请设计一种资金分配方案，使得该公司的销售额最大． (参考数据：≈1.41，≈1.73)
20．已知函数
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最大值和最小值
21．已知函数f(x)对任意x∈R满足f(x)＋f(－x)＝0，f(x－1)＝f(x＋1)，若当x∈[0，1)时，f(x)＝ax＋b(a＞0且a≠1)，且f＝．
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数g(x)＝f2(x)＋f(x)的值域．
22．若，且，，求的值.
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参考答案：
1．C
【解析】
由定义在，上的函数的最大值为，可得：，解得，因此：．分类讨论：①时，，利用图象以及函数零点定理即可判断出结论．②，，必须，．即可得出结论．
【详解】
解：定义在，上的函数的最大值为，
，解得，
．
①当时，即时，，
令，，
如图，易知与的图象有两个交点，，
由图可知，令，
，，
因此存在唯一实数，，使得．
②当时，即，，必须．
综上可得：正实数的取值个数最多为2个．
故选：．
【点睛】
本题考查了三角函数的图象与性质、函数零点存在判定定理、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力．
2．C
【解析】
设切点为，可得，解方程可得，然后作出不等式组在内的区域，再利用扇形的面积公式即可求解.
【详解】
由与函数相切，
设切点为，则，解得，
所以不等式组为，
则不等式组确定的平面区域在内的面积为阴影部分，
由题意可得，，
所以，所以，
所以阴影部分的面积为：.
故选：C
【点睛】
本题考查了导数的几何意义、不等式表示的平面区域、两角和的正切公式以及扇形的面积公式，综合性比较强，属于中档题.
3．C
【解析】
【详解】
，，，，
因此，选C.
4．D
【解析】
【分析】
根据全称量词命题的否定的知识确定正确选项.
【详解】
原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到是否定结论，不是否定条件，所以D选项符合.
故选：D
5．A
【解析】
根据充分不必要条件的定义结合举反例可以得到答案.
【详解】
当时，因为，所以一定成立，所以是充分的；
当时，成立，而，不一定，所以不是必要的．
综上所述，“”是的“”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】
结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含.
6．D
【解析】
分析各选项中函数单调性以及在区间上的单调性，可得出合适的选项.
【详解】
对于A选项，函数定义域为，该函数为非奇非偶函数，且在区间上为增函数；
对于B选项，函数为偶函数，且在区间上为减函数；
对于C选项，函数为非奇非偶函数，且在区间上为增函数；
对于D选项，函数为偶函数，且在区间上为增函数.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数奇偶性与单调性的判断，熟悉几种常见的基本初等函数的基本性质是判断的关键，考查推理能力，属于基础题.
7．B
【解析】
【详解】
试题分析：因为函数是奇函数且时,，所以，故选B．
考点：1、函数的奇偶性；2、函数的解析式及对数的性质．
8．C
【解析】
【分析】
利用集合元素特征及补集定义，求得集合A与集合B的补集，结合交集运算即可求解．
【详解】
根据补集定义可得=
而，所以
所以=
所以选C
【点睛】
本题考查了集合交集、补集的简单运算，注意集合A元素的特征，属于基础题．
9．AC
【解析】
【分析】
利用奇偶性定义逐一判断即可.
【详解】
对于A，定义域为，令，则，即函数为奇函数；
对于B，定义域为，，即该函数不是奇函数；
对于C，，，即该函数为奇函数；
对于D，定义域为，，该函数为偶函数；
故选：AC
10．AB
【解析】
【分析】
利用作差法可判断各选项中不等式的正误.
【详解】
对于A选项，，
，则，，所以，，则，A选项中的不等式成立；
对于B选项，，，则，
所以，，B选项中的不等式成立；
对于C选项，，
若，则，，则，
此时，C选项中的不等式不成立；
对于D选项，，
，则，则，D选项中的不等式不成立.
故选：AB.
11．BD
【解析】
【分析】
画出函数的的图象，结合函数的图象与性质，利用函数的单调性、图象的“凹凸”性，以及函数的值域，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意，定义域为的奇函数，当时，，
作出函数的图象，如图所示，
则函数在上为单调递减函数，
又由函数为奇函数，所以函数在上单调递减，
不妨设，结合图象可得，
此时，此时，所以A不正确；
当时，函数为“凹函数”，所以满足成立，
所以B正确；
结合图象，可得函数与的图象，共有4个交点，所以C正确；
若时，当时，可得；
当时，令，解得，因为函数为奇函数，可得，
要使得当时，的最大值为，可得，即，
所以D正确.
故选：BD.
12．AB
【解析】
【分析】
由诱导公式及特殊角的三角函数值即可判断A、B，利用弧度制和角度制的互化可判断C、D.
【详解】
，A对；
，B对；
，C错；
，D错.
故选：AB
13．2
【解析】
【分析】
根据指数函数的单调性得到，再根据计算可得结果.
【详解】
因为，，
所以，所以，
所以.
故答案为：2.
【点睛】
本题考查了利用指数函数的单调性比较大小，考查了根式的性质，属于基础题.
14．
【解析】
【分析】
利用正弦定理，结合题中的条件，可求得，结合大边对大角的结论，得到不可能是钝角，从而求得结果.
【详解】
由正弦定理，∴，∴，
又，∴，
故答案是：.
【点睛】
该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，根据三角函数值确定角的大小，三角形大边对大角的结论，属于简单题目.
15．
【解析】
集合表示圆上或圆内的点，由可知，集合表示不等式组 表示的正方形平面区域，若则圆内或圆上的点在正方形内或边界上，作出集合表示的平面区域，可知圆内切与正方形时的值最小，即可求解.
【详解】
由题意知集合表示圆上或圆内的点，因为，
当时集合中只有一个元素不满足，
所以若，则，
作出集合圆和不等式组表示的正方形区域如图所示，若则圆内或圆上的点在正方形内部或边界上，
由图知，当圆内切于正方形时的值最小，
此时圆心到直线的距离等于半径，
所以，因为，所以的最小值为，
所以a的取值范围是：
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是知道集合表示圆上或圆内的点，集合中表示四条直线围成的正方形边界及正方形内部，若则圆内或圆上的点在正方形内或边界上，利用相切可以求出的最小值.
16．
【解析】
【分析】
设，变形后得出，利用辅助角公式得出，得出，由此可得出关于的不等式，求出的取值范围，得出的最大值，可求出实数的取值范围.
【详解】
设，则有，即，
由辅助角公式可得，其中，.
，由，得，解得，
函数的最大值为，则有，
因此，实数的取值范围是.
故答案为.
【点睛】
本题考查不等式恒成立问题，考查利用正、余弦型函数的有界性求函数的值域，同时也考查了辅助角公式的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
17．（1）；（2）3
【解析】
【详解】
分析：（1）函数解析式可化为，然后将看作一个整体并结合正弦函数的增区间可得所求．（2）由条件可得，故可得，所以的最大值为，然后由条件得到．
详解：（1）
．
由，
得．
所以的单调递增区间为.
（2）因为，
所以，
所以，
故,
所以的最大值为，
由题意得，
解得．
所以实数的值为3.
点睛：本题考查三角变换和三角函数的性质及其应用，解答此类问题的关键是将所给的函数化为或的形式，将作为一个整体并结合正（余）弦函数的相关性质求解，解题时特别注意的符号对结果的影响．
18．（1）（2）或
【解析】
（1）先化简集合与集合，再根据，，得到是方程的解，求出或，再检验，即可得出结果；
（2）先由（1）得到，根据，得到或，分别讨论这两种情况 ，即可得出结果.
【详解】
（1）由题意可得，，
∵，，
集合中的元素有，即是方程的解；
把代入方程得，解得或.
当时，，满足题意；
当时，，此时，
故不满足题意，舍去.
综上知.
（2）由（1）可知，若，则或.
当时，，解得或.
当时，方程有两个相等的实数根2，由根与系数的关系得解得.
综上可得，实数a的取值范围是或.
【点睛】
本题主要考查由集合交集的结果求参数，以及由集合间的包含关系求参数，熟记集合交集的概念，以及集合间的基本关系即可，属于常考题型.
19．当该公司用于广告投入1.27(百万元)，用于技术改造投入1.73(百万元)时，公司将有最大的销售额．
【解析】
【分析】
根据条件列利润函数关系式，再利用导数求最值
【详解】
解：设3百万元中技术改造投入为x(百万元)，广告费投入为3－x(百万元)，则广告收入带来的销售额增加值为－2(3－x)2＋14(3－x)(百万元)，技术改造投入带来的销售额增加值为－x3＋2x2＋5x(百万元)，
所以，投入带来的销售额增加值F(x)＝－2(3－x)2＋14(3－x)－x3＋2x2＋5x.
整理上式得F(x)＝－x3＋3x＋24，
因为F′(x)＝－x2＋3，令F′(x)＝0，解得x＝或x＝－ (舍去)，
当x∈[0，)，F′(x)＞0，当x∈(，3]时，F′(x)＜0，
所以，x＝≈1.73时，F(x)取得最大值．
所以，当该公司用于广告投入1.27(百万元)，用于技术改造投入1.73(百万元)时，公司将有最大的销售额．
【点睛】
本题考查函数解析式以及利用导数求函数最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
20．（Ⅰ）（Ⅱ）最大值2；最小值-1．
【解析】
【详解】
解：（Ⅰ）=
（Ⅱ）
因为,所以，当时取最大值2；当时，取最小值-1．
21．(1)a＝，b＝－1；(2)．
【解析】
（1）由已知得函数为奇函数，又是周期函数，由求得，由求得；
（2）利用指数函数性质先求得在上的范围，再由奇函数和周期函数性质得出在上的取值范围，设后，利用二次函数性质得出结论．
【详解】
(1)因为f(x)＋f(－x)＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)是奇函数．
因为f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x＋2)＝f(x)，
即函数f(x)是周期为2的周期函数，
所以f(0)＝0，即b＝－1．
又，
解得a＝．
(2)当x∈[0，1)时，f(x)＝ax＋b＝－1∈，
由f(x)为奇函数知，
当x∈(－1，0)时，f(x)∈，
又因为f(x)是周期为2的周期函数，
所以当x∈R时，f(x)∈，
设t＝f(x)∈，
所以g(x)＝f2(x)＋f(x)＝t2＋t＝，
所以y＝∈．
故函数g(x)＝f2(x)＋f(x)的值域为．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性、周期性，考查二次函数的最值问题．解题中换元法可以转化函数为二次函数，易于求解．
22．8
【解析】
【分析】
将,代入解析式即可求得的值,求得解析式再代入即可求得的值.
【详解】
因为,且,
则,解方程组可得
则
所以
【点睛】
本题考查了二次函数解析式的求法,二次函数求值,属于基础题.
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