福建省三明市高一下学期开学考试数学试题（word版含解析）

福建省三明市高一下学期开学考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．函数（其中为自然对数的底数）的图象大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
2．设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的值域为 B．是偶函数 C． D．是单调函数
3．设是上的奇函数，且，下面关于的判定：其中正确命题的个数为
①； ②是以4为周期的函数；
③的图象关于对称； ④的图象关于对称．A．1 B．2 C．3 D．4
4．将一半圆沿半径剪成两个扇形，其中一个扇形的圆心角为，以这两个扇形为侧面围成一高一低两个圆锥（不计接缝处的损耗），则高圆锥与低圆锥的高之比为（ ）
A． B． C． D．
5．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（ ）
A．y＝x2 B．y＝|x﹣1| C．y＝﹣x2+1 D．y＝2﹣|x|
6．已知a>b，则下列不等式：①a2>b2；②；③.其中不成立的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
7．已知定义在上的奇函数，满足，且在上单调递减，则
A． B．
C． D．
8．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
9．已知集合，，则
A． B．
C． D．
二、多选题
10．与角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
11．下列推导过程，正确的为（ ）
A．因为 为正实数，所以
B．因为，所以
C．因为，所以
D．因为 ，，所以当且仅当时，等号成立..
12．下列说法中错误的有 （ ）
A．的图像是一条直线
B．幂函数的图像不过第四象限
C．若函数的定义域是，则它的值域是
D．若幂函数的图像过点，则它的递增区间是
三、填空题
13．已知，则____.
14．函数的定义域为___________.
15．已知是定义在上的奇函数，当时，，则__________．
16．___________.
四、解答题
17．某地方政府为地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国内市场零售价为每件元，每年可销售万件，若政府征收附加税率为时，则每年减少万件．
(1)将税金收入表示为征收附加税率的函数；
(2)在该项经营中每年征收附加税金不低于万元，那么附加税率应控制在什么范围？
18．计算：（1）；
（2）
19．已知函数f（x）=的定义域为（-1，1），满足f（-x）=-f（x），且 ．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）证明f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）解不等式 .
20．已知函数满足下列条件：①周期；②图象向左平移个单位长度后关于轴对称；③.
（1）求函数的解析式；
（2）设，，，求的值.
21．在中，角的对边分别为，向量，,满足.
（1）求角的大小；
（2）设,有最大值为，求的值．
22．已知全集，，.
(1)当时，求；
(2)若，求的取值范围.
试卷第页，共页
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参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
根据条件判断函数的奇偶性和对称性，讨论当时函数值的符号，利用排除法进行判断即可．
【详解】
函数的定义域为，
，
即函数是奇函数，图象关于原点对称，排除AC.
当时，，，则，排除D.
故选：B．
【点睛】
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；
（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．
（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.
2．B
【解析】
计算函数值域为A错误，根据偶函数定义知B正确，，，C错误，，故D错误，得到答案.
【详解】
根据题意：的值域为，A错误；
当为有理数时，为有理数，，
当为无理数时，为无理数，，故函数为偶函数，B正确；
，，C错误；
，故D错误.
故选：B.
【点睛】
本题考查了分段函数的值域，奇偶性和单调性，意在考查学生对于函数性质的综合应用.
3．C
【解析】
【分析】
运用函数的奇偶性定义，周期性定义，求出①②正确，再根据对称性判断③正确.
【详解】
因为是上的奇函数，
所以，，
因为，所以
即是已为周期的周期函数，，
因为，，
令，则，所以，
所以的图象关于对称，
故正确的命题是①②③，所以有三个，
故选C.
【点睛】
该题考查的是有关抽象函数的性质的问题，涉及到的知识点有函数的周期性，函数的对称性，正确理解题意是解题的关键.
4．B
【解析】
根据题意，设半圆的半径为1，根据扇形的弧长公式求出对应的弧长，可得出所围成的圆锥的底面周长，从而可求出圆锥底面圆的半径，最后根据勾股定理分别求出圆锥的高，即可得出结果.
【详解】
解：不妨设半圆的半径为1，
圆心角为的扇形的弧长为，
则该扇形围成的圆锥的底面圆周长为，
设圆锥底面圆的半径为，则，所以，
则该圆锥的高，
圆心角为的扇形的弧长为，
则该扇形围成的圆锥的底面圆周长为，
设该圆锥底面圆的半径为，则，所以，
则该圆锥的高，
所以高圆锥与低圆锥的高之比为.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题考查扇形的弧长以及圆锥的结构特征，熟练掌握扇形弧长是解题的关键，考查化简运算能力.
5．A
【解析】
【分析】
结合二次函数及指数函数分别对各选项进行判断即可．
【详解】
结合选项可知y＝|x﹣1|为非奇非偶函数，故B错误；
由二次函数的性质可知，y＝1﹣x2在（0，+∞）单调递减，故C错误；
由指数函数的性质可知，y＝2﹣|x|＝2﹣x在（0，+∞）单调递减，故D 错误；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了二次函数及指数函数的奇偶性及单调性的判断，属于基础试题．
6．D
【解析】
【分析】
利用特殊值判断出题目所给三个不等式都不成立.
【详解】
虽然已知a>b，但并不知道a，b的正负，如有2>－3，但22<(－3)2，故①错；，②错；若有a＝1，b＝－2，则，故③错.
综上所述，不成立的个数是个.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.
7．B
【解析】
【详解】
分析：首先根据题的条件，确定出函数的单调递减区间，之后根据题中所给的条件，将自变量对应的函数值转化到同一个单调区间上，之后借助于函数的单调性，由自变量的大小得到函数值的大小，从而求得最后的结果.
详解：根据题中所给的条件，
可知函数是以为周期的周期函数，
又因为在上单调递减，所以奇函数在上是减函数，
又，而，
且满足，所以，
所以，故选B.
点睛：该题所考查的是有关函数值比较大小的问题，在解题的过程中，应用奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性是一样的，从而将题中所给的单调区间拉长，再根据题中所给的函数值的关系，确定函数的周期，将自变量对应的函数值转化到同一个单调区间上来解决，所以掌握函数的性质是关键.
8．D
【解析】
【分析】
利用正弦函数的单调性的性质求解即可．
【详解】
函数在上单调递减，
，．
解得：．
当时，可得．
故选D．
【点睛】
本题考查了正弦函数的图象及性质的应用属于中档题．
9．B
【解析】
【详解】
试题分析：，，所以，选B.
考点：集合运算
【方法点睛】
1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．
10．CD
【解析】
【分析】
首先确定与相同的角为，通过的不同取值依次判断各选项即可.
【详解】
与角终边相同的角为：，，
令，可得与角终边相同的角是；
令，可得与角终边相同的角是，
故选： CD
11．AD
【解析】
【分析】
对于A选项由基本不等式判断； 对于B选项由不等式的基本性质判断； 对于C选项由基本不等式判断；对于D选项由基本不等式判断.
【详解】
对于A选项，因为 为正实数，则 为正实数，
由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，A选项正确；
对于B选项，，所以，，B选项错误；
对于C选项，当时，，
当且仅当时，等号成立，C选项错误；
对于D选项，因为 ，，则 均为负数，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，D选项正确.
故选：AD.
12．AC
【解析】
本题首先可根据定义域为判断出A错误，然后根据时不可能小于判断出B正确，再然后根据值域为判断出C错误，最后根据幂函数的图像过点求出函数解析式为，即可判断出D正确.
【详解】
A项：因为函数的定义域为，所以图像不是一条直线，A错误；
B项：若，则不可能小于，B正确；
C项：当时，函数的值域为，C错误；
D项：设幂函数为，
因为幂函数的图像过点，所以，，，
故递增区间是，D正确，
故选：AC.
13．
【解析】
【分析】
已知等式去分母变形后，得到关系式，两边平方并利用完全平方公式化简，整理求出的值，进而求出的值，即可确定出的值．
【详解】
已知等式变形得：，即，
平方得，即，
整理得：，即，
解得：或（原式分母为0，舍去），
将代入得：，即，
则．
故答案为
【点睛】
此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
14．
【解析】
【分析】
根据解析式得到，求解，即可得出结果.
【详解】
由题意可得：，即，
即函数的定义域为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查求具体函数的定义域，只需求出使解析式有意义的自变量的范围即可，属于基础题型.
15．.
【解析】
【详解】
分析：根据函数为奇函数，可得，进而根据的函数的解析式，即可求解的值.
详解：因为函数是定义在上的奇函数，则，
又因为时，，
则.
点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和对数函数的图象与性质的应用，着重考查了学生的推理与运算的能力，试题比较基础，属于基础题.
16．10
【解析】
【分析】
利用指数幂及对数的运算性质计算即得.
【详解】
.
故答案为：10.
17．(1) (2) 应控制在到之间
【解析】
【分析】
(1)本题可根据题意得出每年的销售量以及每件产品的征收附加税金，然后两者相乘，即可得出结果；
(2)可结合(1)得出，然后通过运算即可得出结果．
【详解】
(1)设税金收入为，
当征收附加税率为元时，每年的销售量为，
每件产品的征收附加税金为，
则所求函数关系为．
(2)由题意可知，，
即，解得，
即税率应控制在到之间．
【点睛】
本题是实际应用题，能否明确题目给出的条件是解决本题的关键，考查一元二次不等式的解法，是中档题．
18．（1）2；（2）.
【解析】
【分析】
根据指对数的运算性质，化简求值即可.
【详解】
（1）原式；
（2）原式；
19．(1)；（2）见解析.(3) 原不等式的解集为.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）由题干知函数时奇函数根据可以求出b，已知，代入表达式求出a；（2）证明函数单调性，只能用定义证明，做差f（x1）-f（x2）和0比即可．（3）根据函数的奇偶性和单调性，直接将不等式转化为f（2x-1）＜f（-x），根据单调性比较括号内的表达式即可．
（1）f（x）的定义域为（-1，1），关于原点对称，且f（-x）=-f（x）；
∴f（x）为奇函数；
∴；
∴b=0，则；
∴；
∴a=1；
∴；
（2）证明：设-1＜x1＜x2＜1，则：
=；
∵-1＜x1＜x2＜1；
∴x1-x2＜0，1-x1x2＞0，＞0；
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）；
∴f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）f（x）显然为奇函数；
∴由f（2x-1）+f（x）＜0得，f（2x-1）＜-f（x）；
∴f（2x-1）＜f（-x）；
由（1）知f（x）在（-1，1）上是增函数，则：
-1＜2x-1＜-x＜1，
解得；
∴原不等式的解集为．
点睛：这是比较典型的常见的基本初等函数的综合题，考查函数的奇偶性，单调性，证明奇偶性要满足定义域关于原点对称，证明函数单调性用定义法，做差和0比；最后解不等式，根据奇偶性得到f（2x-1）＜f（-x），由单调性得到-1＜2x-1＜-x＜1.
20．（1）;（2）.
【解析】
【详解】
试题分析: （1）根据的周期求出的值,根据的图象平移以及的图象关于轴对称，求出的值,再由求出值,解得的表达式; （2）由与的值求出,,再根据的范围求出，,从而求出的值.
试题解析:（1）∵的周期为，∴，又函数的图象向左平移个单位长度，变为，由题意，的图象关于轴对称，∴，，又，∴，∴函数，又，∴，解得，∴函数.
（2）由，，得，，
∴，又，∴，，
∴.
点睛:本题考查五点作图法以及两角和与差的正余弦公式,属于中档题目. 利用“五点作图”求函数解析式的基本步骤:第一步：根据图象确定第一个平衡点、第二个平衡点或最高点、最低点．第二步：将“ωx＋φ”作为一个整体，找到对应的值．第三步：列方程组求解．第四步：写出所求的函数解析式．第五步：反思回顾，查看关键点、易错点及答题规范．
21．（1）；（2）或.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）由条件|可得，，代入得（a﹣c）sinA+（b+c）（sinC﹣sinB）=0，根据正弦定理，可化为a（a﹣c）+（b+c）（c﹣b）=0，结合余弦定理a2+c2﹣b2=2acosB，代入可求角的大小；
（2）先求=﹣+,．结合0＜A＜，及二次函数的知识求解.
试题解析：
（1）由条件=，两边平方得，又
=（sinA,b+c）,=（a－c,sinC－sinB）,代入得（a－c）sinA＋（b+c）（sinC－sinB）＝0，
根据正弦定理，可化为a（a－c）+（b+c）（c－b）=0,即，
又由余弦定理＝2acosB,所以cosB＝，B＝.
（2）m=（sin（C+）,）,n=（2,kcos2A） （）,
=2sin（C+）+cos2A=2sin（C+B）+kcos2A=2ksinA+k-=-k+2sinA+=-+,而0①时，取最大值为.
②时，当时取得最大值，解得
.
③时，开口向上，对称轴小于0当取最大值（舍去），
综上所述，或.
22．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题知，再根据集合运算求解即可；
（2）根据题意得，进而分和两种情况讨论求解即可.
(1)
解：当时，，，
所以，
所以
(2)
解：因为，所以
当，即时，，满足；
当，即时，，解得，故，
综上，的取值范围是
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