广东省东莞市高一下学期期初考试数学试题（word版含解析）

广东省东莞市高一下学期期初考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，则不等式的解集（ ）
A． B． C． D．
2．函数的值域为
A． B． C． D．
3．已知，，且满足，则有（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，则的大小关系为
A． B． C． D．
5．函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，则的值是（ ）
A．0 B．1
C．-1 D．
6．已知实数集，集合，则
A． B．
C． D．
7．已知函数，，的零点依次为，则
A． B． C． D．
8．下列函数中为相等函数的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．设x，，，，以下四个命题中正确的是（ ）
A．若，则S有最小值2 B．若，则S有最小值4
C．若，则有最小值2 D．若，则P有最大值1
10．已知函数，将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，得到函数的图象.若，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
11．为了研究钟表秒针针尖的运动变化规律，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖位置为点．若初始位置为点，秒针从（规定此时）开始沿顺时针方向转动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系式可能为（ ）
A． B．
C． D．
12．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化 对称统一的形式美 和谐美.在平面直角坐标系中，如果一个函数的图象能够将某个圆的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个圆的“优美函数”，则下列说法中正确的有（ ）
A．对于一个半径为1的圆，其“优美函数”仅有1个
B．函数可以是某个圆的“优美函数”
C．若函数是“优美函数”，则函数的图象一定是中心对称图形
D．函数可以同时是无数个圆的“优美函数”
三、填空题
13．若指数函数在区间上的最大值和最小值之和为，则的值为__
14．设函数的定义域为集合,集合,其中．
（1）若,求；
（2）若,求实数的取值范围．
15．若，，则 ___________.
16．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则______.
四、解答题
17．（1）计算：；
（2）计算：.
18．若已知某火箭的起飞重量是箭体（包括搭载的飞行器）的重量和燃料重量之和，在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度关于的函数关系式为（其中）．当燃料重量为吨（为自然对数的底数，）时，该火箭的最大速度为5千米/秒．
（1）求火箭的最大速度（千米/秒）与燃料重量（吨）之间的关系式；
（2）已知该火箭的起飞重量是816吨，则应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到10千米/秒，顺利地把卫星发送到预定的轨道？
19．已知函数是奇函数，且；
（1）判断函数在区间的单调性，并给予证明；
（2）已知函数（且），已知在的最大值为2，求的值．
20．设函数.
（1）求函数的值域和函数的的单调递增区间；
（2）当，且时，求的值.
21．已知函数，其中，.
（1）若，求函数的最大值；
（2）若在上的最大值为，最小值为，试求，的值.
22．已知函数
（1）用“五点法”作出的图像
（2）写出的的取值范围
试卷第页，共页
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参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
由一次函数和对数函数的单调性，判断在上递减，可得，即可得到所求解集．
【详解】
∵，
可得时，递减；时，递减，
且，可得在上递减，
由 可得，
可得，即解集为．
故选：C．
【点睛】
本题考查分段函数的运用，判断单调性和解不等式，考查运算能力，属于中档题．
2．A
【解析】
【详解】
函数 ,即函数的值域为,故选A.
3．C
【解析】
【分析】
利用三角恒等变换公式化简已知条件得到，结合余弦函数的性质可知，进而得解.
【详解】
因为，所以，
即，所以，
所以，所以，，
由，得，则，，
所以，故.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查三角函数的化简求值，解题的关键是熟悉同角之间的关系，两角和差化积公式及二倍角公式，考查学生的分析与运算求解能力，属于基础题.
4．A
【解析】
【分析】
，根据指数函数与对数函数的图象与性质可得答案.
【详解】
根据指数函数与对数函数的图象与性质可得：
而，所以
故选：A
5．A
【解析】
【分析】
根据给定条件求出函数的周期可得，再代入即可求.
【详解】
因函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，则的周期为，
则，解得，即，于是得，
所以的值是0.
故选：A
6．C
【解析】
解出集合中的不等式即可
【详解】
因为 或
所以
故选：C
【点睛】
本题考查的是集合的运算，较简单.
7．C
【解析】
【分析】
通过零点的定义可确定a,b,c的值，从而判断其大小.
【详解】
由题意得，故，，故，，故，因此，故选C.
【点睛】
本题主要考查零点的求解，无理数的大小判断，难度不大.
8．B
【解析】
【分析】
根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是相等函数.
【详解】
对于A，，与的对应关系不同，不是相等函数;
对于B，的定义域是R，的定义域是R，定义域相同，对应关系也相同，是相等函数;
对于C，或，与的定义域不同，不是相等函数;
对于D，的定义域是R，的定义域是，定义域不同，不是相等函数.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了判断两个函数是否为相等函数的应用问题，是基础题．
9．AD
【解析】
【分析】
对A，根据基本不等式，并验证等号是否成立，即可判断；对B，先由，得到，化简为，，再根据基本不等式并验证等号是否成立，即可求解；对C，由条件得到，根据基本不等式并验证等号是否成立，即可判断；对D，由基本不等式得到，通过解不等式并验证等号是否成立，即可判断.
【详解】
解：对A，，即，
，当且仅当时取“=”，故A正确；
对B，，即，即，
，
当且仅当，即时取“=”， 则S有最小值为2，故B错误；
对C，，
即，
当且仅当，即，即时取“=”，
此时矛盾，即“”不成立，故C错误；
对D，，
∴
即，
∴，
即，当且仅当时取“=”，故D正确.
故选：AD.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
10．ABD
【解析】
【分析】
利用辅助角公式和三角函数平移可求得；根据最值可确定，通过讨论的取值可得到选项.
【详解】
，，
的最小正周期，
，，又，
与分别对应的最大值点和最小值点，
；
当时，；当时，；当时，.
故选：ABD.
【点睛】
关键点点睛：本题解题关键是能够通过的最值确定与对应的最大值点和最小值点，进而得到.
11．CD
【解析】
根据题意，设y与时间t的函数关系式为,求得初相，再根据周期，即可判断选择.
【详解】
设y与时间t的函数关系式为,由题意可得，初始位置为，即初相为，故可得，，则,.
又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T＝＝60，
所以|ω|＝，即ω＝－.
故满足题意的函数解析式为：.
故选：CD.
12．BD
【解析】
【分析】
根据“优美函数”的含义可判定选项A错误，根据函数的奇偶性判定选项B正确，利用反例判定选项C错误，根据圆心在直线的圆有无数个判定选项D正确.
【详解】
对于A：经过圆心的任何一条直线都可以作为该圆的“优美函数”，
即选项A错误；
对于B：因为，
所以是奇函数，其图象关于原点对称，
所以是以原点为圆心的圆的“优美函数”，
即选项B正确；
对于C：如下图，是“优美函数”，但函数的图象不是中心对称图形，
即选项C错误；
对于D：函数是任何一个圆心在直线上的圆的“优美函数”，
即选项D正确.
故选：BD.
13．3
【解析】
【分析】
先由当时，指数函数为增函数，则在区间上，，，再结合已知条件运算即可得解.
【详解】
解：因为当时，指数函数为增函数，
则在区间上，，，
又指数函数在区间上的最大值和最小值之和为，
则，即，
又，即，
故答案为：3.
【点睛】
本题考查了指数函数的单调性及最值的求法，属基础题.
14．（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）分别求出集合,根据交集和补集的定义,即可求出答案．
（2）由,得到,分时,,满足,,两种情况讨论,分别由子集的关系列出不等式求出的范围．
【详解】
（1）的定义域为集合,
,解得,
,
,
当时,,解得,
,
;
（2）,
,
当时,,满足,
当,,解得,
,
,
解得,
综上所述,的取值范围为．
【点睛】
本题考查了求函数定义域和集合运算.解题的关键掌握函数定义域的求法和掌握集合基本知识,考查了计算能力,属于基础题.
15．
【解析】
【分析】
，，由两角和的正切公式求出由此可求得角的终边上一点的坐标是 ，求得此点到原点的距离是5，再由三角函数的定义求出
【详解】
由题
又，角是第而象限角，故可取其终边上一点坐标为，它在原点的距离是5
∴.
即答案为.
【点睛】
本题考查两角和的正切公式的运用，利用定义法求三角函数值是一个基本的方法.
16．
【解析】
【分析】
利用三角函数的定义可求出的值.
【详解】
由三角函数的定义可得，故答案为.
【点睛】
本题考查利用三角函数的定义求余弦值，解题的关键就是三角函数定义的应用，考查计算能力，属于基础题.
17．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
（2）利用指对幂的运算法则计算即可.
【详解】
（1）
；
（2）
.
【点睛】
本题主要考查了运用诱导公式化简求值，以及特殊角的三角函数值，利用指对幂的运算法则求值问题.属于较易题.
18．（1）；（2）516吨．
【解析】
【分析】
（1）根据题意，可将，代入函数解析式求得参数的值，从而获得函数关系式；（2）根据题意得到，，代入函数关系式得到，求解对数方程即可.
【详解】
解：（1）依题意，把，代入函数关系，解得，
所以所求的函数关系式为；
（2）设应装载吨燃料方能满足题意，此时，，
代入函数关系式，得，解得吨，
应装载516吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道．
19．（1）函数在区间是递增函数；证明见解析；（2）或．
【解析】
【分析】
（1）由奇函数定义建立方程组可求出，再用定义法证明单调性即可；
（2）根据复合函数的单调性，分类讨论的单调性，结合函数的单调性研究最值即可求解
【详解】
（1）∵是奇函数，∴，
又，且，
所以，，经检验，满足题意．
得，所以函数在区间是递增函数．
证明如下：且，所以有：
由，得，，又，故，
所以，即，所以函数在区间是递增函数．
（2）令，由（1）可得在区间是递增函数，
①当时，是减函数，故当取得最小值时，
（且）取得最大值2，
在区间的最小值为，故的最大值是，∴．
②当时，是增函数，故当取得最大值时，（且）取得最大值2，
在区间的最大值为，故的最大值是，．
∴或
20．（1）值域是，单调递增区间为；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据三角函数的关系式，即可求求函数f（x）的值域和函数的单调递增区间．
（2）根据三角函数的诱导公式即可得到结论．
【详解】
（1）依题意 .
因为，则.
即函数的值域是.
令，，解得，，
所以函数的单调递增区间为，.
（2）由，得.
因为，所以时，得.
所以 .
【点睛】
三角函数求值的类型如下：
（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.
21．（1）（2），.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据条件得对称轴范围，与定义区间位置关系比较得最大值（2）由得对称轴必在内，即得，且，解方程组可得，的值.
试题解析：解:抛物线的对称轴为，
（1）若，即
则函数在为增函数，
（2）①当时，即时，
当时， ，，
，
，解得或（舍），，.
②当时，即时，
在上为增函数，与矛盾，无解，
综上得：，.
22．（1）答案见解析（2）
【解析】
【分析】
(1)由题意,可先列出表格,找出五点,再作出函数的图像;
(2) 先求解,结合图像,即可求出时的取值范围.
【详解】
（1）由题意列出表格:
作出函数图像:
（2）
即 解得: 或
结合（1）的图像可知时的取值范围:
【点睛】
本题考查三角函数的五点作图法,结合正弦函数图像求解,属于基础题.
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