广西桂林高一下学期开学考试数学（文）试题（word版含解析）

广西桂林高一下学期开学考试数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中，面积最大的面的面积为
A． B． C． D．
2．若，则的解析式为
A． B．
C． D．
3．点在正方体的面对角线上运动，
则下列四个命题中：（1）；
（2）平面；
（3）三棱锥的体积随点的运动而变化．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
4．若函数的定义域为集合，则（ ）
A． B． C． D．
5．函数的零点个数为
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．下列四组函数中，表示同一函数的是（ 　　 ）
A．和 B．和
C．和 D．和
7．下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是(　　)
A． y＝－x B．y＝x2－x
C．y＝ln x－x D．y＝ex－x
8．集合，若，则=
A． B． C． D．
9．已知幂函数和，其中，则有下列说法：
①和图象都过点；
②和图象都过点；
③在区间上，增长速度更快的是；
④在区间上，增长速度更快的是.
则其中正确命题的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
10．在中，，是边上一点，，，，则的长为（ ）
A． B．5 C． D．
11．已知直线，若，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知直线m，n是平面α，β外的两条直线，且mα，nβ，αβ，则（ ）
A．mn B．mn C．nα D．nα
二、填空题
13．空间直角坐标系中，已知两点，，则这两点间的距离为___________.
14．已知奇函数对于任意实数满足条件，若，则__________.
15．经过点，且在两坐标轴上的截距之和为2的直线的一般式方程为________.
16．定义函数，，，若存在实数使得方程无实数根，则实数的取值范围是__________．
三、解答题
17．已知是R上的奇函数.
（1）若当时，，求当时的解析式；
（2）若的最大值为M，求的最小值；
（3）若的最大值为M，最小值为m，则的值是多少 （只写结果）
18．已知全集U=R，A={x|﹣4≤x≤2}，B={x|﹣1＜x≤3}，P={x|x≤0，或x≥}，Q={x|a﹣2＜x＜a+2}．
（1）求A∩B；
（2）求（ UB）∪P；
（3）若A∩B Q，求实数a的取值范围．
19．已知完成某项任务的时间t与参加完成此项任务的人数x之间适合关系式t＝ax＋，当x＝2时，t＝100；当x＝28时，t＝35，且参加此项任务的人数不能超过8人.写出函数t的解析式；
20．如图，圆柱是矩形绕其边所在直线旋转一周所得，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点.
（1）求三棱锥体积与圆柱体积的比值；
（2）若圆柱的母线长度与底面半径相等，点M是线段的中点，求异面直线CM与所成角的大小.
21．设函数．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）当时，试判断函数的单调性，并证明．
22．求值
(1).
(2).
试卷第页，共页
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参考答案：
1．B
【解析】
【详解】
由三视图可得到多面体的直观图，如图所示，
该立体图中两个相同的梯形的面，为该多面体的各个面中，
面积最大的面，
故选：B
2．C
【解析】
将已知解析式配方，可得，再通过替换法求得解析式．
【详解】
令，所以
所以
故选C.
【点睛】
本题考查函数解析式的求法，属于一般题．
3．A
【解析】
【详解】
解：对于（3），容易证明AD1∥BC1，从而BC1∥平面AD1C，故BC1上任意一点到平面AD1C的距离均相等，所以以P为顶点，平面AD1C为底面，则三棱锥A-D1PC的体积不变；不正确；
对于（2），连接A1B，A1C1容易证明A1C1∥AD1且相等，由于①知：AD1∥BC1，
所以BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得；正确；
对于（1）由于DC⊥平面BCB1C1，所以DC⊥BC1平面，若DP⊥BC1，则DC与DP重合，与条件矛盾；错误； 故答案为A
4．D
【解析】
根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.
【详解】
由题意，函数有意义，则满足，解得且，
所以函数的定义域为.
故选：D.
5．B
【解析】
【详解】
函数是减函数，又因为
根据零点存在定理得到只有一个零点．
故答案为B．
6．D
【解析】
【分析】
根据两函数的定义域值域对应关系对每个选项中的两个函数进行判断即可得出选项.
【详解】
选项A：定义域为R，定义域，两个函数定义域不同，所以不是同一函数；
选项B：的定义域为R，的定义域是，两个函数定义域不同，所以不是同一函数；
选项C：的值域为R，的值域为，值域不同，不是同一函数；
选项D：函数对应关系的坐标为，函数对应关系的坐标为，是同一函数.
故选：D
【点睛】
此题考查两个函数相同的判别，需要注意两个函数定义域值域对应关系均相同，才能判定为相同函数.
7．A
【解析】
【分析】
分别根据函数单调性的性质进行判断即可.
【详解】
对于A，＝在(0，＋∞)内是减函数，＝x在(0，＋∞)内是增函数，则y＝－x在(0，＋∞)内是减函数；
B，C选项中的函数在(0，＋∞)上均不单调；
选项D中，y′＝－1，而当x∈(0，＋∞)时，y′＞0，所以函数y＝－x在(0，＋∞)上是增函数；
故选D.
【点睛】
该题考查的是有关判断给定函数在某个区间上的单调性的问题，解题的关键是要明确基本初等函数的单调性，属于简单题目.
8．D
【解析】
【分析】
根据集合的交集得到参数值，再由集合的并集的概念得到结果.
【详解】
集合，若则=1,a=0,故b=1．
故得到= .
故答案为D.
【点睛】
与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集;（2）看这些元素满足什么限制条件;（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．
9．A
【解析】
【分析】
由幂函数的性质进行分析判断即可
【详解】
幂函数的图象过定点，①正确，
在区间上，越大增长速度更快，③正确，
故选：A.
10．C
【解析】
先在中利用余弦定理解得,则,再在中,利用正弦定理求解即可
【详解】
在中,由余弦定理可得,
所以,
所以,
在中,由正弦定理可得,
故选:C
【点睛】
本题考查利用正弦定理解三角形,考查余弦定理的应用
11．A
【解析】
求得直线的斜率，根据，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意直线，可得直线的斜率为，
设直线的斜率为，因为，所以，解得.
故选：A.
12．C
【解析】
【分析】
用排除法，做出长方体ABCD﹣A1B1C1D1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，令面ADD1A1为α，面ABCD为β，在长方体中根据线面位置关系分析每一选项,判断其真假，得出答案.
【详解】
如图，做出长方体ABCD﹣A1B1C1D1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，令面ADD1A1为α，面ABCD为β，
对于A，若直线CB1为m，则mα，若CC1为n，则nβ，显然mn是假命题；
对于B，此命题和上一命题是一样的，所以也是假命题；
对于C. 设，在平面内任取一点（），在平面内，过点作直线 ，
则由，可得，又，则
由，所以 ，故C正确.
对于D，若直线CB1为m，则mα，若CC1为n，则nβ，显然nα是假命题；
故选：C.
13．
【解析】
【分析】
根据空间中两点间的距离公式，由题条件，可直接得出结果.
【详解】
由题意，.
故答案为：
14．3
【解析】
【详解】
根据题意，函数满足条件，
则，即函数为周期为4的函数，
又由函数为奇函数，则 ，则；
故答案为3．
【点睛】本题考查抽象函数的求值，涉及函数的周期性与奇偶性，解题的关键是根据条件求出函数的周期．
15．
【解析】
【分析】
由题可知，直线在x上轴截距为-3，再利用截距式可直接求得直线方程
【详解】
∵直线过（0，5），
∴直线在y轴上的截距为5，
又直线在两坐标轴上的截距之和为2，
∴直线在x轴上的截距为2-5=-3
∴直线方程为,即5x-3y+15=0
【点睛】
直线方程有五种基本形式，在只知道横纵截距的情况下，截距式是最快捷的一种方式
16．
【解析】
【详解】
同一坐标内作出与图象，如图由图知，当时，函数值域是或，时，与无交点，无实根；当时，值域为，与图象总有交点；总有实根；当时，值域是或，此时，；当时，与图象无交点，无实根，综上，实数的取值范围是，故答案为.
17．（1）；（2）最小值；（3）.
【解析】
【分析】
（1）由奇函数得定义求解即可；
（2）利用奇函数得定义与函数最值的定义求解即可；
（3）直接写出结果即可
【详解】
（1）∵，解得，
当时，∴
又由是奇函数，∴，
∴，
所以当时；
（2）由有最大值为M知，，
又由是上的奇函数，
得，
对，
∴即有最小值；
（3）
18．（1）；（2）；（3）．
【解析】
【详解】
试题分析：（1）利用数轴表示出集合A，集合B，注意区间端点的等号是否取到，然后观察图形，可以得到；（2）根据集合可得：，画数轴表示出集合和集合，于是可以得到：；（3）首先根据第（1）问求得，若，可以画出数轴，观察图形可知，应满足，解得：．本题重点考查集合的交、并、补运算，考查学生数形结合能力，同时考查含参数问题的处理，需要注意的是端点能否取等．
试题解析：（1）∵U=R，A={x|﹣4≤x≤2}，B={x|﹣1＜x≤3}，P={x|x≤0，或x≥}，Q={x|a﹣2＜x＜a+2}，
∴A∩B={x|﹣4≤x≤2}∩{x|﹣1＜x≤3}={x|﹣1＜x≤2}；
（2）∵ UB={x|x≤﹣1或x＞3}，
∴（ UB）∪P═{x|x≤﹣1或x＞3}∪{x|x≤0，或x≥}={x|x≤0或x≥}；
（3）∵A∩B Q，
∴，解得0＜a≤1．
考点：1.集合的交、并、补运算；2、含参数的集合运算．
19．
【解析】
【详解】
试题分析: 将x＝2时，t＝100；x＝28时，t＝35代入解析式,求出a和b的值,再根据参加此项任务的人数不能超过8人,写出函数的定义域即可.
试题解析:
当x＝2时，t＝100；当x＝28时，t＝35得方程组,解此方程组得,所以t＝x＋，又因为x≤8，x为正整数，所以函数的定义域是.
函数t的解析式是.
20．(1)；(2)
【解析】
【分析】
(1)先设圆柱的母线长为，底面圆半径为，根据三棱锥以及圆柱的体积公式分别求出体积，进而可得出结果.
(2)由题意，以为坐标原点，方向分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，分别求出直线CM与的方向向量，根据两向量夹角的余弦值，即可得出结果.
【详解】
(1)设圆柱的母线长为，底面圆半径为，因此，
又因为AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点，
所以，因此，
故三棱锥体积与圆柱体积的比值为.
(2)由题意，以为坐标原点，方向分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，因为圆柱的母线长度与底面半径相等，设，
则，，，，，
因为点是线段的中点，所以
所以，，
因此，
所以异面直线CM与所成角的大小为.
【点睛】
本题主要考查几何体体积以及异面直线所成的角的问题，熟记棱锥与圆锥的体积公式即可求出体积之比；第二问求异面直线所成的角，可采用空间向量的方法，求出两直线方向向量的夹角即可得出结果，属于常考题型.
21．（1）.（2）见解析
【解析】
【详解】
解：（1）当时，
当且仅当，即时取等号，
∴
（2）当时，任取
∵，，∴
∵，∴, 即在上为增函数
22．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据指数幂和对数的运算法则求解即可；
（2）利用诱导公式可求解.
(1)
原式.
(2)
原式
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