广东省深圳市高一下学期开学考试数学试题（word版含解析）

广东省深圳市高一下学期开学考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数的定义域为，函数的定义域为，则（ ）
A． B．且
C． D．且
2．已知奇函数是上增函数，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数（且）的图象过定点，则（ ）
A．5 B．6 C． D．8
4．以下选项中，满足的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
5．设函数在上单调递减，则下述结论：
①关于中心对称；②关于直线轴对称；
③在上的值域为；④方程在有个不相同的根.
其中正确结论的编号是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
6．已知点是直线上的动点，过点作圆的两条切线，，，为切点.若的最大值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．化简的结果是
A． B．
C． D．
8．若在区间上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是
A．若，则不存在实数，使得
B．若，则存在且只存在一个实数，使得
C．若，则不存在实数，使得
D．若，则有可能存在实数，使得
二、多选题
9．函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为奇函数
B．函数的最小正周期为
C．函数的图象的对称轴为直线
D．函数的单调递增区间为
10．已知集合P=，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．关于的方程的所有根之和为 D．关于的方程的所有根之积小于
12．有以下说法，其中正确的为（ ）
A．“x，y为无理数”是“xy为无理数”的充分条件
B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的必要条件
D．“”是“”的充分不必要条件
三、填空题
13．已知a，b，c为正实数，且lna＝a－1，blnb＝1，cec＝1，则a，b，c的大小关系是________．
14．已知函数，则________.
15．已知，函数在区间上有两个不同的零点，则的取值范围是________.
16．是定义在上的奇函数，若当时， ，则关于的函
数的所有零点之和为 （用表示）
四、解答题
17．已知集合，全集．
（1）求 ；
（2）设，若，求的取值范围．
18．已知函数
（1）若函数图像关于直线对称,且，求的值；
（2）在（1）的条件下，当时,求函数的值域.
19．溶液酸碱度的测量:溶液酸碱度是通过pH计量的．pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.
（1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；
（2）已知纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升，计算纯净水的pH.
20．已知，.
（1）求的值；
（2）求的值.
21．化简求值：
(1)
(2)
22．已知函数.
（1）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（2）若函数，求函数的值域.
试卷第页，共页
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参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
求得、的定义域，由此求得.
【详解】
由解得，所以；
的定义域为；
所以且
故选：D
【点睛】
本小题主要考查函数定义域的求法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.
2．D
【解析】
分析出函数为偶函数，且该函数在区间上为增函数，再比较、、的大小关系，由此可得出、、的大小关系.
【详解】
根据题意，函数是上奇函数，，
则，即函数为偶函数，
则，，
奇函数是上增函数，在区间上，，
任取，则，可得，即，
所以，函数在上是增函数，
又由，故有，
故选：D.
【点睛】
思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：
（1）判断各个数值所在的区间；
（2）利用函数的单调性直接解答.
数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.
3．D
【解析】
指数函数过定点，所以只需令，即可求出定点坐标，进而求出的值.
【详解】
解：，当时，
所以过定点，则，，则
故选：D.
【点睛】
方法点睛：（1）令幂指数为0，求出的取值；
（2）当幂指数为0时，指数部分函数值为1；
（3）求出函数的函数值即可求出定点.
4．A
【解析】
将选项逐一代入计算即可.
【详解】
解：A. ，正确；
B. ，错误；
C. ，错误；
D. ，错误.
故选：A.
【点睛】
本题考查对数的运算，是基础题.
5．D
【解析】
利用题干中的已知条件求得，可得出，利用正弦型函数的对称性可判断①②的正误，利用正弦型函数的值域可判断③的正误，求出方程在上的解，可判断④的正误.
【详解】
，由可得，
由于函数在上单调递减，
所以，，
所以，，解得，
由，解得，
且，，可得，，则.
对于①，，所以，，
所以，函数的图象关于点成中心对称，①错误；
对于②，，②错误；
对于③，当时，，则，
所以，，即在上的值域为，③正确；
对于④，当时，，
令，可得，或或或.
所以，方程在有个不相同的根，④正确.
故选：D.
【点睛】
方法点睛：求函数在区间上值域的一般步骤：
第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式；
第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或)的取值范围；
第三步：求出所求函数的值域（或最值）.
6．D
【解析】
【分析】
根据题意，画出图象，当取得最大值时，则取得最大值，而，当取得最小值时，取得最大值，结合已知，即可求得答案.
【详解】
结合题意，绘制图象如下：
当取得最大值时，
则取得最大值，
而，
当取得最小值时，取得最大值.
故的最小值为点到该直线的距离，
故，
故，解得.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了圆的基础知识，和数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
7．D
【解析】
【分析】
确定角的象限，结合三角恒等式，然后确定的符号，即可得到正确选项．
【详解】
因为为第二象限角，
所以，故选D.
【点睛】
本题是基础题，考查同角三角函数的基本关系式，象限三角函数的符号，考查计算能力，常考题型．
8．D
【解析】
【详解】
由零点存在性定理可知选项A不正确；对于选项B可通过反例“在区间上满足，但其存在三个零点： 1，0，1”推翻；选项C可通过反例“在区间上满足，但其存在两个零点： 1，1”推翻，故选D.
考点：用二分法求函数的零点.
9．AB
【解析】
【分析】
根据图像求出函数，即，平移后化简可得
，然后求出的奇偶性，最小正周期，对称轴，单调区间，即可判断结果.
【详解】
由图可知 ， ，故周期为 ，
，那么，根据可得，
，即 ，
因为，所以 ，.
.
，故 为奇函数，A对；
最小正周期为 ，B对；
对称轴为 ,C错；
增区间为 ，故D错；
故选：AB
10．ABD
【解析】
【分析】
根据集合的包含关系判断A,C选项，由集合的交并运算判断B,D选项.
【详解】
由集合P=，，则，故选项A正确.
所以，则选项B正确.
，选项D正确.
显然不正确，所以选项C不正确
故选: ABD
11．ACD
【解析】
【分析】
利用函数的表达式依次判断.
【详解】
，，A正确；
当时，，关于，
当时，，
（，表示不超过的整数）
所以B错，
的根为，，
的根为，，
的根为，，
所有根的和为：，C正确；
由，累加可得
所以所有根之积小于，D正确.
故选:ACD.
12．CD
【解析】
A.由判断；B.由交集的定义判断；.C.由的根判断；D.由不等式的解判断.
【详解】
A.是有理数为有理数，不正确.
B.反之不成立，
因此“”是”的充分不必要条件，不正确.
C.由，反之不成立，
因此：“”是“”的必要条件，正确.
D.“”或，因此正确.
故选：CD
13．c＜a＜b
【解析】
【分析】
将等式转化为两个函数图象交点问题，利用数形结合思想进行判断即可.
【详解】
，，．
依次作出，，，这四个函数的图象，如下图所示．
由图象可知0＜c＜1，a＝1，b＞1，∴c＜a＜b．
故答案为：c＜a＜b．
14．15
【解析】
【分析】
将和代入解析式求值即可．
【详解】
故答案为：
15．
【解析】
【分析】
由可得对称轴为，结合，，，可得
，，计算结合二次函数的性质即可求解.
【详解】
的对称轴为，
因为函数在区间上有两个不同的零点，
所以，可得，
所以
，
因为，所以当，即，
综上所述：，
所以的取值范围是：，
故答案为：.
16．
【解析】
【详解】
试题分析：根据对称性，作出R上的函数图象，由，所以，零点就是与交点的横坐标，共有5个交点，根据对称性，函数的图象与的交点在之间的交点关于对称，所以，，在之间的两个交点关于对称，所以，，设，则，所以，，即，由，所以，，即，所以，.
考点：函数图像
17．（1）或；（2）．
【解析】
（1）根据题意,求出集合,进而由补集的性质分析可得答案；
（2）根据题意,结合集合间的关系分析可得答案．
【详解】
解：（1）根据题意,因为．
因为全集,
所以或,
（2）根据题意,或,
若,当或,即或,
所以的取值范围为．
【点睛】
本题考查集合的补集运算,涉及集合的子集关系,属于基础题．
18．(1)w=1;(2) [0，].
【解析】
【分析】
（1）求出函数的对称轴，求出求的值.（2）根据x的范围，利用三角函数的图像和性
质求出f（x）的范围得解.
【详解】
（1）∵函数f（x）的图象关于直线对称，
∴kπ，k∈Z，
∴ω＝1k，k∈Z，
∵ω∈（0，2]，
∴ω＝1，
（2）f（x）＝sin（2x），
∵0≤x，
∴2x，
∴sin（2x）≤1，
∴0≤f（x），
∴函数f（x）的值域是[0，]．
【点睛】
本题考查了正弦函数的单调性、值域问题，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键．
19．（1）见解析；（2）7
【解析】
（1）由对数型复合函数单调性说明；
（2）直接代入公式计算．
【详解】
（1）根据对数的运算性质，有，在上，随着的增大，减小，相应地，也减小，即pH减小，所以，随着的增大，pH减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强.
（2）当时，.所以，纯净水的pH是7.
【点睛】
本题考查对数函数的应用，考查对数函数的单调性．属于基础题．
20．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用同角三角函数的平方关系可求出的值，然后再利用同角三角函数的商数关系可求出的值；
（2）在分式分子和分母中同时除以，将所求分式转化为含的分式求解，代值计算即可.
【详解】
（1），，因此，；
（2）原式.
【点睛】
本题考查同角三角函数的商数关系求值，同时也考查了弦化切思想的应用，解题时要熟悉弦化切所适用的基本情形，考查计算能力，属于基础题.
21．(1)6
(2)0
【解析】
【分析】
（1）根据指数幂的运算法则直接计算得到答案.
（1）根据对数的运算法则结合换底公式计算得到答案.
(1)
.
(2)
.
22．（1）；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）由参变量分离法得出在上恒成立，构造函数，考查该函数在的单调性，利用单调性得出，于此可得出实数的取值范围；
（2）先得出，换元，将问题转化为求函数在上的值域问题求解，然后分、、三种情况讨论，可得出函数在上的值域，即为函数的值域.
【详解】
（1）当时，，由得，即，
构造函数，其中，则，
所以，函数在区间上为增函数，则，
由于不等式在上恒成立，所以，，因此，实数的取值范围是；
（2）由题意可得，令，则，其中.
①当时，，该函数的值域为；
②当时，由于二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，
此时，函数在上单调递减，所以，，
此时，该函数的值域为；
③当时，由于二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
此时，该函数在上单调递减，在上单调递增，
则，此时，该函数的值域为.
综上所述：当时，函数的值域为；
当时，函数的值域为.
【点睛】
本题考查不等式恒成立的问题，同时也考查了函数值域的求解，解题的关键就是利用换元法将函数的值域进行转化，考查化归与转化思想，属于中等题.
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