广西桂林市高一下学期开学考试数学试题（word版含解析）

广西桂林市高一下学期开学考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，且为第四象限角，则（ ）
A． B． C． D．
2．设三角形是位于平面直角坐标系的第一象限中的一个不等边三角形，该平面上的动点满足：，已知动点的轨迹是一个圆，则该圆的圆心位于三角形的
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
3．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（）
A． B． C． D．
4．已知实数，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．函数有两个零点，则k的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
6．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
8．下列直线中，与直线垂直的是
A． B． C． D．
9．在空间中，给出下列四个命题：
①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；
③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行．
其中正确命题的序号是
A．①②
B．①③
C．②④
D．③④
10．在平面直角坐标系中，已知角的终边上有一点，则（ ）
A． B． C． D．
11．如图，已知点是正三角形所在平面外一点，，，则和平面所成的角的大小是（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
12．若方程表示圆，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题
13．在z轴上求一点A，使它到点的距离为，则点A的坐标是___________.
14．已知点，，，若点在以为直径的圆外，则的取值范围是______
15．用半径为cm，面积为cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 则该容器盛满水时的体积是 ．
16．若，，，则的最小值为_________．
三、解答题
17．如图，在三棱锥中，平面ABC，平面平面PBC，，．
（1）证明：平面PBC；
（2）求点C到平面PBA的距离．
18．已知圆．
（1）试写出圆的圆心坐标和半径；
（2）若圆的圆心在直线上，且与圆相外切，被轴截得的弦长为，求圆的方程．
19．已知函数是奇函数．
(1)求a的值和函数f(x)的定义域；
(2)解不等式f(－m2＋2m－1)＋f(m2＋3)＜0.
20．已知函数是奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)当时，
①判断的单调性（不要求证明）；
②对任意实数x，不等式恒成立，求正整数m的最小值．
21．（1）化简：；
（2）已知，求的值．
22．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.已知动点到点与点的距离之比为2，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点作曲线的切线，求切线方程.
试卷第页，共页
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参考答案：
1．C
【解析】
利用同角三角函数的基本关系可求得的值.
【详解】
且为第四象限角，可得，
因此，.
故选：C.
2．C
【解析】
【分析】
可设， ， ，由列出关系式，由的轨迹为圆，求出圆心坐标即可
【详解】
设， ， ，由得：
展开整理，得．
．
圆的圆心坐标为，，为三角形的重心．
故选
【点睛】
本题考查圆的轨迹方程的求法，重心坐标公式的应用，计算量偏大，化简时需进行整体代换，简化运算难度，属于中档题
3．A
【解析】
【详解】
试题分析：分析题意可知，问题等价于圆锥的内接长方体的体积的最大值，设长方体体的长，宽，高分别为，，，长方体上底面截圆锥的截面半径为，则，如下图所示，圆锥的轴截面如图所示，则可知，而长方体的体积
，当且仅当，时，等号成立，此时利用率为，故选A.
考点：1.圆锥的内接长方体；2.基本不等式求最值.
【名师点睛】
本题主要考查立体几何中的最值问题，与实际应用相结合，立意新颖，属于较难题，需要考生从实际应用问题中提取出相应的几何元素，再利用基本不等式求解，解决此类问题的两大核心思路：一是化立体问题为平面问题，结合平面几何的相关知识求解；二是建立目标函数的数学思想，选择合理的变量，或利用导数或利用基本不等式，求其最值.
4．D
【解析】
【分析】
根据与0,1比较求解大小关系即可.
【详解】
因为,,,故
故选D
【点睛】
本题主要考查函数值的大小关系,属于基础题型.
5．B
【解析】
【分析】
作函数与,的图象,从而数形结合求解即可．
【详解】
作函数与的图象如下,
，
当时,,函数有两个零点即为函数与的图象有两个交点．结合图象可知k的取值范围是：，选B．
【点睛】
本题考查了数形结合的思想及函数图象的变换、函数零点问题，属中等难度题．
6．D
【解析】
首先根据题意得到，再计算，根据判断出的符号再进行开方计算即可得到答案.
【详解】
因为，所以，
所以，
所以，
因为，所以，即，
所以.
故选：D．
【点睛】
易错点睛：本题求的值时，采用的方法是先对其平方而后再开方，再开方时应注意根据的取值范围正确判断的符号，从而得到正确的答案.
7．C
【解析】
【分析】
解不等式即可得出定义域.
【详解】
由，解得
即该函数的定义域为
故选：C
8．C
【解析】
【分析】
求出选项中各直线的斜率，判断所求斜率与直线的斜率之积为是否为即可得结果.
【详解】
直线的斜率为，
而直线的斜率为2 ,
的斜率为，
的斜率为 ,
的斜率为，
可得直线的斜率与的斜率之积为-1，
与直线垂直的是，故选C.
【点睛】
本题考查了直线的一般式方程求直线斜率以及斜率与直线垂直的关系，考查了两直线垂直与斜率间的关系，是基础题.
9．D
【解析】
【分析】
通过线面平行的性质，线面垂直的性质，平行公理可以对四个命题进行判断，最后选出正确的答案.
【详解】
命题①: 平行于同一个平面的两条直线可以平行、相交、异面，显然命题①是假命题；
命题②：垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以垂直，显然命题②是假命题；
命题③：这是平行公理显然命题③是真命题；
命题④：根据平行线的性质和线面垂直的性质，可以知道这个真命题，故本题选D.
【点睛】
本题考查了平行线的性质、线面垂直的性质、面面垂直的性质，考查了空间想象能力和对有关定理的理解.
10．C
【解析】
【分析】
先根据三角函数定义求出，再由正切二倍角公式求解即可.
【详解】
由题意可得，又.
故选：C
11．D
【解析】
【分析】
作PO⊥平面ABC于O，则∠PCO为PC和平面ABC所成的角，由此能求出PC和平面ABC所成角的大小．
【详解】
作平面于，连接，点是正三角形所在平面外一点，，，则为的外心，且为和平面所成的角..
则和平面所成的角的大小是30°．
故选：D
【点睛】
本题考查线面角的求法，考查空间想象能力、运算求解能力，属于基础题．
12．A
【解析】
【详解】
试题分析：由二元二次方程表示圆的充要条件可知：，解得，故选A．
考点：圆的一般方程．
13．或
【解析】
【分析】
设出点A坐标，利用空间两点间距离公式列出方程求解即可.
【详解】
设点A的坐标为，
依题意得，，解得或，
所以点A的坐标为或.
故答案为：或
14．
【解析】
先求出以为直径的圆的方程，再由点在圆外，列不等式，解不等式即可得结论．
【详解】
因为点，，
则以为直径的圆的圆心坐标为，半径，
所以圆的方程为，
因为点在以为直径的圆外，
所以，解得或．
故的取值范围是．
故答案为：．
15．
【解析】
【分析】
由圆锥的几何特征，我们可得用半径为cm，面积为 cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，则圆锥的底面周长等于扇形的弧长，圆锥的母线长等于扇形的半径，由此计算出圆锥的高，代入圆锥体积公式，即可示出答案．
【详解】
设铁皮扇形的半径和弧长分别为，圆锥形容器的高和底面半径分别为，
则由题意得R=，由 得；
由得；
由得；
圆锥的体积
所以该容器最多盛水
故答案为
【点睛】
本题主要考查了扇形的面积公式、弧长公式以及圆锥的体积公式，属于基础题.
16．
【解析】
【分析】
利用基本不等式求出即可.
【详解】
解：若，，，
则，
当且仅当时，即，时，取等号
则的最小值为.
故答案为：.
17．（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由平面ABC，可得，通过取中点，由平面平面PBC，可得平面PAC，从而，然后根据线面垂直的判定定理即可证得平面PBC；
（2）根据平面ABC可得平面平面ABC，过点过点C作，交AB于M，则即为所求，在内根据等面积法即可求出．
【详解】
（1）证明：平面ABC，平面ABC，．
取PC的中点D，连接BD，，．
又平面平面PBC，平面平面，平面PBC，
平面PAC．又平面PAC，．
，平面PBC．
（2）易知平面平面ABC，AB为交线，在中，过点C作，交AB于M，则平面PBA．
又，，
点C到平面PBA的距离为．
【点睛】
本题主要考查线面垂直的的判定定理，线面垂直的定义，面面垂直的性质定理，判定定理的应用，以及点到平面的距离的求法，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于基础题．
18．（1）圆心坐标为，半径为；（2）.
【解析】
【分析】
（1）配方，将圆方程一般式化为标准式，即得圆的圆心坐标和半径；
（2）设圆标准方程，根据直线与圆相切得圆心到切线距离为半径，根据垂径定理列弦长与半径关系，解方程组可得结果.
【详解】
（1）将圆的方程改写为，故圆心坐标为，半径为；
（2）设圆的半径为，圆心纵坐标为，由条件可得，解得，
故圆的方程为.
19．（1）；（2）
【解析】
【详解】
分析：（1）根据函数奇偶性的定义建立方程即可求出a，根据分式函数的意义即可求出函数的定义域．
（2）根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．
详解：
(1)因为函数f(x)＝＋a是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
即＋a＝－a，即＝，从而有1－a＝a，解得a＝.
又2x－1≠0，所以x≠0，故函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)由f(－m2＋2m－1)＋f(m2＋3)＜0，得f(－m2＋2m－1)＜－f(m2＋3)，因为函数f(x)为奇函数，所以f(－m2＋2m－1)＜f(－m2－3)．
由(1)可知函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，从而在(－∞，0)上是减函数，又－m2＋2m－1＜0，－m2－3＜0，所以－m2＋2m－1＞－m2－3，且解得m＞－1，且，所以不等式的解集为
点睛：本题考查了函数奇偶性的性质，解题的关键是理解奇函数的定义及利用单调性解不等式，属中档题.．
20．(1)或
(2)①在上单调递增②3
【解析】
【分析】
（1）依题意可得，即可得到方程，解得即可；
（2）①根据复合函数的单调性判断可得；
②根据函数的单调性与奇偶性可得在上恒成立，由，即可得到不等式，解得的取值范围，即可得解；
(1)
解：因为函数是一个奇函数，
所以，即，
可得，即，
则，得或．此时定义域为R，满足题意.
(2)
①因为，所以．函数，定义域为，
因为与在定义域上单调递增，所以在上单调递增．
②对任意实数x，恒成立，，
由①知函数在上单调递增，
可得在上恒成立．
因为，
所以，即．
于是正整数m的最小值为3．
21．（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）根据诱导公式和同角的基本关系化简，即可得到结果；
（2）根据同角的基本关系，原式变形为，再分子分母同时除以，可知原式为，再将带入，即可求出结果.
【详解】
解：（1）原式;
（2）原式.
22．（1）；（2）或.
【解析】
（1）设动点的坐标为，由题意得，化简得，即为动点的轨迹方程；
（2）分类讨论过点的直线斜率不存在与存在两种情况，再利用圆心到直线的距离等于半径求解，即可得到答案.
【详解】
（1）设动点的坐标为，则，，
由题意得，化简得，
因此，动点的轨迹方程为；
（2）当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，
圆心到直线的距离等于2，此时直线与曲线相切；
当过点的直线斜率存在时，不妨设斜率为，
则切线方程为，即，
由圆心到直线的距离等于半径可知，，解得.
所以，切线方程为.
综上所述，切线方程为或.
【点睛】
方法点睛：本题考查求轨迹方程，及直线与圆相切求切线，求圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于一般题.
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