广西桂林高一下学期开学考试数学（理）试题（word版含解析）

广西桂林高一下学期开学考试数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知直线l经过点O（0，0），且与直线垂直，那么直线l的方程是
A． B．
C． D．
2．已知函数的定义域为，则（ ）
A． B．
C． D．
3．在区间上为增函数的是 （ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，已知直线（）与曲线从左至右依次交于，，三点．若直线：（）上存在点满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
6．若函数是偶函数,且,则必有( )
A． B． C． D．不确定
7．以下命题中真命题的个数是
①若直线平行于平面内的无数条直线，则直线；
②若直线在平面外，则；
③若直线，则；
④若直线，则平行于平面内的无数条直线.
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知集合，集合，则的子集个数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥外接球的体积是（ ）
A． B． C． D．
10．函数的大致图象是　　
A． B．
C． D．
11．函数的零点所在的区间是
A． B． C． D．
12．如图,网格纸上小正方形的边长为1,下图画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知三棱锥P-ABC中，是面积为的等边三角形，，则当点C到平面PAB的距离最大时，三棱锥P-ABC外接球的表面积为_______．
14．若，则______
15．已知函数对任意的实数满足：，且当时，，当时，，则象与的图象的交点个数为___________．
16．设,则=________
三、解答题
17．设对集合上的任意两相异实数，，若恒成立，则称在上优于；若恒成立，则称在上严格优于.
（1）设在上优于，且是偶函数，判断并证明的奇偶性；
（2）若在上严格优于，，若是上的增函数，求证：在上也是增函数；
（3）设函数，，若，是否存在实数使得在上优于，若存在，求实数的最大值；若不存在，请说明理由.
18．的三个顶点是，，，求
（1）经过点，且平行于过和两点的直线的方程；
（2）边的垂直平分线的方程.
19．在平面直角坐标系中，已知圆C经过，，（）三点，M是线段上的动点，，是过点且互相垂直的两条直线，其中交y轴于点E，交圆C于P、Q两点.
（1）若，求直线的方程；
（2）若是使恒成立的最小正整数
①求的值； ②求三角形的面积的最小值．
20．计算求值.
（1）；
（2）.
21．如图，平行四边形中，，，且，
正方形和平面成直二面角，是的中点．
（1）求证：．
（2）求证：平面．
（3）求三棱锥的体积．
22．如图，四边形与都是直角梯形，，且，且，G，H分别为，的中点.
（1）证明：四边形是平行四边形；
（2）C，D，F，E四点是否共面？若共面，请给出证明过程；若不共面，请说明理由.
试卷第页，共页
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参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
由题意可求出直线l的斜率，由点斜式写出直线方程化简即可．
【详解】
直线l与直线垂直，
直线l的斜率为，
则，即
故选C．
【点睛】
本题考查了直线方程的求法，考查两直线垂直的等价条件，属于基础题．
2．D
【解析】
【分析】
根据定义域的求法，结合一元二次不等式的解法求得集合，由此求得
【详解】
由题意，，所以或，
即，所以．
故选：D
【点睛】
本小题主要考查定义域的求法，考查补集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，属于中档题.
3．D
【解析】
【分析】
根据指数函数、对数函数、二次函数的性质判断．
【详解】
在定义域内为减函数，在定义域内为减函数，在上是减函数，在定义域内是增函数．
故选：D．
【点睛】
本题考查函数的单调性，掌握基本初等函数的单调性及复合函数单调性是解题基础．
4．D
【解析】
根据直线与曲线都关于原点对称，得到，关于点B对称，则，即为，然后将问题转化为点B到直线的距离不大于1求解.
【详解】
因为直线与曲线都关于原点对称，且都过原点，
所以为原点，，关于点B对称，
因为直线：（）上存在点满足，
所以，
则点B到直线的距离不大于1，
即，解得或，
所以实数的取值范围是.
故选：D
5．B
【解析】
【分析】
先通过一元二次不等式的解法和指数函数的值域，化简集合A，B，然后利用交集的定义求解.
【详解】
因为，，
所以．
故选：B
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法，指数函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
6．A
【解析】
【分析】
根据偶函数的定义，可得，，即可得到答案.
【详解】
因是偶函数，则，，
又，所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性的性质，属于基础题.
7．A
【解析】
【详解】
试题分析：①③直线有可能含于；②直线可能和平面相交； ④是正确的，故选A.
考点：空间直线与平面的位置关系.
8．D
【解析】
【分析】
先利用集合交集的定义求出A∩B，再利用子集个数的计算公式求解即可
【详解】
因为集合A={0，1，2}，集合B={x|x-1≥0}={x|x≥1}，
所以A∩B={1，2}，
故A∩B的子集个数为22=4．
故选：D．
9．A
【解析】
【分析】
根据三视图还原几何体如下，其外接球的体积即为棱长为2的正方体的外接球的体积，公式求解即可.
【详解】
根据三视图可知该几何体为棱长为2的正方体的一个角（如图），所以该几何体的外接球即为棱长为2的正方体的外接球，所以半径，所以该外接球的体积为.
故选：A
【点睛】
本题主要考查由三视图还原几何体，以及外接球体积的计算.
10．A
【解析】
【详解】
由题意，函数满足，则或，
当时，为单调递增函数，
当时，，故选A.
11．B
【解析】
【详解】
由函数，易知函数为减函数，
又，
由零点存在性定理可知函数的零点所在的区间是.
故选B.
12．A
【解析】
【详解】
根据三视图可知，该几何体是一个底面一边长为4，对应高为4的三角形，高为4的三棱锥．如图所示，
所以选A．
13．
【解析】
【分析】
首先确定当平面平面PAB时，三棱锥P-ABC的体积达到最大；
然后作出球的球心求出半径，即可求出外接球的表面积.
【详解】
当平面平面PAB时，三棱锥P-ABC的体积达到最大；
记点D，E分别为，的外心，并过两个三角形的外心作三角形所在平面的垂线，两垂线交于点O，
则点O即为三棱锥P-ABC外接球的球心，AO即为球的半径；
因为﹐故；
在中，，则，
由正弦定理可，故，
记AB的中点为F，则，
故，
故外接球的表面积．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查立体几何中球的外接内切问题、正弦定理解三角形，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.
14．
【解析】
【分析】
利用对数的运算及对数恒等式将所求化简即可得到答案.
【详解】
∵，则，∴，，
∴，
故答案为
【点睛】
本题考查了对数的运算，考查了对数恒等式的应用，考查了运算能力，属于基础题.
15．10
【解析】
【分析】
由题意求出f（x）的解析式，化简在同一个坐标系中画出这两个函数的图象，根据图象即可得到答案．
【详解】
由题意知，f（x）=且周期是6，=，且此函数是偶函数，
在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象如下图所示：
由图可得，两个函数图象的交点个数是10个．
【点睛】
本题考查利用函数的周期性画出对数函数、分段函数的图象问题，考查数形结合思想，画对函数的图象是解题的关键．
16．3
【解析】
【分析】
根据自变量的取值，代入符合范围的分段函数中，即可求得．
【详解】
，，，故答案为3.
【点睛】
本题考查分段函数函数值的求解，是一道基础题．
17．（1）偶函数，证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，.
【解析】
【分析】
（1）令，代入已知不等式中，再结合是偶函数，即可证明是偶函数；
（2）根据新定义先列出不等式，再把是上的增函数转化为若，则，代入不等式即可证明在上也是增函数；
（3）先根据新定义列出不等式，再将不等式化简得到在，时恒成立.令，取，证明当时，，再证明，当时不合题意，从而求得的最大值．
【详解】
（1）设为任意实数，因为是偶函数，所以，即，
∴，即
∴为偶函数.
（2）对于任意，，且，因为是上的增函数，所以，
即，
所以
即，得证.
（3）若存在实数使得在上优于，因为，，在，时恒成立，不妨设，则，∴，
∴在，时恒成立
在，时恒成立
在，时恒成立.
令，取
当时，，
当时，，
不合题意.
综上所述，实数的最大值为.
【点睛】
本题考查函数的性质（单调性，奇偶性），考查不等式恒成立的转化，新定义问题，着重考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于难题．新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
18．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)由B、C两点坐标求出直线BC的斜率，根据直线的点斜式方程即可求出过点A的直线方程；
(2)根据题意求出BC的中点坐标，利用和垂直平分线的性质得出所求直线的斜率，结合点斜式方程即可得出结果.
【详解】
解：（1）
由点斜式得，化简得
（2）设B、C中点为O，则
由（1）知，，所以BC垂直平分线的斜率为
所以BC垂直平分线的方程为，化简得
19．（1）；（2）①，②.
【解析】
【分析】
（1）求出圆的标准方程，设直线的方程，利用，结合圆心到直线的距离分析可得，解可得的值，验证直线与轴有无交点，即可得答案；
（2）①设，由点在线段上，得，由，得，结合题意，线段与圆至多有一个公共点，分析可得，分析可得的值，
②由①的结论，分直线的斜率存在与不存在2种情况讨论，用表示三角形的面积，结合二次函数的性质分析可得答案．
【详解】
解：（1）由题意可知，圆C的直径为，
所以圆C方程为：，设方程为：，则，
解得，，当时，直线与y轴无交点，不合题意，舍去.
所以，时直线的方程为.
（2）①设，由点在线段上，则有，即．
由，则有
依题意知，线段与圆至多有一个公共点，
故，解可得或，
因为是使恒成立的最小正整数，所以；
②由①的结论，圆的方程为．
分2种情况讨论：
当直线时，直线的方程为，此时，；
当直线的斜率存在时，设的方程为，，
则的方程为，
点，所以，
又圆心到的距离为，
所以，
故，
又由，
故求三角形的面积的最小值为．
【点睛】
本题考查直线与圆的方程的综合应用，涉及三角形面积的最小值的求法，（2）的关键是确定三角形面积的表达式，属于中档题．
20．（1）109；（2）1.
【解析】
（1）利用指数的公式化简求值即可. （2）利用指数和对数的运算性质化简计算即可.
【详解】
（1）
；
（2）
.
21．详见解析
【解析】
【详解】
试题分析：（1）要证明线面垂直，只需证明线与平面内的两条相交直线垂直，已知，再证明，根据面面垂直的性质定理得到；（2）要证线面平行，即证线线平行，即根据三角形中位线证明;(3)根据等体积转化为求，点到面的距离就是到直线的距离，易求得体积．
试题解析：（1）证明：∵四边形ADEF为正方形 ∴
又∵平面平面，交线为，
∴
∴
又∵ ∴
（2）证明：连结，则是的中点
∴中，
又∵
∴ ∴平面
（3）解：设中边上的高为
依题意： ∴
即：点到平面的距离为
∴
考点：1．线面垂直的判定定理；2．线面平行的判定定理；3．体积公式．
22．（1）证明见解析；（2）共面，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由已知得，，又，故，，由此能证明四边形是平行四边形．
（2）由，，是的中点知，，，从而得到四边形是平行四边形，由此能推导出，，，四点共面．
【详解】
（1）证明：由题意知，，
所以，，又，
故且，
所以四边形是平行四边形．
（2），，，四点共面．理由如下：
由，，是的中点知，，，
所以四边形是平行四边形，
所以
由（1）知，所以，故，共面．
又点在直线上
所以，，，四点共面．
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