湖南省长沙市高一下学期入学考试数学试题（word版含解析）

湖南省长沙市高一下学期入学考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设全集，集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数既是偶函数又有零点的是（ ）
A． B． C． D．
3．若，均为第一象限角，且，则（ ）
A． B．
C． D．，的大小关系不能确定
4．函数的定义域为，其图象上任意两点，满足.若不等式恒成立，则的取值范围是
A． B． C． D．
5．已知向量，，且，则（ ）
A．10 B．-10 C．4 D．-4
6．已知是以为周期的偶函数，当时，，那么在区间内，关于的方程（且）有个不同的根，则的取值范围是（ 　）
A． B． C． D．
7．设命题：，，则为
A．， B．，
C．， D．，
8．函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为或
D．
10．下列函数为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
11．若，下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，则（）
A．的最小正周期为
B．的图象关于对称
C．在的最小值为，则m的最大值为
D．将函数的图象向右平移个单位后，可得到的图象
三、填空题
13．已知奇函数的图象关于直线对称，当时，，则______．
14．已知，则__________.
15．已知，则____________.
16．过抛物线C：的焦点F的直线与抛物线C交于A、B两点，则的最小值为_____.
四、解答题
17．已知 .
（1）求和的值；
（2）求和.
18．已知集合A={x|2-a≤x≤2+a}，集合B={x|x<-2或x>4}，若A∪B≠B，求a的取值范围．
19．已知函数（a＞0，且a≠1）恒过定点.
（1）求实数a.
（2）若函数，若函数，求)在 的最小值.
20．已知向量，记.
（1）若，求的值；
（2）在锐角中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围.
21．经过市场调查，超市中的某种小商品在过去的近40天的日销售量（单位：件）与价格（单位：元）为时间（单位：天）的函数，且日销售量近似满足，价格近似满足．
(1)写出该商品的日销售额（单位：元）与时间（）的函数解析式并用分段函数形式表示该解析式（日销售额=销售量商品价格）；
(2)求该种商品的日销售额的最大值和最小值.
22．已知函数为奇函数.
(1)求a的值;
(2)求函数在 上的值域．
试卷第页，共页
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参考答案：
1．C
【解析】
先求出和，再求得解.
【详解】
由题得，
因为
所以，
所以.
故选：C
【点睛】
思路点睛：该题主要考查集合的补集和交集运算，解题思路如下：
（1）利用一元二次不等式的解法，求得集合N；
（2）利用补集的定义以及题中所给的集合M，求得；
（3）利用并集的定义求得结果.
2．D
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性定义以及函数的零点定义即可求解.
【详解】
对于A，函数为偶函数，令，方程无解，故函数无零点，A不选；
对于B，函数为偶函数，令，方程无解，故函数无零点，B不选；
对于C，函数为非奇非偶函数，C不选；
对于D，函数为偶函数，令，解得，故函数有零点，D符合题意；
故选：D
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性以及函数的零点，需掌握函数奇偶性定义和零点定义，属于基础题.
3．D
【解析】
【分析】
取特殊值验证即可排除错误答案,得到正确答案.
【详解】
由，均为第一象限角，且，
取，则，从而排除选项A，B
取，则
所以，排除选项C
故选：D
4．B
【解析】
由可知在上为减函数，进而得出，分离参数得，解不等式求的取值范围即可.
【详解】
因为函数图象上任意两点，满足，
所以在定义域上为减函数，
所以不等式，即，所以，
令，即，
令，则，
所以恒成立，所以的取值范围是.
故选：B.
【点睛】
本题主要利用函数的单调性解不等式以及不等式恒成立等问题，侧重考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.
5．D
【解析】
由向量，可推出，再利用相等向量对应坐标相等求解即可得出结果.
【详解】
因为，，且，则
即
由相等向量可知，解得
故选：D.
【点睛】
本题主要考查由向量共线求参数，向量坐标的数乘运算及相等向量的应用，属于基础题型
6．B
【解析】
【详解】
由已知，函数在区间的图象如图所示，直线y（且）表示过定点的直线，为使关于的方程（且）有个不同的根，即直线与函数的图象有4个不同的交点.
结合图象可知，当直线介于直线和直线之间时，符合条件，
故选.
考点：函数的奇偶性、周期性，函数与方程，直线的斜率，直线方程.
7．B
【解析】
【详解】
分析：根据全称命题的否定是特称命题进行判断.
详解：根据全称命题的否定是特称命题进行判断，
.
故选B.
点睛：对含有存在(全称)量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在(全称)量词改成全称(存在)量词；②将结论加以否定．
8．A
【解析】
【分析】
判断函数的奇偶性，并判断当时函数的单调性即可.
【详解】
是奇函数图像关于对称，排除B、D；
在上单调递增，所以排除C，故A正确.
故选: A
9．AC
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式的解集可判断A正确；根据不等式的解集，可得方程的两根为、，利用韦达定理可得，代入相应不等式，结合的符号，化简后（求解），可判断BCD.
【详解】
关于的不等式的解集为，
所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确；
方程的两根为、，
由韦达定理得，解得.
对于B，，由于，所以，
所以不等式的解集为，故B不正确；
对于C，由的分析过程可知，所以
或，
所以不等式的解集为或，故C正确；
对于D，，故D不正确.
故选：AC.
10．ABC
【解析】
根据函数的奇偶性的定义，逐项判定，即可 求解.
【详解】
对于A选项，函数的定义域为，且，所以A是奇函数；
对于B选项，函数的定义域为，且，，故B是奇函数；
对于C选项，函数的定义域为，且，，故C是奇函数；
对于D选项，由函数，则满足，解得，可得定义域不关于原点对称，故D不是奇函数.
故选：ABC.
11．AC
【解析】
【分析】
通过基本不等关系判断AB，通过函数单调性判断CD即可.
【详解】
对于A，若，则，故A正确
对于B，若，则，即，故B错误；
对于C，函数在时，单调递增，又，故，即，故C正确；
对于D，函数，单调递增，又，故，则，即，故D错误；
故选：AC
12．AC
【解析】
【分析】
直接计算出最小正周期可判断A；计算看是否等于0可判断B，由在的最小值为，可知，即可判断C；化简得，再计算看能否得，即可判断D.
【详解】
由题，A正确；
，B错；
，，所以，，C正确；
，
，故D错误.
故选：AC.
【点睛】
本题考查三角函数的性质，属于基础题.
13．-3
【解析】
【详解】
由题意奇函数的图象关于直线对称,则 则得
点睛：(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的值或解析式.
14．
【解析】
【分析】
根据对数的运算性质直接可得解.
【详解】
因为.
所以.
故答案为.
【点睛】
本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题.
15．
【解析】
【分析】
根据同角三角函数基本关系求出、的值，再利用两角差的正切公式计算即可求解.
【详解】
因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
故答案为：.
16．9
【解析】
先证明，再结合基本不等式即可得解.
【详解】
当的斜率不存在的时候，为通径且，故.
当的斜率存在的时候，设，，
由 可得，
所以.
又.
又
当且仅当时取等号.
故答案为：9.
【点睛】
本题考查直线与抛物线位置关系中的定值问题以及利用基本不等式求最值，前者需要联立直线方程和抛物线方程，利用焦半径公式把目标关系式转化为关于的关系式，利用韦达定理化简后可得定值，后者需要代数变形以产生能使用基本不等式的结构形式，本题属于较难题.
17．（1），；（2），.
【解析】
【分析】
（1）根据同角三角函数的基本关系求解出的值，结合诱导公式可求的值；
（2）根据两角和的正弦公式以及两角差的余弦公式求解出结果.
【详解】
（1）因为，所以，
又；
（2），
.
18．a≥0．
【解析】
【分析】
根据集合并集的结果，运用补集思想进行求解即可.
【详解】
设A∪B=B，则A B．
①若A=，则2-a>2+a，a<0，符合题意；
②若A≠，则a≥0，
依题意2+a<-2或2-a>4．
解得a<-4或a<-2，
即a<-2．
又a≥0，故此时无解．
综上，若A∪B=B，则a<0，
所以A∪B≠B时a的取值范围是a≥0．
19．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）点（，2）代入函数解析式即可求出；
（2）写出g (x)的解析式，先化简F (x) ，令，则，分类讨论即可求出最小值.
【详解】
（1）因为函数（a＞0，且a≠1）恒过定点
所以，解得，
（2）∵，
∴，
，
∴，
令，
∴，
①当时，在[1，2]单调递增，
∴时，，
②当时，则当时，，
③当时，在[1，2]单调递减，
∴时，，
综上所述.
【点睛】
本题考查了函数的解析式的求法以及利用函数的单调性求函数的最值的问题，属于基础题.
20．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换可得，由可得，根据二倍角公式可得的值；
（2）根据正弦定理消去中的边可得，所以，
又，则，得，根据三角函数值域的有界性即可求得的取值范围．
【详解】
.
（1）.
（2）因为，
由正弦定理得，
所以，
所以，，
所以，又，所以，
则，即，又，
则，得，
所以，又，
所以.
21．（1）；
（2）当时，取最小值，当时，取最大值.
【解析】
【分析】
（1）根据题意知，去掉绝对值，写成分段函数即可；（2）根据第一问的表达式，分段讨论函数的单调性，分段得到函数最值即可.
【详解】
（1）由题意知
．
（2）当时，在区间上单调递减，故；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，故
当时，取最小值，当时，取最大值．
【点睛】
这个题目考查的是函数的实际应用，以及选择合适的模型来解决实际的问题，这类题目关键是审清题意，选择合适的函数模型，常见的函数模型有，分段函数，分式型函数，二次函数，指对函数等，注意自变量的实际意义.
22．(1)5
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）由奇函数的定义即可求解；
（2）由题可得函数的图象可得函数的单调增区间，再通过分类讨论结合二次函数的图象及性质即求.
(1)
当时，，
此时，，
因为函数为奇函数，
所以，即，
解得；
(2)
由（1）知，如图所示：
如图所示，图象两侧虚线对应的对称轴分别为和，
当时， ，，
∴函数在 上的值域为；
当时， ， ，
∴函数在 上的值域为；
当时， ，
∴函数在 上的值域为.
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