黑龙江省哈尔滨市高一下学期开学考试数学试题（word版含解析）

黑龙江省哈尔滨市高一下学期开学考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则
A． B．
C． D．
3．复数的共轭复数是
A． B． C．1 D．
4．已知命题，，则该命题的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．定义在上的函数满足，若在上是增函数，记
，则
A． B． C． D．
6．对于任意的，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
7．在中，角所对的边分别是，已知，且，则的取值范围为
A． B． C． D．
8．若函数，且，则等于（ ）
A． B． C．3 D．
9．“函数是幂函数”是“函数值域为”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．如图所示，扇环的两条弧长分别是4和10，两条直边与的长都是3，则此扇环的面积为（ ）
A．84 B．63 C．42 D．21
11．集合，，那么（ ）
A． B． C． D．
12．关于x的不等式63x2-2mx-m2<0的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．以上答案都不对
二、多选题
13．下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．在区间上单调递增 B．最小正周期是
C．图像关于成中心对称 D．图像关于直线成轴对称
14．已知函数且，则（ ）
A． B．
C． 的最小值为 D．
三、双空题
15．扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角(正角)的弧度数是____________设，，则,的大小关系是___________
四、填空题
16．若函数的定义域与值域相同，则___________.
17．奇函数满足当时，，则_________.
18．设函数若函数有六个不同的零点，则实数a的取值范围为________．
五、解答题
19．已知二次函数满足且，
（1）求二次函数的解析式．
（2）求函数的单调增区间和值域．
20．若函数满足且，则称函数为函数
（1）试判断是否为函数，并说明理由；
（2）函数为函数，且当时，=，求的解析式，并写出在上的单调递增区间；
（3）在（2）的条件下，当，关于的方程(为常数)有解，记该方程所有解的和为S，请求出S.
21．若满足，则称为的不动点．
（1）若函数没有不动点，求实数的取值范围；
（2）若函数的不动点，求的值；
（3）若函数有不动点，求实数的取值范围．
22．已知均为锐角.
(1)求的值；
(2)求的值.
23．已知函数，.
（1）用“五点法”画出函数一个周期内的图象；
（2）求函数在内的值域；
（3）若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在内的单调增区间.
试卷第页，共页
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参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
由题得定义域，再利用复合函数的单调性原理求解.
【详解】
由题得，所以或.
函数在单调递增，在单调递减.
又函数在定义域内单调递减，
所以函数的单调递减区间是.
故选：C
2．D
【解析】
【详解】
试题分析：,所以，故选D.
考点：1.分式不等式的解法；2.集合的运算.
3．A
【解析】
【详解】
试题分析：∵，∴复数的共轭复数是i，故选A
考点：本题考查了复数的概念及运算
点评：掌握复数的概念及运算是解决这类问题的关键.复数乘除运算是运算复数的难点，也是复数考查的必考内容，在乘法运算中，类比多项式的乘法，但要注意i的幂的性质
4．C
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定是全称命题求解即可.
【详解】
因为特称命题的否定是全称命题，先变量词再否定结论，
所以命题，的否定是，，
故选：C.
5．C
【解析】
【分析】
先求出函数的周期性，然后结合函数单调性确定数的大小
【详解】
，
，
的周期
，
在上是增函数
则，即
故选
【点睛】
本题考查了运用函数的周期性和单调性比较数的大小，较为基础，注意周期性的运用．
6．A
【解析】
【分析】
根据正余弦的和差角公式并结合同角三角函数的平方和关系分别计算，即可得答案.
【详解】
解：因为
，故A选项正确，C选项错误；
因为
，故B,D选项错误.
故选：A
7．A
【解析】
先根据已知得到，再由余弦定理得，再利用函数在上单调递增求出的取值范围.
【详解】
因为，，
所以，
即，
所以，从而，
则，
因为，
所以当时，；当时，，
又在上单调递增，
故的取值范围为.
故选A
【点睛】
本题主要考查余弦定理解三角形，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8．D
【解析】
【分析】
令，则代入原式计算整理即可得结果.
【详解】
令，则
即
故选：D.
9．B
【解析】
【分析】
先已知条件计算参数m的取值，再根据包含关系判断充分条件和必要条件即可.
【详解】
“函数是幂函数”等价于：，即，故或，即取值集合为；
“函数值域为”等价于：中，且，
即，故，即取值集合为.
故是的真子集，“或”是“”的必要不充分条件，即“函数是幂函数”是“函数值域为”的必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】
结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）是的必要不充分条件，等价于对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件，等价于对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，等价于对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件，等价于对应集合与对应集合互不包含．
10．D
【解析】
【分析】
设扇环的圆心角为，小圆弧的半径为，依题意可得且，解得、，进而可得结果.
【详解】
设扇环的圆心角为，小圆弧的半径为，由题可得且，解得，，从而扇环面积.
故选：D．
11．A
【解析】
【分析】
本题可根据并集的相关性质得出结果.
【详解】
因为，，
所以，
故选：A.
12．D
【解析】
【分析】
先化简不等式，得到对应方程的根，再对参数m分三种情况讨论得到解集，即得答案.
【详解】
原不等式可化为，对应方程的二根为，需对m分三种情况讨论：
当时，，不等式解集为；
当时，，不等式解集为；
时，，不等式解集为.
故不等式的解集与m有关，ABC均不正确.
故选：D.
13．BC
【解析】
【分析】
由正切函数的性质逐一判断即可.
【详解】
因为，所以，又正切函数在和上单调递增，但在上不是单调递增，故A错误；
函数的周期为，故B正确；
由可知，当时，，即其图像关于成中心对称，故C正确；
因为正切函数无对称轴，故D错误；
故选：BC
14．ABD
【解析】
由，可得，而，得，从而可得与互为相反数，其中，从而可求出的取值范围和的关系式，然后对各选项进行判断
【详解】
解：因为且，
所以，
因为，所以，
所以，所以与互为相反数，其中，
所以，所以，所以A正确；
因为与互为相反数，所以，
所以，化简得，所以B正确；
因为，所以，
因为，所以取不到等号，所以，所以D正确；
因为，所以，
因为，所以，所以C错误，
故选：ABD
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
15． 2；
【解析】
【详解】
试题分析：由题：，解得：
，，，，
可得大小关系为：
考点：（1）弧度制及扇形的周长和面积公式. （2）指数与对数函数的性质.
16．2
【解析】
【分析】
先求得定义域，再利用二次函数的性质求得值域求解.
【详解】
由，得的定义域为.
因为，
所以，即.
故答案为：2
17．
【解析】
【分析】
由函数奇偶性，结合函数解析式，即可容易求得.
【详解】
因为奇函数，且当时，，
故可得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用函数奇偶性求函数值，涉及指数运算，属基础题.
18．．
【解析】
【分析】
利用数形结合即求.
【详解】
函数的零点即为方程的解，也即的解，
令，则原方程的解变为方程组的解，
作出函数和直线的图象如图所示．
由图可知，当时，有两个不同的x与之对应；
当时，有一个x与之对应，当时，没有x与之对应．
由方程组有六个不同的x解知，需要方程②有三个不同的t，且都大于，
作出函数和直线的图象如图所示，
由图可知当时满足要求，
综上，实数a的取值范围为．
故答案为：
19．（1）；（2）单调递增区间是，的值域为.
【解析】
【分析】
（1）依题意设，代入已知等式，建立方程关系，求解即可；
（2）令根据（1）求出单调区间，再由在上单调递减，结合复合函数的单调性，得出的单调区间，即可求出的值域.
【详解】
（1）由，设
∵
∴
∴
（2）由（1）知，
令，则；
∵在递减，在递增；
在上是减函数，
∴的单调递增区间是，单调递减区间是.
∴，由
所以，即的值域为
【点睛】
本题考查待定系数法求解析式、指数型函数的单调性和值域，掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于中档题.
20．（1）不是函数，理由见解析；（2），在上的单调递增区间；（3）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）取特值检验即可否定；
（2）设根据已知条件，利用诱导公式可得，再根据周期性即可写出解析表达式，并利用三角函数的单调性得到在上的单调递增区间；
（3）画出图形，结合图形并根据对称性可得到结论.
【详解】
（1）不是函数，
当时，，
，∴不总是成立
不是函数；
（2）当时，=，
设则
，
，∴以为周期，
上的单调递增区间
（3）画出函数的部分图象如图所示，由图可知：
当时，4个交点 ，;
当时，6个交点 ，;
当时，9个交点 ， ;
当时，12个交点 ，;
【点睛】
本题考查三角函数的图象和性质，求分段函数的解析式，关键是理解新定义，结合周期性、对称性，不注意数形结合解决问题的方法.在研究图象的交点时，画出图象是关键.
21．（1）；（2）；（3）．
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据条件可知，没有不动点，等价于方程无实数根，利用一元二次方程根的判别式，即可求解；（2）根据零点定理求得的根所在的区间，即可求得的值；（3）有不动点，等价于有解，从而可知，从而问题进一步等价于关于的一元二次方程至少有一正根，利用韦达定理，即可求解的取值范围．
试题解析：（1）由已知可得，问题等价于无实数根，即无实数根，
∴，；（2）令，∴，即，
令，在上递增，，，，；（3）令，
则，又令，从而可得，故问题等价于关于的一元二次方程至少有一正根，若方程有一根为：此时，，，符合题意，若方程的根不为，考虑都为负根，由韦达定理可知，因此方程至少有一正根需，又∵或，∴实数的取值范围是．
考点：1．材料阅读；2．零点存在定理；3．韦达定理．
【思路点睛】解决含有参数的动函数的常见方法有：1．参变分离，转化成固定函数在固定区间上的最值问题，2．对参数的讨论，与恒成立问题，根的分布问题相结合；3．零点的情况，与零点存在，唯一性相结合；3．掌握二次函数，二次不等式，二次方程的内在联系，熟练掌握等价转化和准确表述；3．数形结合思想．
22．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
首先根据的大小，求得的值.
（1）利用的二倍角公式，求得的值.
（2）利用，求得的值.
【详解】
由于为锐角，所以，所以，
.
（1）由二倍角公式得，，由于，所以.
（2）由.
【点睛】
本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的余弦公式，考查二倍角公式，考查运算求解能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
23．（1）答案见解析；（2）；（3）
【解析】
（1）利用五点法作图，按照列表、描点、连线的步骤作图即可；
（2）根据求出的范围，再利用正弦函数的性质求出的范围即可求值域；
（3）先求出，再令，
，不等式的解集与求交集即可.
【详解】
（1）利用五点法作图列表如下：
图象如图所示：
（2）因为，所以，
所以，
所以，
函数在内的值域为
（3）若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
则，
令，解得：，
当时，，当时，
又因为，所以 ，
在内的单调增区间为，
【点睛】
关键点点睛：在求三角函数单调区间时，要把看成一个整体让其满足正弦的单调区间，解出的的范围即为所求三角函数的单调区间.
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