黑龙江省哈尔滨市高一下学期开学测试数学试题（word版含解析）

黑龙江省哈尔滨市高一下学期开学测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若幂函数在区间上是减函数，则实数的值为（ ）
A．或 B．
C．或2 D．
2．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的对称中心的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
3．设，则
A．或 B． C． D．
4．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数是周期为4的奇函数，若时，，则（ ）
A． B． C． D．2
6．若，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
8．设，则
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点对称
C．的值域为
D．在上单调递增
10．的部分图象如图所示．则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
11．下列命题中假命题有（ ）
A．， B．函数的值域为
C．， D．“且”是“”的充要条件
12．下列函数，在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知实数，正实数满足，且，则的最小值为__________．
14．已知函数f(x)＝||，实数m，n满足0＜m＜n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则＝________.
15．若定义在区间上的函数（其中常数）既没有最大值，也没有最小值，则的取值范围是________
16．设函数满足，当时，，则=________.
四、解答题
17．已知函数的最大值为.
（1）求的值；
（2）求使成立的的集合.
18．已知向量，
（1）求的最小正周期和对称中心；
（2）若其中，求的值
19．已知函数，直线是函数的图象的任意两条对称轴，且的最小值为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的单调增区间；
（III）若，求的值.
20．已知1≤x≤4，求函数f(x)＝的最大值与最小值．
21．已知函数．
（1）求的值；
（2）求的最小正周期和对称中心；
（3）求在上的最大值及取最大值时对应的的值．
22．已知函数为奇函数．
（1）求实数的值；
（2）判断并证明函数的单调性；
（3）若存在，使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围．
试卷第页，共页
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参考答案：
1．B
【解析】
首先根据函数是幂函数得到，求得的值，再代入验证.
【详解】
因为函数是幂函数，所以，
解得：或，
当时，，满足函数在区间是减函数，
当时，，不满足函数在区间是减函数.
故选：B
2．D
【解析】
【分析】
先利用函数图象的平移变换法则得到函数的解析式，然后求得函数的解析式，利用整体对应的方法即可求得结果．
【详解】
，
；
令，解得：；又时，，
的对称中心为.
故选：D.
【点睛】
方法点睛：求解正弦型函数的对称轴、对称中心和单调区间时，通常采用整体对应的方式，即令整体对应的对称轴、对称中心和单调区间，由此求得结果.
3．B
【解析】
【详解】
或，，则，故选B.
4．B
【解析】
【分析】
利用和完全平方公式，可得的值，再运用立方和公式得出答案．
【详解】
由题意得 =x+2+x-1=5，
所以=，
所以=()(x-1+x-1)=，
故选：B
【点睛】
本题考查指数幂的运算，考查公式的应用，属于基础题．
5．C
【解析】
【分析】
根据函数的周期性与奇偶性计算可得；
【详解】
解：因为函数是周期为4的奇函数，若时，，所以
故选：C
6．A
【解析】
【分析】
由指数函数、对数函数的性质判断所在的范围，可得其大小关系.
【详解】
解：可得，
，
，所以,
故选：A.
【点睛】
本题主要考查函数值大小的比较，熟悉指数函数、对数函数的性质判断出所在的范围是解题的关键.
7．B
【解析】
【分析】
解不等式，即可得出函数的定义域.
【详解】
解不等式，得，
因此，函数的定义域是.
故选：B.
【点睛】
本题考查正切型函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.
8．B
【解析】
【详解】
因为，
所以．选B．
9．AC
【解析】
对已知函数去绝对值写成分段函数的形式，作出其函数图象，借助于三角函数的图象逐一判断四个选项的正误，即可得正确选项.
【详解】
当即时，
，
当即时，
，
所以
作出的图象如下图所示：
对于选项A：由图知，是的对称轴，即的图象关于直线对称，故选项A正确；
对于选项B：由图知不是的对称中心，即的图象关于点不对称，故选项B不正确；
对于选项C：由图知的最大值为，最小值为，所以的值域为，故选项C正确；
对于选项D：在上不单调递增，故选项D不正确，
故选：AC
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是利用已知函数的解析式，作出函数的图象，利用数形结合的思想可研究该函数的对称性、最值和单调性.
10．BC
【解析】
可根据最值求出，根据周期求出，根据取最值时的值求出，从而得到解析式.
【详解】
由图象知，最大值为2，故.
的周期为，故
，
为，B正确
又，C正确
对于A. ，故不对
对于D. ，故不对
故选：BC
【点睛】
已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
11．AD
【解析】
【分析】
利用特殊值法可判断AC选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断B选项的正误；利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，取，则，A选项中的命题为假命题；
对于B选项，，B选项中的命题为真命题；
对于C选项，取，则，C选项中的命题为真命题；
对于D选项，充分性：若且，则，充分性成立；
必要性：取，，则成立，但且不成立，必要性不成立.
所以，“且”是“”的充分不必要条件，D选项中的命题为假命题.
故选：AD.
12．AD
【解析】
【分析】
利用函数的性质依次判断即可.
【详解】
对于A，的定义域为R，且，是奇函数，关于原点对称，又单调递增，故A正确；
对于B，满足，解得，即定义域为，不关于原点对称，故B错误；
对于C，，故是偶函数，函数图象不关于原点对称，故C错误；
对于D，定义域为R，且，则是奇函数，关于原点对称，又，可知其单调递增，故D正确.
故选：AD.
13．
【解析】
由条件化简可得，利用均值不等式求最小值即可.
【详解】
正实数满足,
取对数可得，
所以，
所以，
由均值不等式知，，
当且仅当，即，时等号成立.
故答案为：
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
14．9.
【解析】
【分析】
先分析得到f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，再分析得到0＜m2＜m＜1，则f(x)在[m2，1)上单调递减，在(1，n]上单调递增，再根据函数的单调性得到m,n的值，即得解.
【详解】
因为f(x)＝|log3x|＝,
所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
由0＜m＜n且f(m)＝f(n)，可得,
则,所以0＜m2＜m＜1，
则f(x)在[m2，1)上单调递减，在(1，n]上单调递增，
所以f(m2)＞f(m)＝f(n)，则f(x)在[m2，n]上的最大值为f(m2)＝－log3m2＝2，
解得m＝，则n＝3，所以＝9.
故答案为9
【点睛】
本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的单调性的应用和最值的求法，意在 考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.
15．
【解析】
【分析】
由题意利用正弦函数得周期性和单调性，可得不等式组，解之即可求出结果.
【详解】
由题意得，所以或，解得或，
故答案为：.
16．
【解析】
【分析】
由已知得f（）=f（）+sin=f（）+sin+sin=f（）+sin+sin+sin，由此能求出结果．
【详解】
∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx，
当0≤x＜π时，f（x）=0，
∴f（）=f（）+sin
=f（）+sin+sin
=f（）+sin+sin+sin
=0+
=．
故答案为．
【点睛】
本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
17．(1) ;(2) 的集合是，..
【解析】
【详解】
试题分析：
（1）将函数化为，由于，故的最大值为，根据题意可求得．（2）由，得，将看为一个整体可得，解得，，进而得到所求范围．
试题解析：
（1）
由，所以的最大值为．
令，
解得.
（2）由，得，
所以，
所以，
所以，
所以使成立的的集合是，.
18．（1）最小正周期为，对称中心为，（2）
【解析】
【分析】
（1）化简得到，得到周期和对称中心.
（2）可得，计算，再利用和差公式计算得到答案.
【详解】
（1），
则 ，最小正周期为，
对称中心横坐标满足：，，可得，.
故对称中心为，.
(2)由可得，
则，，
而在上单调递增，取值范围为；
在上单调递减，取值范围为.
，，则，.
.
【点睛】
本题考查了三角函数周期和对称中心，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和应用能力.
19．（1）；（2）（3） .
【解析】
【分析】
（1）利用二倍角公式化简函数，根据题意可知最小正周期为，即可求出 （2）利用正弦函数的单调性即可写出函数单调增区间（3）利用诱导公式及二倍角公式化简即可.
【详解】
（1）
且直线是函数的图象的任意两条对称轴，且的最小值为
函数的最小周期为
（2）令
解得
函数单调增区间为
（3）
.
【点睛】
本题主要考查了函数的周期性，三角函数解析式及其单调性，属于中档题.
20．最大值是2，最小值是－.
【解析】
【分析】
先对题目所给函数进行变换，利用二次函数求最值的方法求得答案
【详解】
解　
又，，
当，即时，取最小值；
当，即时，取最大值.
函数的最大值是，最小值是
【点睛】
本题主要考查了二次函数求最值的问题，需要先将函数表达式进行化简，转化为一元二次函数的形态，然后运用二次函数求最值方法求得答案，较为基础．
21．（1）；（2）最小正周期为，对称中心为，；（3）时，取得最大值．
【解析】
【分析】
(1)利用两角和差公式，二倍角公式化简，再求，(2)由正弦函数的周期性和对称性的结论求函数的周期和对称中心，(3)根据不等式的性质结合正弦函数的图象及性质可求在上的最大值及对应的x的值.
【详解】
（1）由
（2）的最小正周期
令，，解得，
故的对称中心为
（3），，
由正弦函数性质知当时，即时，
所以．
22．（1）1；（2）增函数，证明见解析；（3）
【解析】
（1）根据函数奇函数的定义和条件，求出k的值之后再验证是否满足函数的定义域关于原点对称即可；
（2）根据函数的单调性和对数函数的单调性即可证明；
（3）假设存在，使得函数在区间上的值域为，由 在上递增，程在上有两个不等实根，可得的不等式组，解不等式即可得到实数的取值范围，即可得到判断存在性.
【详解】
（1）因为函数为奇函数，所以，
即对定义域内任意恒成立，所以，即，
显然，又当时，的定义域关于原点对称．
所以为满足题意的值．
（2）结论：在，上均为增函数．
证明：由（1）知，其定义域为，
任取，不妨设，则
，
因为，又，
所以，所以，
即，所以在上为增函数．
同理，在上为增函数．
（3）由（2）知在上为增函数，
又因为函数在上的值域为，
所以，且，所以，
即是方程的两实根，
问题等价于方程在上有两个不等实根，
令，对称轴
则，
即，解得．
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用以及函数和方程的转化以及一元二次方程在给定区间上解的问题，根据函数奇偶性和单调性的定义函数性质是解决本题的关键，考查学生分析问题与解决问题的能力，是难题.
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