浙江省杭州市高一下学期期初数学试题（word版含解析）

浙江省杭州市高一下学期期初数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设a>0，b>0，若A（1，-2），B（a，-1），C（-b，0）三点共线，则的最小值为（ ）
A．9 B．8
C．6 D．4
2．已知，则向量与向量的夹角是
A． B． C． D．
3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则（ ）
A． B．4 C． D．
4．若，则的值为（ ）
A．2 B． C．0 D．0或2
5．为了得到函数，的图象，只需把图象上所有的点（ ）
A．向上平移个单位长度 B．向下平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
6．定义数列 如下： ， ，当 时，有 ；
定义数列 如下： ，，当 时，有 ，则
A． B． C． D．
7．若，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知全集，则（ ）
A． B． C． D．
9．在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则满足条件的三角形有
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
10．已知平面向量，满足且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
11．数列中，已知，且，则等于（ ）
A．170 B．171 C．172 D．173
12．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，现自上而下取第1，3，9节，则这3节的容积之和为（ ）
A．升 B．升 C．升 D．升
二、双空题
13．菱形中，，点E，F分别是线段上的动点（包括端点），，则___________，的最小值为___________.
14．已知函数，若对于任意，恒成立，则称函数具有性质；
（1）若函数具有性质，且，则________；
（2）若函数具有性质，且在上的解析式为，那么在上有且仅有_____个零点.
15．已知锐角，同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④.则这三个条件是________（只填写序号），的面积是________
三、填空题
16．若，，则___________.
17．如图所示函数（，，）的部分图像，现将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，则函数的解析式为_____．
18．已知，则______．
19．在中，角，，的对边分别是，，，若，，则的取值范围是__________．
四、解答题
20．数列满足，.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若，求正整数的最小值.
21．已知、、为△的三个内角，、、是其三条边，，.
（1）若，求、；
（2），求.
22．已知,.
(1)当时,求的值域;
(2)若时,有解,求实数的取值范围.
23．已知函数，.
（1）的周期是，求，并求的解集；
（2）已知，，，，求的值域.
试卷第页，共页
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参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
由向量共线得到，再由均值不等式得到，又因为，即可得到结果.
【详解】
共线，
，；
（当且仅当，即，时，等号成立）
.
故选：B.
2．C
【解析】
【详解】
试题分析：由条件得，所以，所以，即．
考点：数量积．
3．D
【解析】
【分析】
先利用正弦定理将中的角化边，可得，再由余弦定理求出的值，然后结合正弦定理和二倍角公式，进行化简运算即可．
【详解】
由正弦定理知，，
，，
由余弦定理知，，
．
故选：D
4．B
【解析】
【分析】
根据正余弦二倍角公式转化即可求解结果．
【详解】
由得，所以或
当时，不存在；
当时，
故选：B
5．C
【解析】
【分析】
利用左加右减的平移原则，即可得答案.
【详解】
∵图象上所有的点向左平移个单位长度得：，
故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数的平移变换，考查对平移知识的简单运用.
6．D
【解析】
【详解】
由，两边同除，可得，即，
则数列构成首项为，公差为的等差数列，所以，
所以
同理可得，则数列构成首项为，公差为的等差数列，所以，
可得，
所以，故选D．
点睛：本题主要考查了数列的递推公式和等差数列的通项、累乘法求解数列的通项公式等知识点的应用，试题有一定的难度，属于中档试题，在利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形，运算问题时，要注意采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
7．A
【解析】
由已知条件，结合二倍角公式及诱导公式，即可得到结果.
【详解】
∵，
∴，
故选：A
【点睛】
本题考查三角函数求值，考查二倍角公式及诱导公式，考查计算能力.
8．D
【解析】
先求出集合A、B，再求出集合，进行交集计算即可.
【详解】
，
，
，
所以，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了集合的交集和补集运算，涉及了解一元二次不等式，属于基础题.
9．C
【解析】
【详解】
因为，所以满足条件的三角形有2个．故选C．
10．B
【解析】
【分析】
根据题意,建立平面直角坐标系.令， .为中点.由即可求得点的轨迹方程.将变形,结合及平面向量基本定理可知三点共线.由圆切线的性质可知的最小值即为到直线的距离最小值,且当与圆相切时,有最大值.利用圆的切线性质及平行线段，比例关系，求得的最大值.
【详解】
根据题意,设,
则
由代入可得
即点的轨迹方程为
又因为,变形可得,即,且
所以由平面向量基本定理可知三点共线,如下图所示:
以的最小值即为到直线的距离最小值
根据圆的切线性质可知,当与圆相切时,有最大，
此时，，，所以，
，即此时.
即的最大值为
故选:B
【点睛】
本题考查了平面向量的坐标应用,平面向量基本定理的应用, 圆的轨迹方程问题,圆的切线性质及点到直线距离公式的应用,综合性强,属于难题.
11．A
【解析】
【分析】
由,则,,,则利用累加法可得,再令,进而求解即可.
【详解】
由题,因为,所以,,,
累加可得,即,
当时,,则,
故选:A
【点睛】
本题考查累加法处理数列的递推公式,考查等差数列的前项和公式的应用.
12．B
【解析】
【分析】
设自上而下各节的容积分别为，公差为，则可得关于的方程组，求解后可得的值.
【详解】
设自上而下各节的容积分别为，公差为，
∵上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，
∴即，
解得，
∴自上而下取第1，3，9节，
则这3节的容积之和为：（升）．
故选：B．
【点睛】
本题考查等差数列在实际问题中的应用，注意将实际问题合理抽象为等差数列的三项和的问题，注意方程的思想在等差数列中的应用，本题属于基础题.
13． 0 ##-0.25
【解析】
【分析】
建立坐标系，用坐标表示向量，第一个空利用向量数量积坐标公式进行相应计算，第二个空设出，表达出，利用二次函数的性质求最小值，再结合求出最小值.
【详解】
以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，故，，，，设，则，，则，，，；
因为，所以，，故当时，取得最小值为，因为，所以当，即时，最小，最小值为
故答案为：0，
【点睛】
建立坐标系，解决平面向量相关的取值范围或共线等问题是非常好用的.
14． 2
【解析】
【分析】
（1）利用性质可得,即可求解；
（2）根据性质分别求得,的函数解析式,进而根据余弦型函数的性质判断零点个数即可.
【详解】
（1）因为函数具有性质,
所以对于任意,恒成立,
所以,
因为,所以.
（2）若函数具有性质,且在上的解析式为,
设,则,所以,
则函数在上的解析式为,同理,
在上的解析式为,
所以在上有且仅有3个零点，分别为.
故答案为:（1）2；（2）3
【点睛】
本题考查求函数值,考查求函数的零点个数,考查余弦型函数的性质的应用.
15． ①②③
【解析】
【分析】
如果选条件②③④，不能确定三角形是锐角三角形，如果选条件①④②或①④③，三角形不是锐角三角形，只有选①②③，可得锐角三角形，然后求出三角形面积．
【详解】
如果选条件②③④，则由正弦定理得，
均为锐角，，，
则，
则为锐角，为钝角，不合题意；
如果选条件①④②或①④③，同理，
则为锐角，为钝角，不合题意；
只有选择①②③，由得，
解得或，
时，，角是钝角，不合题意，舍去．
时，，是锐角，符合题意．
此时．
故答案为：①②③；．
【点睛】
本题考查正弦定理和余弦定理，考查两角和与差的正弦余弦公式，解题关键是根据所选条件判断三角形的形状，以确定符合题意的条件．
16．
【解析】
【分析】
由余弦的和差角公式得，，进而得
【详解】
解：因为，所以.
因为，所以，
所以，，
所以.
故答案为：
17．
【解析】
【详解】
试题分析:由题设中提供的图象可得,即,故；又,所以,故,.故应填答案.
考点：正弦函数的图象和性质的综合运用．
18．
【解析】
【分析】
利用余弦的两角差公式将展开然后利用辅助角公式计算即可得到答案.
【详解】
∵，∴ .
故答案为
【点睛】
本题考查两角和差公式以及辅助角公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
19．
【解析】
【详解】
∵（2a-c）cosB=bcosC，∴由正弦定理得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，又sin（B+C）=sinA，∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosB=，因为，因为根据正弦定理有
所以
故答案为
20．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）将递推公式变形为，然后利用定义可证明出数列是等差数列；
（2）求得，于是得出，利用裂项相消法求得，由此解出不等式，即可得出满足条件的正整数的最小值.
【详解】
（1）对任意的，，，
，且，
所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列；
（2）由（1）可得，，
，
，解得.
因此，正整数的最小值为.
【点睛】
本题考查等差数列的证明，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.
21．（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理得，再结合得，联立余弦定理可求；
（2）由先求出，进而得出，由求出，再结合求即可
【详解】
（1），∴，；
（2），又，联立可得，解得，或，
∵，，若，，可得，，为钝角，与为钝角矛盾，舍去，∴， 由正弦定理，
22．(1);(2).
【解析】
【分析】
（1）令，则可转化条件得,,利用二次函数的性质即可得解；
（2）令，则，原条件可转化为，有解，令，，由函数的单调性求出的最小值后即可得解.
【详解】
（1）当时,,
令,,
则,,
,.
故的值域为.
（2）令,,
∵，∴，∴,，
由有解,得在上有解,
∴,即，有解，
令，，易知在时单调递增，
∴
∴实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查了三角函数值域的求解，考查了换元法和有解问题的解决方法，属于中档题.
23．（1），或，；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用正弦函数的性质求出的值，然后利用特殊角的三角函数值列出关于的等式，解出即可.（2）利用三角函数的辅助角公式化简，结合的范围和三角函数的性质，从而求出的值域.
【详解】
（1）由于的周期是，所以，所以.
令，故或，整理得或.
故解集为或，.
（2）由于，所以.所以
由于，，所以.
，故，故.
所以函数的值域为.
【点睛】
本题考查正弦型函数已知值求角，考查三角函数辅助角公式的应用以及求正弦型函数的值域，考查学生的计算能力和转换能力，属于基础题.
试卷第页，共页
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