江苏省南通市高一下学期期初教学质量调研（二）数学试题（word版含解析）

江苏省南通市高一下学期期初教学质量调研（二）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合, ，则
A． B． C． D．
2．已知定义在上的偶函数满足：当时，，且的图像关于原点对称，则
A． B． C． D．
3．已知，则下列关系正确的是．
A． B． C． D．
4．已知向量，不共线.若，的起点相同，且向量，，的终点在同一条直线上，则实数的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
5．已知的定义域为，函数的定义域为
A． B． C． D．
6．已知函数的最大值为，最小值为，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知简谐振动的振幅为，图象上相邻最高点与最低点之间的距离为5，且过点，则该简谐振动的频率与初相分别为
A． B． C． D．
8．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
9．下面有四个命题，其中错误的命题有（ ）
A．函数的最小正周期是
B．终边在y轴上的角的集合是
C．在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有三个公共点
D．角为第二象限角的充要条件是
10．已知，恒成立，则的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
11．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
12．设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为 D．在上单调递减
三、填空题
13．己知函数的定义域为，则函数的定义域为________．
14．函数的值域为________.
15．已知函数对任意的，有.设函数，且在区间上单调递增．若，则实数的取值范围为_______.
16．已知函数，若集合中有且只有两个元素，则实数的取值范围是______
四、解答题
17．如图，在平面上，点，点在单位圆上，（）
（1）若点，求的值；
（2）若，四边形的面积用表示，求的取值范围.
18．某造船公司年造船量是20艘，已知造船艘的产值函数为（单位：万元），成本函数为（单位：万元），又在经济学中，函数的边际函数定义为.
（Ⅰ）求利润函数及边际利润函数；（提示：利润＝产值－成本）
（Ⅱ）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？
（Ⅲ）求边际利润函数单调递减时的取值范围.
19．已知函数，．
（1）若，解不等式；
（2）若时，，求的取值范围．
20．已知向量满足，.
（1）若的夹角为，求；
（2）若，求与的夹角.
21．函数，若自变量取值范围内存在，使成立，则称以为坐标的点为函数图像上的不动点.
（1）若函数有两个关于原点对称的不动点，求，应满足的条件；
（2）在（1）的条件下，若，直线：与轴、轴分别相交于、两点，在的图象上取一点（点的横坐标大于2），过作轴，垂足是，若四边形的面积等于2，求点的坐标
（3）定义在实数集上的函数，对任意的有恒成立.下述命题“若函数的图像上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，给予证明；若不正确，举反例说明.
22．已知集合，.
（1）时，求，
（2）若，求m的取值范围.
试卷第页，共页
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参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
求出A中函数的值域y的范围确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出两集合的交集即可．
【详解】
由A中，得到y≥0，
即A＝{y| y≥0}，
由B中， x，
即B＝{x| x}，
则A∩B＝{x| x}，
故选C．
【点睛】
本题考查了交集的运算及函数定义域和值域的求法，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．C
【解析】
【分析】
根据偶函数及的图像关于原点对称可知，函数的周期；根据周期性及为奇函数，可得的值．
【详解】
由题可知函数的图像关于直线和点对称，
所以函数的周期为4，
则
,故选C.
【点睛】
本题考查了函数的周期性及对称性，注意根据函数性质对形式的变化，属于中档题．
3．B
【解析】
【详解】
∵，∴是指数函数，根据指数函数单调性的判断法则，知道当底数小于1时，函数在上单调递减，又∵，∴，
故选．
4．A
【解析】
【分析】
由题意可知：，整理得：，由和是两个不共线的非零向量，可得，解方程组即可得到所求值．
【详解】
解：，，三个向量的终点在同一条直线上，
，
整理得：，
由和是两个不共线的非零向量，
，解得：，
当，，，的终点在同一条直线上．
故选：A.
5．D
【解析】
【分析】
根距抽象函数的定义域的求解方法，列出不等式，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，函数的定义域为，
则函数的定义域满足，解得，
即函数的定义域为，故选D.
【点睛】
本题主要考查了抽象函数的定义域的求解问题，其中解答中熟记定义域的基本定义和抽象函数的定义域的求解方法是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6．C
【解析】
【分析】
先化，令，判断为奇函数，根据奇函数的性质，以及题中条件，即可求出结果.
【详解】
因为，
令，
则，所以函数为奇函数，
又函数的最大值为，最小值为，
所以
.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的应用，熟记奇函数的性质即可，属于常考题型.
7．C
【解析】
【详解】
本题考查三角函数的图象和性质
由简谐振动的振幅为知；
又图象上相邻最高点与最低点之间的距离为得此函数的周期为，则有，所以；
则所求的函数的解析式为，由图象过点得
所以有，所以或
因为，所以
所以该简谐振动的频率为与初相分别为
故本题所提供的答案均不正确，应为，
8．A
【解析】
【详解】
试题分析：因为，所以“”是“”的充分不必要条件；故选A．
考点：1．二倍角公式；2．充分条件和必要条件的判定．
9．BCD
【解析】
【分析】
对于A，先化简后再求其周期，对于B，举例判断，对于C，由于当时，，从而可判断，对于D，由充要条件的定义判断
【详解】
对于A，因为，所以函数的最小正周期是，所以A正确，
对于B，当时，，其终边在轴上，所以B错误，
对于C，和均为奇函数，而当时，，所以两函数图象在上无交点，而当时，，所以在同一坐标系中两函数图象只有一个交点，所以C错误，
对于D，当角为第二象限角时，，而当时，角为第二象限角，或第三象限的角，或其终边在轴负半轴上，所以角为第二象限角的必要不充分条件是，所以D错误，
故选：BCD
10．AC
【解析】
先求出命题成立的充要条件，在对照选项寻找充分不必要条件.
【详解】
由，恒成立，只需，即
因充分不必要条件是充要条件的真子集，
所以AC正确.
故选：AC
【点睛】
结论点睛：有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：
(1)若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
(2)若是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
(3)若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等.
11．AC
【解析】
【分析】
由题知，，由函数的单调递增可判断A选项正确；当时，，再结合函数在上单调递减，科判断B选项错误；由题知，进而根据基本不等式可判断； 若，则取对数变形得，故令，再根据函数的单调性判断.
【详解】
解：因为，且，所以，，
对于A选项，由函数在上单调递增，所以正确，故A选项正确；
对于B选项，当时，，此时，函数在上单调递减，所以，故B选项错误；
对于C选项，，当且仅当，即时取的等号，此时，与矛盾，故等号不能取到，所以，故C选项正确；
对于D选项，若，由已知易知，所以两边取对数有，进而有，故令，求导，故当时，，单调递增；当时，，单调递减；故的大小不定，故D选项错误.
故选：AC
12．AC
【解析】
【分析】
A.由函数的周期定义判断； B.由余弦函数的对称性判断；C. 由零点的定义判断； D. 由，得到，再由余弦函数的单调性判断.
【详解】
A. 因为，所以的一个周期为，故正确；
B. ，所以的图象不关于直线对称，故错误；
C. 因为，所以的一个零点为，故正确；
D. 因为，所以，又在上不单调，所以在上不单调，故错误；
故选：AC
13．
【解析】
【分析】
利用抽象函数的定义域求法求解.
【详解】
定义域为，
中，
解得，
所以函数的定定义域为，
故答案为：
14．
【解析】
根据指数函数的值域，结合根式有意义的条件，求得函数的值域，得到答案.
【详解】
因为，所以，
根据根式有意义，有，所以的值域为，
故答案为：.
【点睛】
该题考查的是有关函数的值域的求解问题，属于基础题目.
15．
【解析】
【详解】
由函数，则，
又因为，
两式相加可得，即，
所以为奇函数，且在区间上单调递增，
所以函数在上为单调递增函数，
由，即，
则，解得.
点睛：本题主要考查了函数的图象与性质等知识点的综合应用，对于解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内，试题有一定的难度，属于中档试题.
16．
【解析】
【分析】
先将集合的元素个数转化为不等式的自然数解的个数，再分离参数，转化为求函数的取值范围问题，再结合函数的图象进行求解.
【详解】
由中有且只有两个元素，
得有且只有两个自然数解，
即有且只有两个自然数解，
令，则，
令，
作出的图象（如图所示），
又因为，，
所以.
故答案为：.
17．（1）-3，（2）.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）本小题从三角函数的定义出发，当且，可得，，而，因此有 ；（2）因为，且均可用或表示，则可用含的式子表示，利用辅助角公式可化为一种名称的三角函数，结合角的范围即可求得此函数的范围.
试题解析：（1）由于，，所以，
， 于是 .
（2），由于,，所以，，则
（），
由于，所以，所以.
考点：三角函数的定义，正切的半角公式，两角和的正切公式，辅助角公式，三角函数的定义域与值域问题，转化与化归思想.
18．解：（Ⅰ） ，
，；
（Ⅱ）12;
（Ⅲ）x的取值范围为，且.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据利润＝产值－成本，即，可得函数关系式，可得的值；
（Ⅱ）求导函数可得，可得函数的极值，可得答案；
（Ⅲ）可得的解析式，结合函数的定义可得答案.
【详解】
解：（Ⅰ）由题意利润＝产值－成本，可得
，
，；
（Ⅱ）求导函数可得：
∴当时，当时，；
∴有最大值.
即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．
（Ⅲ）∵
所以，当时，单调递减，x的取值范围为，且.
【点睛】
本题主要考察函数模型的选择及应用，及导函数在求函数极值的应用，相对不难.
19．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）分3段去绝对值解不等式即可；
（2）利用绝对值不等式可得到，由取等号的条件，可知时，记其解集为，则，分类讨论可求出答案.
【详解】
解：（1）当时，，
当时，由，得；
当时，由得；
当时，由，无解；
所以不等式的解集为
（2）因为，
当且仅当时，等号成立．
当时，，记其解集为，则，
①若，显然成立；
②若，∴，∴，
所以的取值范围是．
【点睛】
本题考查了绝对值不等式，考查了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题．
20．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）结合向量数量积运算，直接根据向量模的表示计算即可；
（2）结合向量垂直和向量夹角公式直接计算求解即可.
【详解】
解：（1）由已知，得，
所以，
所以.
（2）因为，所以.
所以，即，
所以.
又，所以，即与的夹角为.
21．（1）且；；（2）；（3）正确；证明见解析.
【解析】
（1）根据不动点的定义，得出方程有两个不等的实根，且互为相反数，转化为二次方程，利用根与系数的关系，即可求解；
（2）由（1）和，求得，设上任意一点，根据，列出方程，即可求解；
（3）定义在上的奇函数必有，再设为函数图像上的不动点，结合奇函数的定义得出也为函数图像上的不动点，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数有两个关于原点对称的不动点，
可得有两个互为相反数的根
即有两个互为相反数的根，
带入得，两式相减得，所以，
方程变为，所以且.
（2）由（1）得，，所以：，即，
设上任意一点，所以
又因为，所以，解得，
所以点的坐标.
（3）正确
①在，令，可得，所以，
所以为函数的不动点，
②设为函数图像上的不动点，则，
所以，
所以也为函数图像上的不动点.
【点睛】
本题主要考查了函数的新定义的应用，以及函数与方程的综合应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及合理应用函数的奇偶性求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
22．（1）；；（2）.
【解析】
（1）根据集合运算法则计算；
（2）利用子集的定义得出不等式组，解这可得．
【详解】
（1）时，，∴，
或，．
（2）∵，∴，解得．
【点睛】
本题考查集合的综合运算，考查集合的包含关系．由集合的包含关系求参数时注意等号能否取到．
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