高中数学苏教版（2022春 ）选择性必修第二册 章末复习课（课件 共64张PPT）

(共64张PPT)
章末复习课
第6章　空间向量与立体几何
一、空间向量的线性运算与数量积
二、利用空间向量证明位置关系
三、利用空间向量求空间角
内容索引
知识网络
随堂演练
四、利用空间向量计算距离
知识网络
一、空间向量的线性运算与数量积
1.向量的线性运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义.
2.利用数量积可以解决有关垂直、夹角、长度问题，解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义；二是利用坐标运算.
(1)a≠0，b≠0，a⊥b a·b＝0；
3.空间的运算，应注重提高逻辑推理、数学运算核心素养.
1
(2)如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点.
①求证：MN⊥AB，MN⊥CD；
由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，
且p，q，r三向量两两夹角均为60°.
即MN⊥AB.
同理可证MN⊥CD.
②求异面直线AN与CM所成角的余弦值.
反思感悟　空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件
(1)空间向量的数乘运算、共线向量的概念、向量共线的充要条件与平面向量的性质是一致的.
A.(3,0,0) B.(0,3,0)
C.(0,0,3) D.(0,0，－3)
√
(2) 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)
＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，
二、利用空间向量证明位置关系
1.用空间向量判断空间中位置关系的类型有线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量、利用向量的共线和垂直进行证明.
2.将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力.
例2　如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点.
(1)求证：BM∥平面ADEF；
证明　∵平面ADEF⊥平面ABCD，
平面ADEF∩平面ABCD＝AD，
AD⊥ED，ED 平面ADEF，
∴ED⊥平面ABCD.
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，
B(2,2,0)，C(0,4,0)，E(0,0,2)，F(2,0,2).
∵M为EC的中点，
∴M(0,2,1)，
又BM 平面ADEF，
∴BM∥平面ADEF.
(2)求证：BC⊥平面BDE.
又DE∩DB＝D，∴BC⊥平面BDE.
延伸探究　本例条件不变，如何证明平面BCE⊥平面BDE.
证明　由本例(2)知BC⊥平面BDE，又BC 平面BCE，∴平面BCE⊥平面BDE.
反思感悟　利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要转化为其坐标运算，再借助于坐标的有关性质求解(证).
跟踪训练2　如图，在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面GEF⊥平面PBC.
证明　方法一　如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
令PA＝PB＝PC＝3，则A(3,0,0)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)，
又PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC.
又FG 平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC.
方法二　同方法一，建立空间直角坐标系，
则E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0).
设平面EFG的法向量是n＝(x，y，z)，
即n＝(0,1，－1).
即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直，
所以平面EFG⊥平面PBC.
三、利用空间向量求空间角
1.空间向量与空间角的关系
(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角θ满足cos θ＝|cos〈m1，m2〉|.
(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos〈m，n〉|.
(3)设n1，n2分别是两个平面α，β的法向量，则二面角的平面角与这两个平面的法向量的夹角相等或互补.
2.通过利用向量计算空间的角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力.
例3　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝ ，点E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心.以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.试用向量方法解决下列问题：
(1)求异面直线AF和BE所成的角；
∴直线AF和BE所成的角为90°.
(2)求直线AF和平面BEC所成角的正弦值.
反思感悟　(1)在建立空间直角坐标系的过程中，一定要依据题目所给几何图形的特征，建立合理的空间直角坐标系，这样才会容易求得解题时需要的坐标.
(2)求直线和平面所成的角、二面角类问题有两种思路：转化为两条直线所成的角、利用平面的法向量.
跟踪训练3　如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中点.
则C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，－1,0).
所以m为平面PAC的一个法向量.
取x＝a，
可得n＝(a，－a，－2)，依题意得，
则a＝1(负值舍去).
设直线PA与平面EAC所成的角为θ，
四、利用空间向量计算距离
1.空间距离的计算
2.通过利用向量计算空间距离，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力.
例4　在三棱锥B－ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求点D到平面ABC的距离.
解　如图所示，以AD的中点O为原点，以OD，OC所在直线为x轴、y轴，过O作OM⊥平面ACD交AB于M，以直线OM为z轴建立空间直角坐标系，
设n＝(x，y，z)为平面ABC的一个法向量，
反思感悟　利用向量法求点面距，只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向量，代入公式求解即可.
跟踪训练4　(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，则点D1到直线AC的距离为
√
解析　方法一　连接BD，AC交于点O(图略)，
方法二　如图建立空间直角坐标系，易得C(a，a,0)，D1(0，a,2a)，
则点D1到直线AC的距离为
(2)在三棱锥P－ABC中，PC⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∠PBC＝45°，则点C到平面PAB的距离是
√
解析　方法一　建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(4,0,0)，
设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)，
方法二　∵PC⊥底面ABC，
∴PC⊥AB，又AB⊥AC，
且PC∩AC＝C，PC，AC 平面PAC，
∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥PA，
∵AC＝AB＝4，
令点C到平面PAB的距离为d，
∵VP－ABC＝VC－PAB，
1.知识清单：
(1)空间向量的概念及运算.
(2)利用空间向量证明位置关系.
(3)利用空间向量求空间角.
(4)利用空间向量求距离.
2.方法归纳：坐标法、转化化归.
3.常见误区：
(1)数量积运算时注意向量的夹角.
(2)注意直线所成的角与向量夹角的区别与联系.
课堂小结
随堂演练
1.已知向量a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，则使a⊥b成立的x与使a∥b成立的x分别为
1
2
3
4
√
1
2
3
4
2.已知向量n＝(2,0,1)为平面α的法向量，点A(－1,2,1)在α内，则点P(1,2,2)到平面α的距离为
√
1
2
3
4
√
1
2
3
4
解析　因为点D在平面Oyz内，
所以点D的横坐标为0，
又BC＝4，原点O是BC的中点，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，
纵坐标y＝－(2－4·sin 30°·cos 60°)＝－1，
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2
3
4
4.已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等
于_____.
解析　如图，建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1，
平面ABC的法向量为n1＝(0,0,1)，
设平面AEF的法向量为n2＝(x，y，z).
1
2
3
4
取x＝1，则y＝－1，z＝3.
故n2＝(1，－1,3).
1
2
3
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本课结束