高中数学苏教版（2022春 ）选择性必修第二册 §7.3 第1课时 组合与组合数公式（59张PPT）

(共59张PPT)
第1课时　组合与组合数公式
第7章　§7.3　组合
1.了解组合及组合数的概念.
2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组
合问题.
学习目标
高考不分文理后，思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6大科目是选考的，考生可以从中任选取3科作为自己的高考科目，那么选考的组合方式一共有多少种可能的情况呢？
导语
随堂演练
课时对点练
一、组合的概念
二、组合数及组合数公式
三、简单的组合问题
内容索引
一、组合的概念
(1)填报高考志愿时，小张同学要在3所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，小张共有多少种不同的选择方式？
(2)填报高考志愿时，小张同学要在3所大学中选择2所作为自己努力的目标，小张共有多少种不同的选择方式？
问题1　以上两个问题都是排列吗？
提示　(1)是排列，(2)不是排列.
问题2　(1)与(2)有何不同特点？
提示　(1)中选取的两个志愿是有序的，(2)中选取的两个志愿是无序的.
知识梳理
组合的概念
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 ，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
注意点：
排列与组合的区别与联系
(1)共同点：两者都是从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象.
(2)不同点：排列与对象的顺序有关，组合与对象的顺序无关.
(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.
并成一组
例1　判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？
解　单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题.
(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？
解　冠、亚军是有顺序的，是排列问题.
(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、团支部书记三个职务，有多少种不同的选法？
解　3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题.
(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？
解　3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题.
反思感悟　判断一个问题是否是组合问题的流程
跟踪训练1　从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，共有多少种不同的组合？请写出所有组合.
解　先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个写出来，如图所示.
由此可得所有的组合：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共有10种.
二、组合数及组合数公式
知识梳理
组合数定义及表示 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 ，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号_____ 表示 组合数 公式 乘积形式
阶乘形式
所有组合的个数
角度1　利用组合数化简、求值
例2　求值：
∵n∈N*，∴n＝10，
角度2　利用组合数证明
反思感悟　(1)两个组合数公式在使用中的用途有所区别.
＝210－210＝0.
三、简单的组合问题
例4　现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名.
(1)现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法？
解　从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，
(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？
解　可把问题分两类情况：
根据分类计数原理，
(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
延伸探究　本例其他条件不变，问题变为从中选2名教师参加会议，至少有1名男教师的选法是多少？最多有1名男教师的选法又是多少？
反思感悟　(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关.
(2)要注意两个计数原理的运用，即分类与分步的灵活运用.
在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏.
跟踪训练3　一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人.问：
(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？
(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
解　教练员可以分两步完成这件事情：
1.知识清单：
(1)组合与组合数的定义.
(2)排列与组合的区别与联系.
(3)组合数的计算与证明.
2.方法归纳：列举法、公式法.
3.常见误区：分不清“排列”还是“组合”.
课堂小结
随堂演练
1.(多选)下面四组元素，是相同组合的是
A.a，b，c—b，c，a B.a，b，c—a，c，b
C.a，c，d—d，a，c D.a，b，c—a，b，d
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√
√
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A.9 B.8 C.7 D.6
√
∴n(n－1)＝56，即n＝8(负舍).
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3.(多选)给出下列问题，其中是组合问题的是
A.从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，
有多少种不同的选法
B.有4张相同的电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法
C.某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果
有多少种
D.高中部10个班进行足球单循环赛，需要进行多少场比赛
√
√
√
解析　A与顺序有关，是排列问题，BCD均与顺序无关，是组合问题.
1
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4.五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成_____条线段；如果是有向线段，共有_____条.
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课时对点练
基础巩固
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1.(多选)以下四个问题，属于组合问题的是
A.从3个不同的小球中，取出2个排成一列
B.老师从全班40名同学中选出8人成立一个学习小组
C.在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D.从13位司机中任选出两位开同一辆车分别往返甲、乙两地
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解析　老师从40名学生中选出8人成立学习小组与顺序无关.主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题.
√
√
A.8 B.5或6 C.3或4 D.4
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√
由n∈N*，且n≥3，解得n＝8.
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3.把三张游园票分给10个人中的3人，分法有
√
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4.某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，则共需建公路的条数为
A.4 B.8 C.28 D.64
√
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5.已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3点不共线，则由其中每3点为顶点的所有三角形的个数为
A.3 B.4 C.12 D.24
解析　由于与顺序无关，所以是组合问题，共有4个：△ABC，△ABD， △ACD，△BCD.
√
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6.(多选)下列选项正确的是
√
√
√
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解析　A显然成立；
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7.6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手_____次.
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8.若已知集合P＝{1,2,3,4}，则集合P的子集中含有2个元素的子集数___.
6
解析　由于集合中的元素具有无序性，因此含2个元素的子集个数与元素顺序无关，是组合问题，
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解　根据组合数公式可将原方程化为
即60－10(6－m)＝(7－m)(6－m)，
整理得m2－23m＋42＝0，
解得m＝2或m＝21.
又0≤m≤5，m∈N*，所以m＝2.
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10.有8名男生和5名女生，从中任选6人.
(1)有多少种不同的选法？
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(2)其中有3名女生，有多少种不同的选法？
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(3)其中至多有3名女生，有多少种不同的选法？
综合运用
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11.已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所有线段在圆内的交点有
A.36个 B.72个
C.63个 D.126个
√
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12.从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，若按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为
A.224 B.112 C.56 D.28
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13.身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，则这样的排法种数是
A.5 040 B.36 C.18 D.20
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14.从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积，任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________.
1∶2
拓广探究
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15.某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有______条.
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16.某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行.
(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；
(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；
(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负.
问：全部赛程共需比赛多少场？
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(2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一次，
所以半决赛共要比赛2×2＝4(场).
(3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负.
所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场).
本课结束