高中数学苏教版（2022春 ）选择性必修第二册 §7.4 第1课时 二项式定理（59张PPT）

(共59张PPT)
第1课时　二项式定理
第7章　 §7.4　二项式定理
1.理解二项式定理的相关概念.
2.掌握二项式定理的特征及其展开式的通项公式.
3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
学习目标
艾萨克·牛顿Isaac Newton(1643－1727)英国科学家.他被誉为人类历史上最伟大的科学家之一.他不仅是一位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家.1664年冬，由于瘟疫流行而迫使牛顿从剑桥回到乡下，研读沃利斯博士的《无穷算术》，牛顿开始了对二项式定理的研究，并最终建立二项式定理，牛顿是如何思考的呢？
导语
随堂演练
课时对点练
一、二项式定理
二、二项展开式通项的应用
内容索引
一、二项式定理
问题1　在初中，我们用多项式乘法法则得到了(a＋b)2的展开式：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝a2＋2ab＋b2.如何利用分步计数原理解释展开式中的项是如何产生的？
提示　展开式中的每一项都是从两个括号中各取1个字母的乘积.
问题2　你能根据问题1的分析，写出(a＋b)3的展开式吗？
知识梳理
二项式定理
(a＋b)n＝ (n∈N*).
(1)这个公式叫作二项式定理.
(2)二项展开式：等号右边的多项式叫作(a＋b)n的二项展开式，它一共有 项.
n＋1
(4)二项式通项：(a＋b)n展开式的第 项称为二项式通项，记作Tr＋1＝ .
r＋1
注意点：
(1)每一项中a与b的指数和为n.
(2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止.
(3)a与b的位置不能交换.
反思感悟　求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开.
二、二项展开式通项的应用
(2)第4项的系数.
∴n＝8或n＝1(舍).
(2)求含x项的系数.
解　通项公式为
Tr＋1＝
∵第6项为常数项，
(2)求含x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项.
∵r∈N，∴t应为偶数.
令t＝2,0，－2，即r＝2,5,8.
∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61 236，
295 245x－2.
反思感悟　(1)求二项展开式的特定项的常见题型
(2)求二项展开式的特定项的常用方法
①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；
③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致.
跟踪训练3　(1)若(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则常数a＝___.(用数字填写答案)
即n2－3n－4＝0，
又n∈N*，解得n＝4.
根据题意可知4－r＝2，解得r＝2.
1.知识清单：
(1)二项展开式的形成过程.
(2)二项式定理的正用与逆用.
(3)二项展开式的通项的应用.
2.方法归纳：转化化归.
课堂小结
随堂演练
1.(x＋2)n的展开式共有11项，则n等于
A.9 B.10 C.11 D.8
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√
解析　因为(x＋2)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有11项，所以n＝10，故选B.
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A.60 B.－60 C.250 D.－250
√
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4.化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＋1＝______.
x5
解析　原式＝[(x－1)＋1]5＝x5.
课时对点练
基础巩固
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A.1 B.－1 C.(－1)n D.3n
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√
解析　逆用二项式定理，将1看成公式中的a，－2看成公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.
A.m＝－840 B.m＝840
C.n＝210 D.n＝－210
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A.33 B.29 C.23 D.19
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4.(1＋3x)n(n∈N*)的展开式中，若第三项的二项式系数为6，则第四项的系数为
A.4 B.27 C.36 D.108
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5.已知(1＋ax)6＝1＋12x＋bx2＋…＋a6x6，则实数b的值为
A.60 B.40 C.20 D.15
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√
6.(多选)在(ax＋1)7的展开式中，若x3的系数是x2的系数和x5的系数的等比中项，则下列说法正确的是
C.展开式中含x3的二项式系数为35
D.展开式中含x5的系数为21
√
√
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7.若二项式(1＋2x)n展开式中x3的系数等于x2的系数的4倍，则n＝_____.
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解析　由题意得n＝6，
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(2)含x2的项.
令3－r＝2，得r＝1.
所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.
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化简得90＋(n－9)(n－8)＝20(n－8)，
即n2－37n＋322＝0，
解得n＝14或n＝23，
因为n<15，所以n＝14.
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(2)写出它的展开式中的所有有理项.
解　展开式的通项Tr＋1＝
展开式中的有理项当且仅当r是6的倍数，
又0≤r≤14，r∈N，
所以展开式中的有理项共3项，分别是
综合运用
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11.对任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为
A.3 B.6 C.9 D.21
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∴正整数n的最小值为5.
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A.存在n∈N*，展开式中有常数项
B.对任意n∈N*，展开式中没有常数项
C.对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项
D.存在n∈N*，展开式中有一次项
√
√
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(1)n的值为_____；
解得n＝10.
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(2)含x的整数次幂的项有____个.
拓广探究
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15.(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中的项数为______________.
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＝a1(1－q)3.
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(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明.
解　归纳概括的结论为：
若数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则
＝a1(1－q)n，n为正整数.
＝a1(1－q)n.
本课结束